De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar.

Verwante presentaties


Presentatie over: "De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar."— Transcript van de presentatie:

1 De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0  y = getal 2.1

2 werkschema : het oplossen van lineaire vergelijkingen voorbeeld4(2x – 3) = 6x – 8 1staan er haakjes ? werk ze weg8x – 12 = 6x – 8 2termen met x naar links, de rest naar rechts8x – 6x = herleid beide leden2x = 4 4deel door het getal voor xx = 4/2 = 2 2.1

3 voorbeeld · · x 4 -3 ∆yomhoog ∆xrechts r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ m: y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ 15 A B y B – y A = x B – x A = Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. y Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. 2.2

4 1 de formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan : h = 5 + 7t of h = 7t

5 delen door hetzelfde getal 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 1 2 x y · · -1,5-3omhoog 12rechts : 2 dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 altijd 1 naar rechts

6 3 een punt en de r.c. zijn gegeven de lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c. m = y · · A x 1 -4 alg. verg. : y = ax + b r.c. m = a = -4 y = -4x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 · 2 + b 6 = -8 + b = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x

7 4 twee punten zijn gegeven N · · t 60 3 omhoog 120rechts : 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t

8 Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR ? 1noteer de formules die je invoert, dus schrijf op y 1 = … en y 2 = … 2noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat 3beantwoord de gestelde vraag 2.3

9 Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen pas het model toe controle stel het model bij 2.3

10 Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 2.4

11 1 x² = getal x = √getalv x = -√getal voorbeeld 1 x² = 7 x = √7v x = -√7 voorbeeld 2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen voorbeeld 3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16v x + 5 = -√16 x + 5 = 4v x + 5 = -4 x = 4 – 5v x = -4 – 5 x = -1v x = -9 ax² = positief getal 2 oplossingen bx² = 0 x = 0  1 oplossing cx² = negatief getal k.n.  geen oplossing 2.4

12 2 Ontbind in factoren amaak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen bvereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk contbind het linkerlid in factoren dA · B = 0  A = 0 v B = 0 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 voorbeeld 1 ad a ad b ad c ad d prod= opgeteld = -8 product =

13 3 De abc-formule bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 2.4

14 De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = prod=

15 2grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y 1 = x² en y 2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2.4

16 y x x² = 2x + 3 y 1 = x² y 2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = y1y1 y2y2 Grafisch-numeriek

17 Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 2.5

18 Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1voer de formule in bij y 1 2schets de grafiek 3gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden 4zet in je schets de coördinaten van de toppen 5noteer de extreme waarden in de vorm : min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 2.5

19 Werkschema: het tekenen van de grafiek van een functie 1Voer de formule in op de GR en zoek een venster, waarbij het verloop van de grafiek goed zichtbaar is. 2Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift. 3Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen. 2.5

20 Wortels x² = 10 x = √10 v x = -√10 kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffen √10 = 2 √10 √10 = 10  √10 ≈ 3,16 (√10)² = 10 daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10 GR 1y 1 = x 2 en y 2 = 10 plotten  intersect coördinaten v/h snijpunt 2optie x √ gebruiken 5.1

21 Voor het oplossen van de vergelijking x n = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden. 5.1

22 1p is positief ( n = oneven ) er is één oplossing x³ = 3 x = 3  x ≈ 1,44 1,44 n = oneven grafiek is puntsymmetrisch in (0, 0) 5.1

23 x ³ = -3 x = -3  x ≈ -1,44 -1,44 2p is negatief ( n = oneven ) er is één oplossing 5.1

24 x 4 = 3 x = 3 ¼ x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32 -1,321,32 3p is positief ( n = even ) er zijn twee oplossingen n = even grafiek is lijnsymmetrisch in de y-as 5.1

25 x 4 = -3 x = -3 ¼ Er is geen oplossing 4p is negatief ( n = even ) er zijn geen oplossingen 5.1

26 y 3 f g los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 0 x werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1schets de grafieken van f en g 2los de vergelijking f(x) = g(x) op 3lees uit de schets de oplossingen af lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g 5.1

27 Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR) los op (2 decimalen) x³ - 2x² > 3x – 4 voer in y 1 = x³ - 2x² y 2 = 3x - 4 optie intersect x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56 aflezen uit de schets -1,56 2,56 y -1,56 2,56 y 1 y 2 0 x 1 lees het antwoord af op de x- as f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g 5.1

28 Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

29 Bij de formule N = b · g t onderscheiden we 2 gevallen groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis O x y O x y g > 10 < g <

30 Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. Neemt een bedrag met 250 euro per jaar met 4,5% toe, dan is de groeifactor 1, % + 4,5% = 104,5%  × 1,045 formule : B = 250 × 1,045 t Dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%. We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g – 1 ) × 100%. 5.2

31 Rekenregels van machten bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten a 4 = a · a · a · a a 2 · a 3 = a · a · a · a · a = a 5 = = a 2 (a 2 ) 3 = a 2 · a 2 · a 2 = a 6 (ab) 3 = ab · ab · ab = a 3 b 3 a 5 a · a · a · a · a a 3 a · a · a bij vermenigvuldigen de exponenten optellen 5.3

32 Algemeen a p · a q = a p + q = a p – q (a p ) q = a pq (ab) p = a p b p apaqapaq 5.3

33 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2 -1 = ½ 8 -1 = ⅛ a -n = (a ≠ 0) de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 1 anan Negatieve exponenten 5.3

34 x  = √x x  = √x 4  = √4 = 2 64  = √64 = 4 algemeen: a  = n √a ook geldt: a = √a (a > 0) pqpq q 3 3 Machten met gebroken exponenten p 5.3

35 als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q dan is P evenredig met Q het getal a heet de evenredigheidsconstante y is evenredig met x n betekent dat er een getal a is met y = a · x n Evenredig

36 is g de groeifactor per tijdseenheid, dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan g n bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,5 24 ≈ 16834,11 per dag en een groeifactor van 1,5 ¼ ≈ 1,11 per kwartier 1,11  111%  toename per kwartier is 11% het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid 5.4

37 herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei Werkschema:

38 de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking g T = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking g T = ½ op te lossen Verdubbelings- en halveringstijd

39 herkennen van exponentiële groei bij een tabel 1bereken voor even lange tijdsintervallen het quotiënt aantal aan het eind van het interval aantal aan het begin van het interval 2verschillen de quotiënten weinig, dan mag je uitgaan van exponentiële groei Werkschema: 5.4

40 de verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking g T = 2 op te lossen de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking g T = ½ op te lossen Verdubbelings- en halveringstijd 5.4

41 a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○ ● ≤  [  ● <  ‹  ○ ● Intervallen 7.1

42 4½4½ l ○ ● a x ≤ 4½ ‹ , 4½ ] b x > -8 ‹ -8,  › -8 l Oneindige intervallen 7.1

43 constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling Stijgen en dalen 7.1

44 afnemend dalend op toenemend stijgend op afnemend stijgend op toenemend dalend op toenemend stijgend op afnemend dalend op voorbeeld

45 De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram : 1 kies een stapgrootte 2 bereken voor elke stap de toename of afname 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 Toenamendiagram 7.1

46 2-0,50,524 ∆y [3,4][2,3][1,2][0,1][-1,0]∆x = x ∆ y∆ y... Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. voorbeeld

47 0 x y

48 ∆yyx y = -x² + 2x x ∆y voorbeeld

49 N2N2 N 1 0 N t ∆t ∆N omhoog ∆trechts dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t t1t1 t2t2 N 2 – N 1 = ∆N t 2 – t 1 = ∆t · · Gemiddelde veranderingen 7.2

50 xAxA axBxB b x y A B ∆x ∆y ∆x ∆y y B – y A f(b) – f(a) ∆x x B – x A b - a differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [x A,x B ] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ==.. yAyA yByB f(b) f(a) 0 Het differentiequotiënt van y op het interval [x A,x B ] is 7.2

51 In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd t Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotiënt op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b] de gemiddelde snelheid is ∆s ∆t Gemiddelde snelheid 7.2

52 agemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 bdifferentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = = 7 ∆K : ∆P = 2/ ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = voorbeeld

53 bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval [a, a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 Snelheid bij een tijd-afstand grafiek 7.3

54 t s tijd-afstand grafiek v.b. : s = -t² + 10t Bereken de gemiddelde snelheid op [2,5],[2,4], [2,3] en [2,2½]. ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 De lijn AB 4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. = = 3 m/s = = 4 m/s = 5 m/s = 5,5 m/s = = A B1B1 B2B2 B3B3 B4B Hoe dichter B n bij A komt te liggen,hoe meer de lijn AB n op de lijn lijkt die de grafiek raakt. De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. Snelheid, raaklijn en helling 7.3

55 voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] dy dx x=x A y O x k A xAxA - rc. van de raaklijn van de grafiek in A - helling van de grafiek in A - snelheid waarmee y verandert voor x = x A de GR bezit een optie om dydx te berekenen dydx voor x is x A 7.3

56

57 voer in y 1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 dy dx x = -1 [ ] Het opstellen van de formule van een raaklijn

58 x x y helling O O Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend stijgend deel v.d. grafiek  positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek  negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as top top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as 0 0 laagste punt overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos. Hellinggrafieken schetsen

59 Hellinggrafiek plotten m.b.v. GR TI  MATH – MATH - menu optie nDeriv vb. voer in y 1 = 0,1x 4 – x 2 + x + 8 en y 2 = nDeriv(y 1,x,x) (op de TI)

60 avoer in y 1 = (5x² - 38)/(x² + 4) en y 2 = nDeriv(y 1,x,x) (op de TI) of y 2 = d/dx(y 1,x) (op de Casio) kies Xmin = -5, Xmax = 5, Ymin = -10, Ymax = 5 bvoer in y 3 = 3 optie intersect met y 2 en y 3 geeft x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354 aflezen  helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354 y xO Ox helling 3 0,458 2,354 voorbeeld

61 De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctie i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.4

62 f(x) = ax 3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax 4 g’(x) = 4ax 3 h(x) = ax 5 h’(x) = 5ax 4 algemeen geldt : k(x) = ax n k’(x) = n · ax n-1 somregel van het differentiëren f(x) = g(x) + h(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3) de afgeleide van f(x) = ax n 7.4

63 Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a)). x y O f k A xAxA y A = f(x A ) rc k = f’(x A ) Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide 7.4

64 notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn : f’(x) (f(x)) dy dx d dx df(x) dx Notaties voor de afgeleide 7.5

65 x y O stijgend dalend top f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) = 0 werkschema : het algebraïsch berekenen van maxima en minima 1bereken de afgeleide 2los algebraïsch op = 0 3schets de grafiek kijk in de schets of je met een max. of een min. te maken hebt 4bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de formule van y in te vullen dy dx dy dx Het algebraïsch berekenen van maxima en minima


Download ppt "De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar."

Verwante presentaties


Ads door Google