De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Sep 14 2009 slide College 2: Chaos 1 Wat we vandaag gaan doen: 1)Wat is chaos niet: de enkele slinger 2)Een stapje verder: de dubbele slinger 3)Chaos in.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Sep 14 2009 slide College 2: Chaos 1 Wat we vandaag gaan doen: 1)Wat is chaos niet: de enkele slinger 2)Een stapje verder: de dubbele slinger 3)Chaos in."— Transcript van de presentatie:

1 Sep 14 2009 slide College 2: Chaos 1 Wat we vandaag gaan doen: 1)Wat is chaos niet: de enkele slinger 2)Een stapje verder: de dubbele slinger 3)Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding 4)Chaos precies gemaakt: de Lyapunov exponent

2 Sep 14 2009 slide Wat is chaos? 2 onvoorspelbaarheid kleine oorzaken met grote gevolgen gevoelige afhankelijkheid van begincondities

3 Sep 14 2009 slide De enkele slinger 3 Newton:

4 Sep 14 2009 slide De enkele slinger 4 linearize!

5 Sep 14 2009 slide 5 De enkele slinger oplossing: met

6 Sep 14 2009 slide faseruimte 6

7 Sep 14 2009 slide hoe zien de banen eruit in faseruimte? 7

8 Sep 14 2009 slide 8

9 Conclusies gedrag enkele slinger: -Lineariseren van de bewegingsvergelijking levert een simpele DV voor de evolutie van het systeem in de tijd -Om deze DV op te lossen moeten we de begincondities kennen -De begincondities leggen de gehele toekomst eenduidig vast: beweging langs een cirkel in de faseruimte. -Beweging is kwalitatief hetzelfde voor alle begincondities: niet gevoelig afhankelijk 9

10 Sep 14 2009 slide Dubbele slinger 10

11 Sep 14 2009 slide Dubbele slinger in de faseruimte 11 is dat nou chaos?

12 Sep 14 2009 slide Twee dubbele slingers in de faseruimte 12 Kleine verschillen in begin = grote verschillen op het eind

13 Sep 14 2009 slide Een oud en moeilijk probleem! 13 Prof. H.A. Lorentz (Nobel 1902) geeft college over de dubbele slinger

14 Sep 14 2009 slide Conclusies dubbele slinger 14 Chaos is niet de grillige beweging, maar de afhankelijkheid van begincondities. Banen in faseruimte lopen uit elkaar Onvoorspelbaar: kleine verschillen hebben enorme gevolgen! Wat moeten we daar nu mee? De slinger, hoewel simpel, is al te lastig om dingen precies uit te rekenen. Men vermoedde al wel dat er wat aan de hand was (Poincare, Lorentz), maar het heeft tot de jaren 70 geduurd tot er echte vooruitgang geboekt werd.

15 Sep 14 2009 slide De logistische afbeelding 15 Een 1D afbeelding is een getallenreeks die volgens een vast voorschrift geconstrueerd wordt: Voorbeeld: de reeks wordt gecontrueerd met het voorschrift

16 Sep 14 2009 slide Afbeeldingen als banen 16 De reeks wordt eenduidig vastgelegd door de keuze van het beginpunt. We noemen zo’n afbeelding deterministisch. De index kunnen we opvatten als een (discrete) tijdscoordinaat: hij meet het aantal iteraties vanaf. = de baan of orbit van

17 Sep 14 2009 slide Afbeeldingen: onvoorspelbaarheid in z’n simpelste vorm 17 Door de connectie met tijdsevolutie van systemen (nu dus in discrete tijdstappen) zijn 1D afbeeldingen uitermate geschikt om complexe verschijnselen als onvoorspelbaarheid in hun meest handelbare vorm te bestuderen. Wij gaan dat nu doen aan de hand van het bekendste voorbeeld, de logistieke afbeelding die in 1976 door Robert May als model voor populatiegroei geintroduceerd en geanalyseerd werd

18 Sep 14 2009 slide De Logistische afbeelding 18 De logistieke afbeelding beeldt het interval [0,1] af op zichzelf: hij is tweedegraads (hoogste macht is een kwadraat), dus de grafiek die erbij hoort is een parabool

19 Sep 14 2009 slide De Logistische afbeelding 19 1.Kies x0 op de x-as 2.verticaal naar de parabool 3.horizontaal naar y=x 4.go to 2

20 Sep 14 2009 slide Grafische iteratie 20 zelf doen…

21 Sep 14 2009 slide 21 De Logistische afbeelding

22 Sep 14 2009 slide 22 enz. De Logistische afbeelding

23 Sep 14 2009 slide 23 Orde en Wanorde in de Logist We maken een reeks volgens de logist, en plotten de orbit x0=0.9

24 Sep 14 2009 slide 24 x0=0.1 voor A=2.5 convergeren alle banen naar x=0.6 Orde en Wanorde in de Logist

25 Sep 14 2009 slide 25 Fixed points Een fixed point van een afbeelding is een punt waar alle reeksen naar convergeren, onafhankelijk van x0. Het is dus een oplossing van Laten we die oplossing noemen: we lossen dus op Controle: voor A=2.5 is x dus 0 of 0.6, zoals we eerder al zagen. Merk op dat het fixed point tevens het snijpunt met de lijn y=x is!

26 Sep 14 2009 slide 26 A=3.75 Orde en Wanorde in de Logist x0=0.9

27 Sep 14 2009 slide 27 A=3.75, x0=0.9. Geen convergentie! (en die komt er nooit). Orde en Wanorde in de Logist Beter om te kijken naar de laaste 200 punten van een lange reeks

28 Sep 14 2009 slide 28 Stabiliteit van het fixed point stabiel: spiraal ininstabiel: spiraal uit conditie voor stabiliteit: abs(afgeleide in snijpunt )< 1

29 Sep 14 2009 slide 29 Voor de Logist betekent dat dus dat het FP stabiel is voor wat gebeurt er voor A>3?

30 Sep 14 2009 slide 30 Hoe gaat de orde over in wanorde? Voor A>3 (hier A=3.2):Bifurcatie naar een oscillerende toestand 2-cykel:

31 Sep 14 2009 slide 31 Peroid doubling cascade A=3.5 4-cykel Daarna 8-cykel, 16,32, enz tot aan A~3.57

32 Sep 14 2009 slide 32 A=3.7: chaos na het einde van de PD cascade. Het eind van de periodeverdubbelingen…

33 Sep 14 2009 slide 33 Bifurcatiediagram

34 Sep 14 2009 slide 34 Gevoelige afhankelijkheid precies gemaakt. divergentie van twee nabijgelegen banen

35 Sep 14 2009 slide 35 >0: exponentieel divergent <0: convergent de Lyapunov exponent

36 Sep 14 2009 slide 36 Orde en Wanorde in de Logist Positieve LE: chaos & onvoorspelbaarheid

37 Sep 14 2009 slide 37 De Logist voor A=4: maximale chaos Na een transformatie – zie dictaat: oplossing (mod 1) : λ = Ln(2) = 0.6931

38 Sep 14 2009 slide 38 De Logist voor A=4: maximale chaos Binair getal tussen 0 en 1: met bijvoorbeeld:

39 Sep 14 2009 slide 39 De Logist voor A=4: maximale chaos Schuifregister! Onbelangrijk wordt belangrijk, LSB->MSB!


Download ppt "Sep 14 2009 slide College 2: Chaos 1 Wat we vandaag gaan doen: 1)Wat is chaos niet: de enkele slinger 2)Een stapje verder: de dubbele slinger 3)Chaos in."

Verwante presentaties


Ads door Google