De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 3.1.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 3.1."— Transcript van de presentatie:

1 Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 3.1

2 Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1kies een stapgrootte 2bereken voor elke stap de toename of afname 3teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 3.1

3 voorbeeld 2-0,50,524 ∆y [3,4][2,3][1,2][0,1][-1,0]∆x = x y..... Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met ∆x =

4 Richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB yByB y A 0 y · · x ∆x ∆y omhoog ∆xrechts dus r.c. = ∆y : ∆x xAxA xBxB A B y B – y A = ∆y x B – x A = ∆x 3.2

5 xAxA a xBxB b Het differentiequotiënt van y op het interval [x A,x B ] is x y A B ∆x ∆y ∆x ∆y y B – y A f(b) – f(a) ∆x x B – x A b - a differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde toename van y op [x A,x B ] is r.c. of hellingsgetal van de lijn AB ==.. yAyA yByB f(b) f(a) 3.2

6 Gemiddelde snelheid In een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t. Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotiënt van s op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b]. De gemiddelde snelheid is ∆s : ∆t. 3.2

7 opgave 19 x y 0 f avoer in y 1 = x³ - 3x + 5 bgemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 cdifferentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 dhellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) = = 16 ∆x = = 4 r.c. = ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 B(1,3) en r.c = 4 invullen geeft y = 4x - 1 y = ax + b x B = 1, y B = 3 en a = 4 invullen 3 = 4 · 1 + b 3 = 4 + b b = -1

8 Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a, a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 De gemiddelde snelheid = ∆s : ∆t. 3.3

9 Snelheid en richtingscoëfficiënt t s tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t ade gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 bDe lijn AB 4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. == 3 m/s == 4 m/s = 5 m/s = 5,5 m/s = = A B1B1 B2B2 B3B3 B4B Hoe dichter B n bij A komt te liggen, hoe meer de lijn AB n op de lijn lijkt die de grafiek raakt. De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 3.3

10 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden opgave 24 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4. 3,01² - 0,4. 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = = 2,404

11 dydx voor x is x A Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] dy dx x=x A y O x k A xAxA rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = x A de GR bezit een optie om dydx te berekenen 3.3

12 [ ] avoer in y 1 = -x 2 – 2x + 8 = 2 dus de r.c. = 2 bB(0, 8)  x B = 0 = -2 l : y = -2x + b B(0, 8) y = -2x + 8 [ ] dy dx x=-2 · B dy dx x=0 8 = -2 · 0 + b b = 8 opgave 29

13 · P · Q cf snijdt de x-as in P en Q lijn m raakt de grafiek in P = 6 y = 6x + b P(-4, 0) y = 6x + 24 lijn n raakt de grafiek in Q = -6 y = -6x + b Q(2, 0) y = -6x x + 24 = -6x x + 6x = x = -12  x = -1 [ ] dy dx x=-4 [ ] dy dx x=2 0 = 6 · -4 + b b = 24 0 = 2 · -6 + b b = 12 x = -1 invullen y = 6 · = 18 snijpunt (-1, 18) Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen. opgave 29

14 d∆x = 6 ∆y = -12 r.c. = ∆y : ∆x r.c. = -12 : 6 r.c. = -2 · R · T ∆x = 6 ∆y = -12 opgave 29

15 Hellinggrafieken x x y helling O O Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend stijgend deel v.d. grafiek  positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek  negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as top top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as 0 0 laagste punt overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos. 3.4

16 Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie. y x O top 000 voorbeeld

17 Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv Casio  OPTN – CALC – menu optie d/dx vb. voer in y 1 = 0,1x 4 – x 2 + x + 8 en y 2 = nDeriv(y 1,x,x)(op de TI) of y 2 = d/dx(y 1,x)(op de Casio) 3.4

18 De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie. i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) De afgeleide van een functie f geeft voor elke x : - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van f in het bijbehorende punt - de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt 3.4

19 Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecoëfficiënt van f(x) op het interval [ x, x + h ], dus naar ∆y ∆x = f(x + h) – f(x) = x + h - x f(x + h) – f(x) h Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft f(x + h) – f(x) h een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt. O xx+h x y f(x+h) f(x) h f(x+h) – f(x) O xx+h x y f(x+h) f(x) h f(x+h) – f(x) h klein f(x + h) – f(x) h de grenswaarde van voor h naar 0 is de afgeleide f’(x) de definitie van de afgeleide f’ van een functie f is f’(x) = lim f(x + h) – f(x) h h  0 3.4

20 Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

21 Differentiëren regels voor het differentiëren: f(x) = ageeft f’(x) = 0 f(x) = axgeeft f’(x) = a f(x) = ax n geeft f’(x) = n · ax n-1 voor n = 2,3,… f(x) = c · g(x)geeft f’(x) = c · g’(x) f(x) = g(x) + h(x)geeft f’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 3.4

22 De afgeleide van f(x) = ax n f(x) = ax 3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax 4 g’(x) = 4ax 3 h(x) = ax 5 h’(x) = 5ax 4 algemeen geldt : k(x) = ax n k’(x) = n · ax n-1 oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 3.4

23 opgave 47c h(x) = 5(x – 3)² + 5(2x – 1) h(x) = 5(x – 3)(x – 3) + 10x – 5 h(x) = 5(x² - 6x + 9) + 10x - 5 h(x) = 5x² - 30x x - 5 h(x) = 5x² - 20x + 40 h’(x) = 2 · 5x – 20 h’(x) = 10x - 20

24 opgave 47d k(x) = -3(x – 1)(5 – 9x) – 8(x – 7) k(x) = -3(5x – 9x² x) – 8x + 56 k(x) = -15x + 27x² + 15 – 27x – 8x + 56 k(x) = 27x² - 50x + 71 k’(x) = 2 · 27x – 50 k’(x) = 54x - 50

25 opgave 48a f(x) = (3x – 1)(x 2 + 5x) f(x) = 3x x 2 – 1x 2 – 5x f(x) = 3x x 2 – 5x f’(x) = 3 · 3x · 14x – 5 f’(x) = 9x x - 5

26 opgave 48d f(x) = 5 - 3(x 4 – x)(x + 1) f(x) = 5 – 3(x 5 + x 4 - x 2 – x) f(x) = 5 - 3x 5 - 3x 4 + 3x 2 + 3x f’(x) = 5 · -3x · 3x · 3x + 3 f’(x) = -15x x 3 + 6x + 3

27 Raaklijn en afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). x y O f k A xAxA y A = f(x A ) rc k = f’(x A ) 3.5

28 opgave 50 af(x) = 0,5x 3 – 2x f’(x) = 3 · 0,5x 2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x 2 – 4x stel k : y = ax + b x A = 4 a = f’(4) = 1,5 · 4 2 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 4 3 – 2 · = 2 dus k : y = 8x = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30

29 opgave 50 bstel m : y = ax + b x B = -2 a = f’(-2) = 1,5 · (-2) 2 – 4 · -2 = 14 dit geeft m : y = 14x + b y = f(-2) = 0,5 · (-2) 3 – 2 · (-2) = -10 dus m : y = 14x = 8 · -2 + b -10 = b b = 6

30 Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient Teken f(x) = x² - 3x + 1 Teken enkele lijnen met rc = 2 Eén van de lijnen raakt de grafiek het raakpunt is B. Bereken de coördinaten van B. rc = 2 dus f’(x B ) = 2 x B berekenen f’(x) = 2 oplossen f’(x) = 2x – 3 f’(x) = 2 x B = 2,5 y B = f(2,5) = -0,25 B(2,5; -0,25) 2x – 3 = 2 2x = 5 x = 2, y B ● x 3.5

31 opgave y x f(x) = -x² + 2x + 3 arc raaklijn = 4 dus f’(x) = 4 f’(x) = -2x + 2 x A = -1 y A = f(-1) = 0 A(-1, 0) bl : y = -6x + 8 rc raaklijn = -6 dus f’(x B ) = -6 f’(x) = -2x + 2 x B = 4 y B = f(4) = -5 B(4, -5) -2x + 2 = 4 -2x = 2 x = -1 A ● f l -2x + 2 = -6 -2x = -8 x = 4 Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde r.c. k

32 Snelheid en afgeleide O x y a rc = f’(a) De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide f’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. f(a) A 3.5


Download ppt "Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 3.1."

Verwante presentaties


Ads door Google