De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk 19/11/05 slides en bijkomend materiaal op www.ua.ac.be/johan.deprez.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk 19/11/05 slides en bijkomend materiaal op www.ua.ac.be/johan.deprez."— Transcript van de presentatie:

1 Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk 19/11/05 slides en bijkomend materiaal op

2 Kennismaking economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor academische lerarenopleiding wiskunde stuurgroep T 3 redactie tijdschrift Uitwiskeling

3 Kennismaking Hoe goed zijn jullie vertrouwd met discrete, dynamische systemen? (goed/een beetje/helemaal niet) Hoe goed zijn jullie vertrouwd met het gebruik van een TI83/84 in het algemeen? (goed/een beetje/helemaal niet) Hoe goed zijn jullie vertrouwd met het gebruik van een TI83/84 voor rijen en recursieve vergelijkingen? (goed/een beetje/helemaal niet)

4 Overzicht Inleiding Voorbeeld: Medicijnspiegel Werkmoment Lineaire recursievergelijkingen van... Een niet-lineaire recursievergelijking Slot

5 Bronnen J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004

6 Bronnen C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998

7 Discrete wiskunde in de leerplannen leerplan VVKSO 3de graad ASO - 6u: –“De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI3)” –keuze-onderwerp iteratie –vrije ruimte discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen (gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de facultatieve uitbreiding)

8 Medicijnspiegel elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid begin: 1500 (mg) elke dag: eerst  0.75, dan (mg) Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed? combineren van ‘recursieve bewerkingen’ bij meetkundige en rekenkundige rij!

9 Medicijnspiegel: basisscherm TI84 vertraagd stijgend met limietwaarde 6000

10 Medicijnspiegel: vergelijking en tabel accolades worden door de rekenmachine geplaatst ! u boven [7] n via [X,T, ,n] via [MODE] via [Y=] beginterm heeft rangnummer 0 via [2nd] [TBLSET] via [2nd] [TABLE]

11 Medicijnspiegel: grafiek vertraagd stijgend met limietwaarde 6000 via [WINDOW] via [GRAPH] via [TRACE]

12 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling via [2nd] [FORMAT] daarna [GRAPH]

13 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling 1ste bissectrice recursievergelijkin g

14 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [TRACE] (1500,0) x-coördinaat van de cursor is beginwaarde

15 (1500,2625) vul 1500 in voor H 0 in Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] y-coördinaat van de cursor is H 1 vul 1500 in voor x in (1500,0)

16 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] H 1 wordt m.b.v. de 1ste bissectrice overgebracht van de y- naar de x- coördinaat (1500,0) (1500,2625) (2625,2625)

17 vul 2625 in voor H 1 in Medicijnspiegel: alternatievegrafische voorstelling [pijltje rechts] vul 2625 in voor x in (1500,0) (1500,2625) (2625,2625) (2625, )

18 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling enzovoort SPINNENWEBDIAGRAM opeenvolgende waarden van H: - zie opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na) vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met steeds kleinere treden en die ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten ??!!

19 Medicijnspiegel: limiet en evenwicht op lange termijn is de hoeveelheid actieve stof in het bloed in evenwicht (?!) limietwaarde 6000 is evenwichtswaarde

20 Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht bij evenwicht:1500 mg verdwijnt uit lichaam 1500 mg wordt toegevoegd HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde moleculen: dynamisch evenwicht

21 Medicijnspiegel: stabiel evenwicht Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht. Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er? aanvankelijk 6000 mg medicijn in bloed beginnen met 4500 mg medicijn in bloed evenwicht wordt hersteld

22 Medicijnspiegel: evenwicht berekenen, evenwicht en beginwaarde evenwicht is het getal E waarvoor E = 0.75E , dus E = 6000 beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor! evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is onafhankelijk van de beginwaarde!

23 Medicijnspiegel: evenwicht en spinnenwebdiagram snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde limietwaarde 6000: trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

24 Medicijnspiegel: evenwichtswaarde als vast punt recursievergelijking: rechte uit spinnenwebdiagram: eerstegraadsfunctie: berekening evenwichtswaarde: evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f (dus:...) expl. vgl. overslaan

25 Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

26 partieelsom van een meetkundige rij met reden 0.75

27 Medicijnspiegel: verklaring voor het verloop vertraagd dalende MR met limietwaarde 0 grafiek over 6000 eenheden verschuiven naar boven grafiek spiegelen t.o.v. horizontale as en uitrekken met factor 4500

28 Medicijnspiegel: expliciete vergelijking en evenwicht H n – E is meetkundige rij met reden 0.75 E = 6000 via begin- voorwaarde: C = -4500

29 Werkmoment keuze tussen werktekst A: BASIS inoefenen van deel 1 a.d.h.v. een ander voorbeeld werktekst B: UITBREIDING vooruitlopen op deel 2 a.d.h.v. een ingewikkelder recursievergelijking

30 vergelijking (1), aanbod: product met productietijd van ongeveer één jaar (wintertarwe, varkens, …) Werktekst A – inleiding: vergelijking (1) beslissing om te produceren (en product op de markt aan te bieden) valt één jaar vóór het effectief aanbieden aanbod reageert met vertraging op de prijs

31 Werktekst A – inleiding: andere vergelijkingen vergelijking (2), vraag: vergelijking (3), evenwicht: vergelijking (4), begin: mechanisme: prijs van jaar n – 1 bepaalt aanbod van jaar n in jaar n stijgt/daalt prijs om evenwicht te krijgen er worden geen voorraden opgebouwd (product is bederfbaar, modegevoelig, …)

32 Werktekst A – inleiding rechtstreeks ! via recursieve vergelijking en nu: aan het werk!

33 Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid recursievergelijkingen van de vorm (a en b getallen) mogelijkheden verkennen m.b.v. spinnenwebdiagrammen

34 Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid belangrijke punten i.v.m. verloop / limiet en evenwicht: niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’ er is niet altijd een (eindige) limietwaarde ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste gevallen een evenwichtswaarde; het evenwicht is dan labiel

35 Werktekst B: een niet-lineaire recursievergelijking – vraag 2 in webgrafiek: parabool! gedempt schommelend helling vd grafiek (raaklijn) in 0.6 ligt tussen -1 en 0 limietwaarde 0.6 (cfr. snijpunt parabool en rechte) stabiel evenwicht: verstoring herstelt zich; aantrekkend

36 Werktekst B – vraag 4 en 5 helling vd grafiek (raaklijn) in 5/7 is < -1 + onnauwkeurigheid in de beginwaarde: dus explosief schommelend, onstabiel evenwicht, afstotend rij is constant, in 5/7 snijden parabool en rechte elkaar

37 Werktekst B – vraag 6 rij met periode 2 geen problemen met afrondingen!

38 Werktekst B – vraag 7 grafiek van f en rechte snijden elkaar in 5/7 onstabiel evenwicht: raaklijn heeft ‘grote’ helling

39 Werktekst B – vraag 7 hernummeren constante rijen

40 Werktekst B – vraag 7

41 Werktekst B – vraag 8 periode 4 onderzoeken m.b.v.

42 Werktekst B – vraag 8 grafiek f 4 uitvergroten een snijpunt helling in snijpunt, aantrekkend helling in ander snijpunt, afstotend

43 Verwant materiaal J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998 J.D., Discrete dynamische systemen, workshop op T3-symposium 2004, zie J.D., Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie J.D., Rijen en differentievergelijkingen, nascholing PEDIC (Gent), zie J.D., Discreet en dynamisch, plenaire lezing op T3-symposium 2005, zie

44 Verwant materiaal: wat? meer voorbeelden i.v.m. basiszaken toepassingen niet-lineaire recursievergelijkingen: groei van de Amerikaanse bevolking numeriek oplossen van een differentiaalvergelijking verband met matrixmodellen (Markovmodellen en Lesliemodellen)

45 Bedankt voor uw aandacht!


Download ppt "Discrete dynamische systemen Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk 19/11/05 slides en bijkomend materiaal op www.ua.ac.be/johan.deprez."

Verwante presentaties


Ads door Google