WIS21.

Presentatie over: "WIS21."— Transcript van de presentatie:

1 WIS21

2 Logaritmen Definitie Uit de definitie volgt: alog1=0 want a0=1 en
a heet het grondtal; a>0 en a1 b>0 Uit de definitie volgt: alog1=0 want a0=1 en alogan=n want an=an

3 Meest gebruikt: grondtal 10: logb
de 10 wordt niet vermeld. grondtal e (=2, ….): lnb (=elogb) ln: natuurlijke logaritme

4 Eigenschappen van logaritmen

5 maken opgaven 1, 2 en 3

6 logaritmische vergelijkingen
les 2 logaritmische vergelijkingen

7 Logaritmische vergelijkingen
Vergelijkingen waarin de logaritme van een onbekende voorkomt. voorbeeld: Oplossingsmethode: werk vergelijking om tot de vorm alogA=alogB, dan is: A=B. 

8 Omvormen grondtal met behulp van:
Oplossing alleen mogelijk als logaritmen in vergelijking hetzelfde grondtal hebben. Omvormen grondtal met behulp van: stel alogb=x  b=ax voorbeeld: 3log6=log6/log3=0,77815/0, =1,6309 3log6=ln6/ln3=1,79176/1,0986=1,6309

9 uitwerking voorbeeld:
Kies één grondtal. Bijvoorbeeld 2: de vergelijking wordt: werk de 2 in de noemer weg:

10 Schrijf 4 als logaritme van 2: 4=2log24
De vergelijking wordt nu: De oplossingen zijn x1=-1, x2=16,83 en x3=-0,83.

11 Controleer de oplossingen door invullen in oorspronkelijke vergelijking:
x1=-1 Voldoet niet, want log(0) bestaat niet x2=16,83 Voldoet niet, want log(negatief getal) kan niet. x3=-0,83 Dit antwoord voldoet wel, want logaritmes uit positieve getallen.

12 Maken opgave 4

13 definities en grafieken
les 3 Functies definities en grafieken

14 Notatie: f:y=f(x) of f:x  f(x)
Definitie: De functie f:y=f(x) is de verzameling punten (x,y) waarvoor geldt y=f(x) en waarvoor bij elke x-waarde hoogstens één y-waarde hoort.

15 Principe Stel functie is: f:y=3x-4
bereken voor een aantal waarden van x de bijbehorende y: x -4 -2 2 4 6 8 y -16 -10 14 20

16 Teken de punten in het x,y-vlak en verbindt de losse punten door een vloeiende lijn.

17 Makkelijk in Excel.

18 Rechte lijn Lineaire functie: y=mx+b grafiek is rechte lijn.
m heet de helling of richtingscoefficient lijnen met dezelfde m lopen evenwijdig m>0: rechte stijgt m<0: rechte daalt m=0: rechte loopt horizontaal (y=b) b=snijpunt met y-as b heet het intercept b=0: rechte gaat door (0,0) snijpunt met de x-as (y=0): x=-b/m

19 Maken opgaven 5,6 en 7

20 functies omvormen tot lineaire functies
les 4 functies omvormen tot lineaire functies

21 Stel: y=e2t De grafiek hiervan is niet lineair: Bij metingen is het nodig de grafiek lineair te maken om de constante 2 te achterhalen.

22 Lineariseren Neem links en rechts de natuurlijke logaritme van y=e2t: lny=2t. Zet uit Y=lny tegen t: De helling hiervan is 2.

23 Lineariseren is een kwestie van proberen.
Stel je hebt deze meetpunten: De grafiek ziet er zo uit t 1 2 3 4 5 6 7 y 20 45 80 125 180 245

24 Lijkt wel op een logaritmische functie.
Neem van de y waarden de logaritme: (meteen al problemen met de 0: ln(0)= ERROR) Resultaat is niet-lineair.

25 Nu is het resultaat wel lineair:
Probeer de wortel: Nu is het resultaat wel lineair: helling=15,7/7=2,24

26 De oorspronkelijke functie was dus y=5x2.
Functie was y=ax2. wortel nemen: kennelijk is a=2,24 of a=5. De oorspronkelijke functie was dus y=5x2.

27 maken opgave 8

28 Goniometrische verhoudingen hoekmaten
les 5 Goniometrische verhoudingen hoekmaten

29 Goniometrische verhoudingen
In een driehoek met rechte hoek geldt: Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek AB'C'. de volgende verhoudingen zijn steeds gelijk:  A B C B' C' en

30 Definities voor de verhoudingen:
 A B C B' C' Definities voor de verhoudingen:

31 relaties of Er zijn meer relaties.

32 Formules van Simpson Zie verder de sites:
home.scarlet.be/~greetvrh/Word%20documenten/FormulariumGoniometrie.doc

33 Voorbeeld opgave Gegeven: AB=6, =25º, =90º Gevraagd: AC en BC.
Oplossing: Bekend zijn  en AB. Verhoudingen daarmee zijn: cos()=AB/AC  AC=AB/cos() tan()=BC/AB  BC=AB*tan() AC=6/0, =6,6202 BC=6*0, =2,7978  A B C  

34 Hoekmaten zestigdelige graden (º): DEG honderddelige graden: GRAD
van een rechte hoek van (boogminuut) van (boogseconde) honderddelige graden: GRAD 1 grad = 0,01 van een rechte hoek

35 radialen: RAD Twee difinities: Goniometrische cirkel radiaal:
Een goniometrische cirkel is een cirkel waarvan de straal gelijk is aan de lengte-eenheid. radiaal: Een hoek van 1 radiaal is een hoek waarvan de bijbehorende booglengte op de goniometrische cirkel gelijk is aan de lengte-eenheid.

36 Omrekenen Lengte van cirkelomtrek: 2r. dus als r=1: lengte is 2
360º=2 radialen 2 radialen=360º 1º=2/360 radialen 1 radialen=(360/2)º xº=x/180 radialen x radialen=(180x/)º

37 Voorbeeld opgave Gegeven: =15º23'45'' Gevraagd:  in radialen
Oplossing: eerst alles omzetten naar graden: 45''=45/60'=0,75' (optellen bij 23') 23,75'=23,75/60º=0, º (optellen bij 15º) omzetten naar radialen:

38 Maken opgaven 9 en 10

39 Goniometrische verhoudingen in de goniometrische cirkel
les 6 Goniometrische verhoudingen in de goniometrische cirkel

40 sin In de goniometrische cirkel (r=1) + _
y>0 in bovenste helft en y<0 in onderste helft: Teken van de sinus: in cirkel  + _

41 cos In de goniometrische cirkel (r=1) + _
x>0 in rechter helft en x<0 in linker helft: Teken van de cosinus: in cirkel  + _

42 tan In de goniometrische cirkel (r=1) _ +
y>0 in bovenste helft en y<0 in onderste helft: en x>0 in rechter helft en x<0 in linker helft: Teken van de tangens: in cirkel  + _

43 Teken van de hoek Tegen de wijzers van de klok in: positief. /2 + 
2 3/2 Tegen de wijzers van de klok in: positief.

44 Teken van de hoek Met de wijzers van de klok in: negatief. -3/2  -2
- -2 -/2 Met de wijzers van de klok in: negatief.

45 relatie 0 = 2 = -2 /2 = /2-2 = -3/2 -/2 = -/2+2 = 3/2
 +  - -2 -  2 3/2 -/2 0 = 2 = -2 /2 = /2-2 = -3/2 -/2 = -/2+2 = 3/2 algemeen: = +n.2 = -n.2

46 Op gele blad: tabel voor veel voorkomende hoeken  0 sin  0 cos  1
 0 sin  0 cos  1 tan  0

47 Maken opgave 11

48 Goniometrische vergelijkingen
les 7 Goniometrische vergelijkingen

49 Vergelijkingen van de vorm sinx=a
Gegeven a Gevraagd x als sinx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arcsin(a) op rekenmachine: sin-1 in excel: =boogsin(a) de volledige oplossing is x=arcsin(a)+k.2 en x=-arcsin(a)+k.2 k kan positief, nul en negatief zijn

50 Vergelijkingen van de vorm cosx=a
Gegeven a Gevraagd x als cosx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arccos(a) op rekenmachine: cos-1 in excel: =boogcos(a) de volledige oplossing is x=arccos(a)+k.2 en x=-arccos(a)+k.2 k kan positief, nul en negatief zijn

51 Vergelijkingen van de vorm tanx=a
Gegeven a Gevraagd x als tanx=a bepaal met rekenmachine of tabel de x wiskundig: x=arctan(a) op rekenmachine: tan-1 in excel: =boogtan(a) de volledige oplossing is x=arctan(a)+k. k kan positief, nul en negatief zijn

52 Voorbeeld gegeven: sinx=0,52 gegeven is cosx=-0,6
volgens de tabel is x=/4 De volledige oplossing is : x=/4+k*2 en x=-/4+k*2=3/4+k*2 gegeven is cosx=-0,6 met rekenmachine: x=216,87 De volledige oplossing: x=+216,87+k*2 en x=-216,87+k*2

53 Grafiek van goniometrische functies
Tekenen tussen x=-2 en x=+2 Maak gebruik van excel. maak de x-asverdeling voldoende fijn, zonder te overdrijven Excel geeft alleen uitkomsten tussen x=-/2 en x=+/2 voor boogfuncties!

54 Voorbeeld sin(x) met verschil tussen de hoeken van 30º.

55 Met sin(x) en cos(x) in één tekening:

56 Van 13 inleveren alle even opgaven of alle oneven opgaven
Maken opgaven 12, 13 en 14 Van 13 inleveren alle even opgaven of alle oneven opgaven