De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12. Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is R n de restterm. 12.1.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12. Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is R n de restterm. 12.1."— Transcript van de presentatie:

1 vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12

2 Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is R n de restterm. 12.1

3 De formule e iφ = cos(φ) + i sin(φ) Je kunt een complex getal op twee manieren noteren. (zie H.8) De notatie met behulp van het reële deel en het imaginaire deel. z = a + bi waarbij a = Re(z) en b = Im(z). De notatie met behulp van poolcoördinaten. z = r(cos φ + i sin φ) waarbij r = |z| en φ = arg(z). In H.8 steeds in graden, in dit hoofdstuk in radialen. De 3 e manier is z = r e iφ is een complex getal met r = |z| en φ = arg(z). De formule van Euler: e iφ = cos(φ) + i sin(φ). 12.1

4 De functies f(z) = e z en g(z) = ln(z) De functie f(z) = e x beeldt de reële as af op de positieve reële as beeldt de imaginaire as af op de eenheidscirkel is periodiek met periode 2πi. Bij het berekenen van functiewaarden bij de complexe logaritmische functie f(z) = ln(z) gebruik je de rekenregels voor logaritmen en de formule van Euler. De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z) cos(z) = en sin(z) = 12.2

5 opgave 23 Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e 1, ofwel de cirkel met de vergelijking | z | = e. Het beeld van Im(z) = π is de halve lijn met beginpunt 0 die een hoek van π radialen maakt met de positieve reële as, ofwel de halve lijn met vergelijking Arg(z) = π. 12.2

6 De factorstelling Als x = k een oplossing is van de vergelijking x 3 + ax 2 + bx + c = 0, dan is x 3 + ax 2 + bx + c = (x – k)(x 2 + …). De vergelijking z 3 + pz = q Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z 3 + pz = q 1.Stel z = u + v en p = -3uv en herleid hiermee de vergelijking tot u 3 + v 3 = q. 2Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot u 6 – qu 3 – r = 0. 3Bereken u 3 en v 3 en bereken hiermee z. 12.3

7 De vergelijking z 3 + az 2 + bz + c = 0 De formule van Cardano Een reële oplossing van de vergelijking z 3 + pz = q is Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z 3 + az 2 + bz + c = 0 1.Gebruik de substitutie z = y - a om de vergelijking te herleiden tot de vorm y 3 + py = q. 2Stel y = u + v en p = -3uv. Dit geeft u 3 + v 3 = q. 3Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot u 6 – qu 3 – r = 0. 4Bereken u 3 en v 3 en bereken hiermee y. 5Gebruik z = y - a om een reële oplossing z te berekenen. 6Gebruik de factorstelling om de andere oplossingen te berekenen. 12.3

8 opgave 40 opgave

9 De formule u n = a · u n b · u n - 2 Een recursieve formule van de vorm u n = a · u n – 1 + b · u n – 2 met b ≠ 0 is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De differentievergelijking is lineair omdat er alleen termen in voorkomen met u n – 1 en u n – 2 en niet bijvoorbeeld met (u n – 1 ) 2. De differentievergelijking is van de tweede orde omdat de term u n is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen. GR 12.4

10 De karakteristieke vergelijking Werkschema: het opstellen van een directe formule bij de rij u n = a · u n – 1 + b · u n – 2 met startwaarden u 0 en u 1 1.Substitueren van u n = g n geeft de karakteristieke vergelijking g 2 – ag – b = 0 met D = a 2 + 4b. 2a.Is D > 0 dan krijg je twee reële oplossingen g 1 en g 2 en is de directe formule van de vorm u n = A · (g 1 ) n + B · (g 2 ) n. 2b.Is D = 0 dan krijg je één reële oplossing g en is de directe formule van de vorm u n = (A + Bn) · g n. 2c.Is D < 0 dan krijg je twee complexe oplossingen g 1 en g 2 en is de directe formule van de vorm u n = (A cos(φn) + B sin(φn)) · g n. Daarbij is φ een argument van g 1 (of van g 2 ) en g de modulus van g 1. 3.Je berekent A en B met behulp van de startwaarden u 0 en u


Download ppt "Vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12. Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is R n de restterm. 12.1."

Verwante presentaties


Ads door Google