Kronkels, Strepen, Ribbels & Wiskunde Hoe de wiskunde verbanden legt tussen kronkelende rivieren, zandribbeltjes op het strand & de strepen op de vacht van een zebra Arjen Doelman, CWI & UvA

Kronkels?

Ribbels & Strepen

Ribbels!

Strepen, ribbels, GOLVEN & PATRONEN

En er is (veel!) meer ...

????

De `visuele cortex’ – het gedeelte van de hersenen dat de `signalen’ vanuit de ogen omzet in `beelden’ Gevoeligheid linker/rechter oog Richtingsgevoeligheid

Maar niet alleen strepen: `andere’ zandribbeltjes Let op de staart!

`vegetatie-patronen’ in Niger, Afrika

Wat heeft dit allemaal met wiskunde te maken? - rivier & zandribbels: aardrijkskunde, natuurkunde watergolven: oceanografie, natuurkunde vingerafdrukken, slakken & zebra’s: biologie planeten: sterrenkunde hersenen: neurologie - vegetatie: ecologie

ALLE getoonde `processen’ & verschijnselen worden beschreven in `de taal van de wiskunde’ Wat is die taal? `DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN’ `Model’ voor de vegetatie-patronen ???

Maar, er is meer (alweer!) In de natuurkunde, de biologie, enz. worden deze modellen ook bestudeerd (vaak vooral met behulp van de computer). De wiskundige gaat op zoek naar een fundamentele verklaring die los staat van de achtergrond van het model. Ofwel: de wiskundige gaat op zoek naar de onderliggende overeenkomsten tussen al deze verschillende strepen & golven.

STABILITEIT En vooral, het VERDWIJNEN van deze stabiliteit `als er iets veranderd’ aan `de omgeving’. en er een `kritische grens’ wordt gepasseerd. Als een kraan niet te ver open of dicht staat dan is de waterstraal mooi regelmatig (`glad’). Te ver open: `turbulent’, te ver dicht: `druppels’ DE (gladde) WATERSTRAAL WORDT DUS INSTABIEL

Waardoor wordt de `kritische grens’ bepaald bij het optreden van zandribbeltjes? De windkracht/de stroomsnelheid van het water De korrelgrootte van het zand (ribbels in grind??) De samenstelling van de bodem (begroeiing) - ...

Zonder voldoende wind geen golfjes. Maar zijn er ook nog andere factoren die de golfvorming (de INSTABILITEIT) beinvloeden?

- De `stroperigheid’ van het water/de vloeistof (windgolfjes op een plas stroop??) De oppervlaktespanning van het water/de vloeistof Bij sterkere wind (en na langere tijd): de grootte, diepte en vorm van de `waterplas’ Meer effecten?

In de natuur is het vaak moeilijk/onmogelijk om `de instellingen’ te veranderen ...

Wat is dan die `fundamentele verklaring’? Een GEDACHTEN-EXPERIMENT: een (glijdende) kraal op een draaiende hoepel hoepel DRAAIEN kraal (die over de hoepel kan glijden) middelpuntvliedende kracht zwaartekracht

STABIEL: bij langzaam draaien blijft de kraal op het laagste punt van de hoepel hangen (en hij keert daar terug als je hem een duwtje geeft). INSTABIEL: boven een kritische draaisnelheid verlaat de kraal dit laagste punt en `kiest’ een ronddraaiende positie.

`Projecteer’ de `baan’ van de kraal op een vlak [van boven bekeken, met weglating van hoepel & kraal] STABIEL INSTABIEL

Dit mechanisme: STABIEL INSTABIEL `veroorzaakt’ bij het passeren van de `kritische grens’ de meeste van de kronkels/ribbels/strepen die we tot nu toe gezien hebben. Het is de kracht van de wiskunde dat je kan laten zien dat zoveel verschillende `verschijnselen’ met behulp van eenzelfde `eenvoudig’ mechanisme kan worden voorspeld & begrepen.

Merk op: de kraal op de hoepel heeft eigenlijk weinig `vrijheid’. Meer precies, de kraal heeft 2 vrijheidsgraden: – over de hoepel & met de hoepel meedraaiend – De `patronen’ op het strand, het water, de vacht van een zebra, enz. hebben ONEINDIG VEEL `vrijheidsgraden’. – Wat is dat, oneindig veel vrijheidsgraden? – Toch laat de wiskunde zien dat er maar 2 vrijheids- graden van belang zijn bij het ontstaan van `patronen’ en dat die 2 zich precies zo gedragen als bij de kraal op de hoepel.

Maak eerst een (zo eenvoudig mogelijk) model: er uit bij rivieren? Hoe ziet Maak eerst een (zo eenvoudig mogelijk) model: een recht kanaal met vlakke bodem linkeroever van boven rechteroever van opzij STABIEL

Voorbij de kritische grens zandbank zandbank van boven zandbank zandbank van opzij zandbanken! de Rijn in Zwitserland

en na verloop van tijd ... Na nog langere tijd ... erosie groeiende - en droogvallende - zandbanken Na nog langere tijd ... (MAAR DAT IS VER BUITEN HET BEREIK VAN ONS MODEL!) erosie

.... Nu we dit weten: Wat kunnen we nu nog meer? - Systematische classificatie `patronen’ kop poot .... poot staart Elementaire `vacht-patronen’ Bij dieren kan je geen `instellingen’ aanpassen, maar je kan wel van soort veranderen.

(2) lakenvelder koe met kalf (0) (1) (2) (1) een Valais geit (2) lakenvelder koe met kalf ENZOVOORTS ...

? - De volgende stap: ? `dubbele’ ribbels??

AFSLUITEND: (1) Natuurlijke verschijnselen kunnen worden `gemodelleerd’ in de `taal van de wiskunde’. `WAARSCHUWING’: modellen zijn meestal vereenvoudigingen (en de wiskunde doet alleen maar een uitspraak over het model!). VERSTANDIG MODELLEREN IS EEN WETENSCHAP OP ZICH [het KNMI & het weer]

(2) De wiskunde verklaart de natuurlijke verschijnselen en legt onverwachte verbanden.

(3) Eigenlijk zijn alleen nog maar de meest eenvoudige verschijnselen begrepen. ER IS NOG VEEL (spannend & relevant onderzoek) TE DOEN! ?? vlechtende rivier [MODEL??]

Voorbeeld van wiskundig onderzoek: Beschrijf & verklaar `defects’ (hoe onstaan ze? bewegen ze? ...)

En nog een: ???? `streep-patroon’ `stippel-patroon’ kritische grens?