De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Discreet en dynamisch Johan Deprez T3-symposium, Oostende aug. 2005 slides op www.ua.ac.be/johan.deprez.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Discreet en dynamisch Johan Deprez T3-symposium, Oostende aug. 2005 slides op www.ua.ac.be/johan.deprez."— Transcript van de presentatie:

1 Discreet en dynamisch Johan Deprez T3-symposium, Oostende aug slides op

2 Kennismaking economisch hoger onderwijs van 2 cycli, wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor academische lerarenopleiding wiskunde stuurgroep T 3 redactie tijdschrift Uitwiskeling

3 Overzicht Met andere ogen kijken naar een klassieker...Met andere ogen kijken naar een klassieker... Medicijnspiegel Lineaire recursievergelijkingen van... Evolutie van de bevolking van de VS Logistische groei Logistische recursievergelijking

4 Met andere ogen kijken naar een klassieker … Voor de aanleg van een brug over een spoorweg moet zand aangevoerd worden. Op de plaats waar het zand gewonnen wordt, is er een kleine vijver van 900 m 2, die door de graafwerken vergroot wordt. Men wil er een grote vijver van maken die dienst zal doen voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m 2 groter. Bij het begin van de werken merkt een arbeider van de graaffirma op dat een bepaalde algensoort 8 m 2 van de oppervlakte van de vijver inneemt. Tijdens de volgende weken blijkt deze oppervlakte elke week met een kwart (van de oppervlakte die op dat ogenblik reeds ingenomen is) toe te nemen. De arbeider maakt zich ongerust en merkt op dat hier iets aan gedaan moet worden. De vijver zal anders vlug volledig volgegroeid zijn met algen. Maar zijn baas ziet voorlopig geen gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m 2 groter. "

5 Met andere ogen kijken naar een klassieker …: klassiek groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m 2 ) elke week: +150 (m 2 ) lineaire groei: t = tijd (in weken) tijd als continue veranderlijke: alle waarden van t zijn bruikbaar realistisch? (elke dag, elk uur,... even veel?) in overeenstemming met gegevens? (eerstegraadsfunctie)

6 Met andere ogen kijken naar een klassieker …: discreet groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m 2 ) elke week: +150 (m 2 ) lineaire groei: n = tijd (in weken) tijd als discrete veranderlijke: alleen gehele waarden van n worden gebruikt (rekenkundige rij) recursievergelijking met beginvoorwaarde rij (beschreven door formule voor algemene term)

7 Met andere ogen kijken naar een klassieker …: wiskundig model groei (opp. van de) vijver: begin: 900 (m 2 ) elke week: +150 (m 2 ) geeft deze rij een volledig realistische beschrijving? neen! “mooie” (eenvoudige) rij die de realiteit benaderend weergeeft wiskundig model voor de realiteit

8 Met andere ogen kijken naar een klassieker... groei (opp. ingenomen door) algen: begin: 8 (m 2 ) elke week: +25% of  1.25 exponentiële groei: (continu: (meetkundige rij) recursievergelijking met beginvoorwaarde rij (beschreven door formule voor algemene term) (exponentiële functie))

9 Met andere ogen kijken naar een klassieker... discreet: tijd als discrete (i.p.v. continue) grootheid: tijd neemt alleen natuurlijke getallen als waarden aan werken met rijen i.p.v. functies dynamisch: focussen op veranderingsproces, nl. verband tussen opeenvolgende termen van de rij... geformaliseerd door een recursievergelijking (of differentievergelijking): een vergelijking met een rij als onbekende en waarin een verband gegeven wordt tussen een term van de rij en een of meer voorgaande termen

10 Met andere ogen kijken naar een klassieker …: differentievergelijking groei (opp. ingenomen door) algen: begin: 8 (m 2 ) elke week: +25% of  1.25 exponentiële groei: (continu: (meetkundige rij) differentievergelijking met beginvoorwaarde rij (beschreven door formule voor algemene term) (exponentiële functie))

11 Met andere ogen kijken naar een klassieker...: groeisnelheid (absolute) groeisnelheid is evenredig met aanwezige hoeveelheid algen relatieve groeisnelheid is constant ONTHOUD: exponentiële groei asa relatieve groeisnelheid constant

12 Discrete wiskunde in de leerplannen leerplan VVKSO 3de graad ASO - 6u: –“De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI3)” –keuze-onderwerp iteratie –vrije ruimte discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de facultatieve uitbreiding

13 Met andere ogen kijken naar een klassieker …: een technische kwestie geeft oorspronkelijke recursievergelijking: equivalente vormen! (voor alle n ≥ 0) (voor alle n ≥ 1)

14 Medicijnspiegel elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid begin: 1500 (mg) elke dag: eerst  0.75, dan (mg) Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed? combineren van ‘recursieve bewerkingen’ bij meetkundige en rekenkundige rij!

15 Medicijnspiegel: basisscherm TI84 vertraagd stijgend met limietwaarde 6000

16 Medicijnspiegel: vergelijking en tabel accolades worden door de rekenmachine geplaatst ! u boven [7] n via [X,T, ,n] via [MODE] via [Y=] beginterm heeft rangnummer 0 via [2nd] [TBLSET] via [2nd] [TABLE]

17 Medicijnspiegel: grafiek vertraagd stijgend met limietwaarde 6000 via [WINDOW] via [GRAPH] via [TRACE]

18 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling via [2nd] [FORMAT] daarna [GRAPH]

19 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling 1ste bissectrice recursievergelijkin g

20 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [TRACE] (1500,0) x-coördinaat van de cursor is beginwaarde

21 (1500,2625) vul 1500 in voor H 0 in Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] y-coördinaat van de cursor is H 1 vul 1500 in voor x in (1500,0)

22 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling [pijltje rechts] H 1 wordt m.b.v. de 1ste bissectrice overgebracht van de y- naar de x- coördinaat (1500,0) (1500,2625) (2625,2625)

23 vul 2625 in voor H 1 in Medicijnspiegel: alternatievegrafische voorstelling [pijltje rechts] vul 2625 in voor x in (1500,0) (1500,2625) (2625,2625) (2625, )

24 Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling enzovoort SPINNENWEBDIAGRAM opeenvolgende waarden van H: - zie opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na) vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met steeds kleinere treden en die ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten ??!!

25 Medicijnspiegel: limiet en evenwicht op lange termijn is de hoeveelheid actieve stof in het bloed in evenwicht (?!) limietwaarde 6000 is evenwichtswaarde

26 Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht bij evenwicht:1500 mg verdwijnt uit lichaam 1500 mg wordt toegevoegd HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde moleculen: dynamisch evenwicht

27 Medicijnspiegel: stabiel evenwicht Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht. Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er? aanvankelijk 6000 mg medicijn in bloed beginnen met 4500 mg medicijn in bloed evenwicht wordt hersteld

28 Medicijnspiegel: evenwicht berekenen, evenwicht en beginwaarde evenwicht is het getal E waarvoor E = 0.75E , dus E = 6000 beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor! evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is onafhankelijk van de beginwaarde!

29 Medicijnspiegel: evenwicht en spinnenwebdiagram snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde limietwaarde 6000: trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

30 Medicijnspiegel: evenwichtswaarde als vast punt recursievergelijking: rechte uit spinnenwebdiagram: eerstegraadsfunctie: berekening evenwichtswaarde: evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f (dus:...) expl. vgl. overslaan

31 Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

32 partieelsom van een meetkundige rij met reden 0.75

33 Medicijnspiegel: verklaring voor het verloop vertraagd dalende MR met limietwaarde 0 grafiek over 6000 eenheden verschuiven naar boven grafiek spiegelen t.o.v. horizontale as en uitrekken met factor 4500

34 Medicijnspiegel: expliciete vergelijking en evenwicht H n – E is meetkundige rij met reden 0.75 E = 6000 via begin- voorwaarde: C = -4500

35 Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid recursievergelijkingen van de vorm (a en b getallen) mogelijkheden verkennen m.b.v. spinnenwebdiagrammen

36 Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid belangrijke punten i.v.m. verloop / limiet en evenwicht: niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’ er is niet altijd een (eindige) limietwaarde ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste gevallen een evenwichtswaarde; het evenwicht is dan labiel

37 Evolutie van de bevolking van de VS (vrij naar Pearl en Reed, 1920) tijdjaarbevolkingtijdjaarbevolking

38 Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei?

39 exponentiële model relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het exponentiële model relatief grote en systematische afwijkingen!

40 Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei? ONTHOUD: exponentiële groei asa relatieve groeisnelheid constant relatieve groeisnelheid is hier dus NIET constant! relatieve groeisnelheid in 1790 is groter dan in 1910

41 Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid? laatste element uit L P weglaten verticaal: relatieve groeisnelheid horizontaal: populatiegrootte (NIET de tijd!)

42 Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid? dalend lineair verband tussen relatieve groeisnelheid en populatie a en b via [VARS], 5:Statistics ONTHOUD: a is zeer klein

43 Evolutie van de bevolking van de VS: recursievergelijking niet-lineaire recursievergelijking van de eerste orde bevolking in 1790 (discreet) logistisch groeimodel

44 Evolutie van de bevolking van de VS: logistische model

45 logistische model relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het logistische model relatief kleine afwijkingen zonder systematiek

46 Evolutie van de bevolking van de VS: evolutie na 1910 na 1950 is de ‘maximale draagkracht’ sterk toegenomen door efficiëntere landbouw, industrie,...  oorspronkelijke model niet meer geldig zeer goede overeenkomst tot 1950 model voorspelt stabilisatie rond 166 mio (= ‘maximale draagkracht van de omgeving’) in realiteit stijgt de bevolking nog sterk (in 2000: 281 mio)

47 Logistische groei geen expliciet voorschrift bekend (in discrete geval!) verloop onderzoeken: vaststellingen op basis van berekeningen met rekenmachine rechtstreeks afleiden uit de recursievergelijking

48 Logistische groei eerst versneld stijgen daarna vertraagd stijgen op lange termijn stabilisatie ‘groei met grenzen’ beginfaze overslaan

49 Logistische groei: beginfaze ONTHOUD: a is zeer klein als p n - 1 relatief klein is, dan geldt: in het begin bij benadering exponentiële groei met groeifactor 1 + b

50 Logistische groei: beginfaze logistische groei werkelijke groei exponentiële groei na verloop van tijd zorgt de kwadratische term voor het afremmen van de groei

51 Logistische groei: limietwaarde alsd.w.z.

52 Logistische groei: spinnenweb- diagram, evenwichtswaarden gebaseerd op eerste bissectrice en twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden twee snijpunten, d.w.z. twee evenwichtswaarden, nl. 0 en L

53 Logistische groei: spinnenweb- diagram, evenwichtswaarden parabool  raaklijn aan de parabool in (0,0), rico 1 + b > 1 parabool  raaklijn aan de parabool in snijpunt met eerste bissectrice, rico 1 - b < 1 0 is een labiel evenwicht L is een stabiel evenwicht

54 Logistische recursievergelijking: rol van de parameters parameter a speelt geen essentiële rol: door over te gaan op andere eenheden, kunnen we er voor zorgen dat maximale draagkracht –b/a = 1, d.w.z. a = –b; recursievergelijking wordt: (b > 0) evenwichtswaarden worden 0 en 1 raaklijn in (0,0) heeft rico 1 + b > 1: labiel evenwicht raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b welk soort evenwicht?

55 Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b geval 0 < b  1: 0  rico raaklijn < 1 1 is een stabiel evenwicht snijpunt valt vóór de top van de parabool welk soort evenwicht?

56 Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b welk soort evenwicht? geval 1 < b < 2: -1 < rico raaklijn < 0 ‘einde’: gedempt schommelend verloop (bevolking komt soms boven de maximale draagkracht en vermindert dan) snijpunt valt voorbij de top 1 is een stabiel evenwicht vb. b = 1.75

57 welk soort evenwicht? Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1? raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b geval 2 < b: rico raaklijn < -1, vb. b = 2.25 raaklijn niet geschikt om limietgedrag te onderzoeken! labiel evenwicht, 1 is een afstotend vast punt als p n in omgeving van 1 komt, ligt p n-1 verder van 1 als p n te ver van 1 komt, is raaklijn niet meer bruikbaar

58 Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = waarden komen (bij benadering) steeds terug: 2 ophopingspunten, rij komt terecht in een 2-cykel

59 Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = 2.25 f2f2 de ophopingspunten zijn vaste punten van f 2 f2f2

60 Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b > 2 b (tussen en 2.85) ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b = 1.75 limiet 1 b = 2.25 twee ophopingspunten vier... b = 2.5 b > : chaos

61 Verwant materiaal J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998 J.D., Discrete dynamische systemen, workshop op T3- symposium 2004, zie J.D., Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie J.D., Rijen en differentievergelijkingen, nascholing PEDIC (Gent), zie

62 Bedankt voor uw aandacht!


Download ppt "Discreet en dynamisch Johan Deprez T3-symposium, Oostende aug. 2005 slides op www.ua.ac.be/johan.deprez."

Verwante presentaties


Ads door Google