Applied Grouptheory in Condensed Matter Physics Dave de Jonge.

Presentatie over: "Applied Grouptheory in Condensed Matter Physics Dave de Jonge."— Transcript van de presentatie:

1 Applied Grouptheory in Condensed Matter Physics Dave de Jonge

2 Een groep, wat was dat ook alweer? Een verzameling G die aan de volgende axioma’s voldoet:  Als a in G en b in G dan ook ab en ba in G  Eénheidselement e ae = ea = a  Inverse aa -1 = a -1 a = e  Associatief: a(bc) = (ab)c

3 Voorbeelden  Z (de gehele getallen)  R (de reële getallen)  De symetrieën van geometrische figuren.  De symetrieën van dit plaatje.  De symetrieën van een kristalrooster (de “space group”).

4 De Point Group Ieder element van de spacegroup is te schrijven als produkt van een translatie en een transformatie die minstens één punt vast houdt: S = T T -1 S = TR De elementen R vormen de zogenaamde “point group”

5 Point group van het bcc rooster •Rotaties rond de diagonalen •Rond het midden van een zijvlak •Rond het midden van een ribbe •Spiegelingen

6 Bravais Roosters

7 De groep van de Schr ö dinger vergelijking Als T in de spacegroup, dan is de Hamiltoniaan van een elektron invariant onder T: H(r) = H(T r) P T Ψ(r) := Ψ(T r) H(r)P T Ψ(r) = H(r)Ψ(T r) = H(T r) Ψ(T r) = EΨ(T r) = EP T Ψ(r) Conclusie: P T Ψ(r) is een oplossing van de Schrödinger vergelijking met dezelfde energie als Ψ(r). De operatoren P T vormen ook een groep.

8 Bloch’s Theorem We nemen aan dat Ψ op grote schaal periodiek is en dat de spacegroup alleen uit translaties bestaat: Ψ(r) = Ψ(r +N 1 x) = Ψ(r +N 2 y) = Ψ(r +N 3 z) Dan is de spacegroup een eindige groep met N = N 1 N 2 N 3 elementen. Ψ(r + x) = P T Ψ(r) = c Ψ(r) Ψ(r) = Ψ(r +N 1 x) = P T N1 Ψ(r) = c N1 Ψ(r) => c N1 = 1 => c = exp(2πi p 1 /N 1 )

9 Bloch’s Theorem Ψ(r +x) = exp(2πi p 1 /N 1 ) Ψ(r) = exp(ik x) Ψ(r) k = p 1 /N 1 a Voor iedere keuze van p 1 vinden we een andere vector k in de reciproke ruimte. We kunnen k vervangen door k’ = (p 1 + N 1 ) /N 1 a zonder fysische gevolgen.

10 Voorbeeld (N 1 = 4) c = exp(2πi p 1 /N 1 ) p 1 =1 => c=i p 1 =2 => c= -1 p 1 =3 => c= -i p 1 =4 => c= 1

11 3 Dimensies In drie dimensies wordt dit: k = p 1 /N 1 a + p 2 /N 2 b + p 3 /N 3 c Als -½ N i < Als -½ N i < p i < ½ N i Voor i = 1, 2 en 3 k Dan zit k in de eerste Brillouin zone

12 Degeneratie We kunnen nu ook de pointgroup meenemen: Als Rk ≠k dan geven Rk en k twee verschillende oplossingen met dezelfde energie. Als G 0 de point group is en G 0 (k) de ondergroep waarvoor geldt Rk =k Dan vinden we #G 0 /#G 0 (k) verschillende gedegenereede oplossingen.