De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 1.1.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 1.1."— Transcript van de presentatie:

1 Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 1.1

2 1 x² = getal x = √getalv x = - √getal vb.1 x² = 7 x = √7 v x = - √7 vb.2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen vb.3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16v x + 5 = - √16 x + 5 = 4v x + 5 = -4 x = 4 – 5v x = -4 – 5 x = -1v x = -9 ax² = positief getal 2 oplossingen bx² = 0 x = 0  1 oplossing cx² = negatief getal k.n.  geen oplossing 1.1

3 2 Ontbind in factoren amaak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen bvereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk contbind het linkerlid in factoren dA · B = 0  A = 0 v B = 0 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 voorbeeld prod= opgeteld = -8 product =

4 3 De abc-formule Bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt. de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 1.1

5 voorbeeld 3x² - 4x + 1 = 0 a = 3 b = -4 c = 1 D = (-4)² - 4 · 3 · 1 D = 16 – 12 D = 4 (D > 0  2 oplossingen) x = √4 v x = √4 2 · 3 2 · 3 x = v x = 4 – x = 6/6 = 1 v x = 2/6 = 1/3

6 opgave 6a ( x + 3 )² = 16x ( x + 3 )( x + 3 ) = 16x x² + 6x + 9 – 16x = 0 x² - 10x + 9 = 0 ( x – 1 )( x – 9 ) = 0 x – 1 = 0 v x – 9 = 0 x = 1 v x = prod.= +9 -9

7 opgave 6b ( 2x + 3 )² = -16 heeft geen oplossing, want een kwadraat is nooit negatief

8 opgave 6h ( x + 3 )² + ( x + 2 )² = 25 (x² + 6x + 9) + (x² + 4x + 4) – 25 = 0 2x² + 10x - 12 = 0 x² + 5x - 6 = 0 ( x - 1 )( x + 6 ) = 0 x - 1 = 0 v x + 6 = 0 x = 1 v x = prod.= -6 +6

9 Vergelijkingen met een parameter in de vergelijking -x² + 5x + p = 0 heet p een parameter met behulp van de parameter p worden oneindig veel vergelijkingen genoteerd je onderscheidt 3 situaties : 2 oplossingen, 1 oplossing of geen oplossing de vergelijking -x² + 5x – 4 = 0 heeft 2 oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 4 snijdt de x-as in 2 punten x ∙∙ y = -x² + 5x – 4 de vergelijking -x² + 5x – 6¼ = 0 heeft 1 oplossing dus de parabool y = -x² + 5x – 6¼ raakt de x-as x ∙ y = -x² + 5x – 6¼ de vergelijking -x² + 5x – 8 = 0 heeft geen oplossingen dus de parabool y = -x² + 5x – 8 ligt geheel onder de x-as x y = -x² + 5x – 8 1.1

10 opgave 8a x² - 7x + p = 0 D = (-7)² - 4 · 1 · p D = 49 – 4p D > 0 49 – 4p > 0 -4p > -49 p < 12¼

11 opgave 8b 2x² - 5x - p = 0 D = (-5)² - 4 · 2 · -p D = p D > p > 0 8p > -25 p > -3⅛

12 opgave 13a 2x² + x + p = 0 D = 1² - 4 · 2 · p D = 1 - 8p D < p < 0 -8p < -1 p > ⅛

13 opgave 13b px² + x + p = 0 D = 1² - 4 · p · p D = 1 - 4p² D > p² > 0 -4p² > -1 p² < ¼ -½ < p < ½ -½ < p < 0 v 0 < p < ½

14 opgave 13c 2x² + px + 1 = 0 D = p² - 4 · 2 · 1 D = p² - 8 D > 0 p² - 8 > 0 p² > 8 p √ 8

15 Wortels x² = 10 x = √10 v x = - √10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2 √10 √10 = 10  √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1y 1 = x 2 en y 2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2optie x √ gebruiken 1.2

16 Hogeremachtswortels x 5 = 16 x = √ 16 dus √16 5 =

17 Voor het oplossen van de vergelijking x n = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 1.2

18 x³ = 3 x = 3  x ≈ 1,44 1 p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p  = n √ p 1,44 n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 1.2

19 2p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing x = p  = n √ p x³ = -3 x = -3  x ≈ -1,44 -1,44 1.2

20 3 p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen x = p  = n √ p v x = -p  = - n √ p x 4 = 3 x = 3 ¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 -1,321,32 n = even grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as 1.2

21 4 p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen x 4 = -3 x = -3 ¼ Er is geen oplossing 1.2

22 opgave 26a 4x = 53x 2 4x 4 – 53x = 0 stel x 2 = p 4p 2 – 53p = 0 D = (-53) 2 – 4 · 4 · 153 D = 361 p = --53 ± √361 8 p = 72/8 v p = 34/8 p = 9 v p = 4¼ x 2 = 9 v x 2 = 4¼ x = 3 v x = -3 v x = √4¼ v x = - √4¼

23 Modulusvergelijkingen er zijn 2 getallen op de getallenlijn met afstand 4 tot 0 dat zijn -4 en 4 we zeggen dat de modulus van 4 gelijk is aan 4 en dat de modulus van -4 gelijk is aan 4 notatie : |5| = 5 en |-5| = 5 i.p.v. modulus zeggen we ook wel absolute waarde dus de absolute waarde van -7 is 7 |x| is de absolute waarde ofwel de modulus van x |x| is de afstand van het getal x tot o op de getallenlijn |x| = -4 0 afstand = 4 x als x ≥ 0 -x als x < 0 1.2

24 opgave 28a los algebraïsch op : | 2x - 1 | = 8 2x – 1 = 8 v 2x – 1 = -8 2x = 9 v 2x = -7 x = 4½ v x = -3½ los grafisch op : x y y = 2x y = | 2x - 1 | 8 y = 8 -3½4½4½

25 Wortelvergelijkingen oplossen opgave 33a 2x + √x = 10 √x = 10 – 2x x = (10 – 2x) 2 x = 100 – 40x + 4x 2 -4x x + x – 100 = 0 -4x x – 100 = 0 D = (41) 2 – 4 · -4 · -100 D = 81 x = x = 6¼ v x = /- √81 -8 isoleer de wortelvorm kwadrateer het linker- en het rechterlid los de vergelijking op controleer of de oplossingen kloppen voldoet voldoet niet 1.3

26 opgave 33b √(x + 12) = x x + 12 = x 2 -x 2 + x + 12 = 0 x 2 – x – 12 = 0 (x – 4)(x + 3) = 0 x – 4 = 0 v x + 3 = 0 x = 4 v x = -3 opgave 33c 2x + √x = 6 √x = 6 – 2x x = (6 – 2x) 2 x = 36 – 24x + 4x 2 -4x x + x – 36 = 0 -4x x – 36 = 0 D = (25) 2 – 4 · -4 · -36 D = 49 x = x = 4 v x = 2¼ -25 ± √49 -8 opgave 33d 10 - x √x = 2 -x √x = x √x = -8 x 2 · x = 64 x 3 = 64 x = 3 √64 x = 4 voldoet voldoet niet voldoet voldoet niet voldoet

27 Substitutie bij wortelvergelijkingen opgave 36a x = 11x √x x 3 – 11x √x + 30 = 0 stel x √x = p p 2 – 11p + 30 = 0 (p – 6)(p – 5) = 0 p – 6 = 0 v p – 5 = 0 p = 6 v p = 5 x √x = 6 v x √x = 5 x 2 · x = 36 v x 2 · x = 25 x 3 = 36 v x 3 = 25 x = 3 √36 v x = 3 √ = -11 en -6 · -5 = 30 kwadraat voldoet 1.3

28 Gebroken vergelijkingen R egels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC ABAB ABAB CBCB ABAB ACAC ABAB CDCD controleer of geen noemer nul wordt = 0 = kan niet = 0 een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet

29 opgave 41a = 2 = (3x 2 – 10) · 1 = (x 2 + 1) · 2 3x 2 – 10 = 2x x 2 – 2x 2 = x 2 = 12 x = √12 v x = - √12 3x 2 – 10 x x 2 – 10 x x 2 – kruistabel opgave 41d = 1  = (6x 2 – 12) · 3 = (x 4 – 2x 2 + 1) · 4 18x 2 – 36 = 4x 4 – 8x x x 2 + 8x 2 – 36 – 4 = 0 -4x x = 0 -4p p – 40 = 0 p = 4 v p = 2½ x 2 = 4 v x 2 = 2½ x = 2 v x = -2 v x = √2½ v x = - √2½ 6x 2 – 12 (x 2 – 1) 2 6x 2 – 12 x 4 – 2x x 2 – D = 26 2 – 4 · -4 · -40 D = 36 p = (-26 - √ 36) : -8 = 4 v p = (-26 + √ 36) : -8 = 2½ stel x 2 = p voldoet

30 Lineaire vergelijking met twee variabelen y vb.1 2y + 3x = 8 om de grafiek te plotten moet je eerst y vrijmaken 2y = -3x + 8 y = -1½x + 4 voer in y 1 = -1½x + 4 je kunt de grafiek ook tekenen zonder de formule in te voeren in de GR snijpunt met de y-as is (0, 4) rc = -1½ of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8 je maakt een tabel met 2 punten vul bijv. x = 0 en x = 2 in dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1) teken de punten en de lijn : 2 ● ● -1½ ● ● algemene vorm ax + by = c grafiek is een rechte lijn x 1.4

31 Stelsels vergelijkingen y f g vb.2 gegeven zijn de lijnen f : 2y + x = 4 en g : y – 3x = -5 het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als van y – 3x = -5 we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het stelsel 2y + x = 4 y – 3x = -5 ● x 1.4

32 Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen 2y + x = 4 y – 3x = -5 stap 1: kan elimineren door optellen? 3y – 2x = -1 + nee stap 2: kan elimineren door aftrekken? - y + 4x = 9 nee stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? y + 3x = 12 y – 3x = y = 7 y = 1 : 7 y = 1 2y + x = 4 2 · 1 + x = x = 4 x = 2 de oplossing is (2, 1) maakt niet uit welke vergelijking x geëlimineerd invullen

33 opgave 49a 5x + 2y = 69 x + 3y = -7 stap 1: kan elimineren door optellen ? 6x + 5y = 62 + nee stap 2: kan elimineren door aftrekken ? - 4x - y = 76 nee stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen en dan optellen of aftrekken ? x + 6y = 207 2x + 6y = x = 221 x = 17 : 13 x = 17 x + 3y = y = -7 3y = -24 y = -8 de oplossing is (17, -8) maakt niet uit welke vergelijking y geëlimineerd invullen -17 : 3

34 opgave 52 y = ax² + c gaat door de punten (1, 8) en (2, 17) (1, 8) invullen geeft 8 = a · 1² + c 8 = a + c a + c = 8 (2, 17) invullen geeft 17 = a · 2² + c 17 = 4a + c 4a + c = 17 a + c = 8 4a + c = a = -9 a = 3 : -3 invullen a + c = 8 a = c = 8 c = dus a = 3 en c = 5 y = 3x elimineren door aftrekken

35 opgave 55 y = ax² + bx + c gaat door de punten (-2, -10), (0, 4) en (3, -5) (0, 4) invullen geeft 4 = c c = 4 (-2, -10) invullen geeft -10 = 4a – 2b + 4 4a – 2b = -14 (3, -5) invullen geeft -5 = 9a + 3b + 4 9a + 3b = -9 4a – 2b = -14 9a + 3b = a = -60 a = -2 : 30 invullen 12a – 6b = a + 6b = -18 9a + 3b = -9 a = -2 dus a = -2, b = 3 en c = 4 y = -2x 2 + 3x + 4 elimineren door optellen · b = b = -9 3b = 9 b = : 3

36 opgave 57a is x of y al vrijgemaakt dan kun je een stelsel oplossen m.b.v. elimineren door substitutie 2x + 2y = 9 y = 4x - 3 2x + 2(4x – 3) = 9 2x + 8x – 6 = 9 10x – 6 = 9 10x = 15 x = 1½ y = 4x - 3 y = 4 · 1½ - 3 y = y = 3 de oplossing is (1½, 3) invullen + 6 : 10

37 De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = prod=

38 2grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y 1 = x² en y 2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 1.5

39 y x x² = 2x + 3 y 1 = x² y 2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = y1y1 y2y2 Grafisch-numeriek 1.5

40 opgave 65c |x 2 – 4x| = |x 2 + 2x - 3| x 2 – 4x = x 2 + 2x – 3 v x 2 – 4x = -(x 2 + 2x – 3) x 2 – x 2 – 4x – 2x + 3 = 0 v x 2 – 4x = -x 2 – 2x x = -3 v x 2 + x 2 – 4x + 2x – 3 = 0 x = ½ v 2x 2 – 2x – 3 = 0 x = ½ v x ≈ 1,82 v x ≈ -0,82 D = (-2) 2 – 4 · 2 · -3 D = = 26 x = (--2 + √26) : 4 v x = (--2 - √26) : 4 x = 1,82 v x = -0,82 1,770,5-0,77 |x 2 – 4x| |x 2 + 2x - 3|

41 y 3 f g x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 0 x werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1los de vergelijking f(x) = g(x) op 2schets de grafieken van f en g 3lees uit de schets de oplossingen af lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g Los op:

42 Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet algebraïsch te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen. x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y 1 = x³ - 2x² y 2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 2,56 y -1,56 2,56 y 1 y 2 0 x 1 lees het antwoord af op de x-as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g Los op:

43 opgave 68c x 2 – 4x ≤ -x 2 – 5x + 6 x 2 – 4x = -x 2 – 5x + 6 x 2 + x 2 – 4x + 5x – 6 = 0 2x 2 + x – 6 = 0 D = 1 2 – 4 · 2 · -6 D = = 49 x = (-1 ± √49) : 4 x = 1,5 v x = ≤ x ≤ 1,5 Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? -21,5

44 opgave 69c |x 3 – 10x| ≤ 2x ,24 ≤ x ≤ -3,06 v -0,69 ≤ x ≤ 1,24 v 2 ≤ x ≤ 3,76

45 opgave 72a x 2 + (p 2 – 2)x + 12¼ = 0 D = b 2 – 4 · 1 · 12¼ D = b 2 – 49 D > 0 b 2 – 49 > 0 b 2 = 49 b = 7 v b = -7 p 2 – 2 = 7 v p 2 – 2 = -7 p 2 = 9 v p 2 = -5 p = 3 v p = -3 geen oplossing dus p 3 stel p 2 – 2 = b -33 p


Download ppt "Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 1.1."

Verwante presentaties


Ads door Google