De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie."— Transcript van de presentatie:

1 Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be) slides: en

2 Overzicht 1.Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen ♦ Lineaire recursievergelijkingen ♦ Tabel ♦ Webgrafiek ♦ Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt ♦ Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen 2.Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

3 Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen

4 Lineaire recursievergelijkingen ? rij z n zo dat z n =az n-1 +b (a en b getallen, a niet 0) voorbeeld: z n =2z n-1 +5 rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z 0 gegeven is voorbeeld (bis): z 0 =10, z n =2z n , 25, 55, 115, 235,... voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid (met beginvoorwaarde) voorbeelden...

5 Lineaire recursievergelijkingen ? rij z n zo dat z n =az n-1 +b (a en b getallen, a niet 0)... voorbeelden ♦ aantal deelnemers aan het T3-symposium: A n =0.8A n-1 +20, A 1 =60 (A n = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers) ♦ medicijnspiegel: H n =0.75H n , H 0 =1500 (H n = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%) ♦ sparen via annuïteit: B n =1.04B n , B 0 =0 (B n = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten, elk jaar 4% intrest) ♦ b=0: z n =az n-1, meetkundige rijen met reden a ♦ a=1: z n =z n-1 +b, rekenkundige rijen met verschil b...

6 Lineaire recursievergelijkingen ? rij z n zo dat z n =az n-1 +b (a en b getallen, a niet 0)... van een rij die beschreven wordt door een dergelijke recursievergelijking (van dit type!) met beginvoorwaarde kan de expliciete vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie cahier)

7 Tabel voorbeeld:

8 Grafische voorstellingen: TIME- en WEB-grafiek voorbeeld: TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’ n op de horizontale as, z n op de verticale as grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjes verloop: gedempt schommelend met limiet 20 z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,... WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald worden door een recursievergelijking

9 Grafische voorstellingen: WEB-grafiek 1ste bissectrice (komt in elk webdiagram terug) gebaseerd op de recursievergelijking voorbeeld: z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,...

10 Grafische voorstellingen: WEB-grafiek x-coördinaat van de cursor is z 0 voorbeeld: z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,... y-coördinaat van de cursor is z 1 1ste bissectrice

11 Grafische voorstellingen: WEB-grafiek x- en y-coördinaat van de cursor zijn z 1 voorbeeld: z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,... 1ste bissectrice

12 Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,... 1ste bissectrice x-coördinaat van de cursor is z 1 y-coördinaat van de cursor is z 2

13 Grafische voorstellingen: WEB-grafiek Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: z 0 =25, z 1 =16, z 2 =23.2, z 3 =17.44,... verloop: gedempt schommelend met limiet 20 naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20) van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x opeenvolgende waarden van z: -zie x-waarden van opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie y-waarden van opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

14 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: andere beginwaarde, zelfde verloop!

15 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant systeem is in evenwicht 20 is evenwichtswaarde het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht op de vorige slides was 20 de limietwaarde

16 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig ‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig

17 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant 10 is evenwichtswaarde het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het niet terug naar het evenwicht

18 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 1) een getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z 0 =E constant is stabiel versus labiel evenwicht evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde

19 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking de recursievergelijking bepaalt één rechte uit WEB functie f: y=-0.8x+36 snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen: we zoeken een vast punt (dekpunt) van f, 20 is een vast punt (dekpunt) van f

20 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt is een aantrekkend vast punt recursievergelijking baan van 25:

21 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt is een afstotend vast punt recursievergelijking baan van 15:

22 Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 2) getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z 0 =E constant is stabiel versus labiel evenwicht evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde een recursievergelijking bepaalt een functie f de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van deze functie evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt labiel evenwicht geeft een afstotend vast punt

23 |a|>1 |a|=1 Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag z n = az n-1 + b (a en b getallen, a niet 0) a<0 a>0 |a|<1 stabiel evenwicht aantrekkend vast punt limietwaarde labiel evenwicht afstotend vast punt geen limietwaarde

24 Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag z n = az n-1 + b (a en b getallen, a niet 0) verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek: ♦ positief/negatief ♦ absolute waarde groter/kleiner dan 1

25 Leerplan geen verplichte leerstof! past wel binnen ♦ het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs) ♦ keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u,... ♦ vrije ruimte

26 Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

27 De recursievergelijking (b een positief getal) niet lineair omwille van het kwadraat! oorsprong: discrete versie van logistische groei (cfr. cahier), maar we zullen de recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken expliciet voorschrift is niet gekend!

28 Voorbeeld: b=0.75 eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x 2 limietwaarde 1, in de omgeving van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner wordende treden limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn aan de parabool in 1

29 Voorbeeld: b=0.75 vaste punten? snijpunten van parabool en rechte? 0 en 1 (0,0) en (1,1) helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend vast punt helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast punt

30 Opdracht 1: b=1.75 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een ♦ tabel ♦ TIME-grafiek ♦ WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten. Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie blad Het maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).

31 Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1

32 Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1 in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast punt in 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie

33 Opdracht 2: b=2.25 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een ♦ tabel ♦ TIME-grafiek ♦ WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

34 Opdracht 2: b= is geen limietwaarde meer ook 1 is nu een afstotend vast punt

35 Opdracht 2: b=2.25 een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden! aantrekkende 2-cykel ophopingspunten! f(c 1 )=c 2 en f(c 2 )=c 1 f(f(c 1 ))=c 1 en f(f(c 2 ))=c 2 c 1 en c 2 zijn vaste punten van f 2 met f 2 (x)=f(f(x))

36 Opdracht 2: b=2.25 f 2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c 2, 1(!) en c 1

37 Opdracht 2: b=2.25 f 2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c 2, 1(!) en c 1 c 1 en c 2 zijn aantrekkende vaste punten van f 2 0 en 1 zijn afstotende vaste punten

38 Opdracht 3: b=2.5 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een ♦ tabel ♦ TIME-grafiek ♦ WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.

39 Opdracht 3: b=2.5 aantrekkende 4-cykel! bepaald door de aantrekkende vaste punten van f 4, met f 4 (x)=f(f(f(f(x)))) (veelterm van de 16-de graad!)

40 Opdracht 3: b=2.5 0 en 1: afstotende vaste punten van f en f 2 en f 4 en... c 1 =0.6 en c 2 =1.2: afstotende vaste punten van f 2 en f 4 en... d 1 = , d 2 = , d 3 = en d 4 = : aantrekkende vaste punten van f 4 en...

41 En verder? b (tussen en 2.85) ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b = 1.75 limiet 1 b = 2.25 twee ophopingspunten vier... b = 2.5 b > : chaos

42 En verder? b (tussen en 2.85) TI84-programma: voor ‘elke’ waarde van b worden de punten (b,z n ) met 50

43 Niet in het cahier! paragraaf 10 a lijkt niet toevallig heel erg op paragraaf 10 b! recursievergelijking uit paragraaf 10 a gaat over in die uit paragraaf 10 b via de volgende substituties: ♦ t n =(a-1)/a  z n ♦ b=a-1

44 Bedankt voor uw aandacht! slides (binnenkort) op en


Download ppt "Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie."

Verwante presentaties


Ads door Google