De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Lineaire algebra Wiskundige technieken 2009/2010.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Lineaire algebra Wiskundige technieken 2009/2010."— Transcript van de presentatie:

1 Lineaire algebra Wiskundige technieken 2009/2010

2 Lineaire algebra2 Vandaag Vectoren en matrices Oplossen van stelsels vergelijkingen Aantal belangrijke begrippen uit de lineaire algebra Soms zonder, af en toe met bewijsjes En een enkel algoritme

3 Lineaire algebra3 Matrices Belangrijk in veel toepassingen: –Oplossen van lineaire vergelijkingen –Graphics, beeldverwerking (o.a. compressie) –Natuurkunde –Optimalisering –Weergave van mogelijke toestanden van systeem en overgangen –Graafalgoritmen –Muziek (o.a., compressie) –Planning –En nog veel meer

4 Lineaire algebra4 Wat is een matrix 2-dimensionaal array van getallen (integers, reals, …) Notatie: 3 bij 3 matrix, vierkant 5 bij 3 matrix

5 Lineaire algebra5 Vector n bij 1 matrix Ook “liggende vectoren” (1 bij n) n heet dimensie van de vector

6 Lineaire algebra6 Vectoren en 2d en 3d Punt op platte vlak: vector met dimensie 2 –R 2 Punt in de ruimte: vector met dimensie 3 –R 3 Toepassingen o.a. in natuurkunde: snelheid, versnelling, krachten, … x y 0

7 Lineaire algebra7 Optellen van vectoren Tel overeenkomstige elementen op

8 Lineaire algebra8 Scalair product van vector ax met a een getal en x een vector: vermenigvuldig alle waarden in x met a

9 Lineaire algebra9 Nulvector Is overal 0

10 Lineaire algebra10 Lineaire combinaties Stel x 1, …, x n zijn vectoren van dezelfde dimensie d, en a 1, …, a n zijn getallen Lineaire combinatie: a 1 x 1 +a 2 x 2 + … a n x n Als vectoren een lineaire combinatie hebben die de 0-vector is (waarbij sommige a i  0), dan zijn ze afhankelijk –Betekent dat ze in hetzelfde vlak liggen (bijv., in 2d, op dezelfde lijn) Anders: onafhankelijk

11 Lineaire algebra11 Ieder punt is lineaire combinatie van eenheidsvectoren Eenheidsvectoren in 2d: (0,1) en (1,0) Deze eenheidsvectoren vormen basis: elk punt in 2d is lineaire combinatie van deze vectoren

12 Lineaire algebra12 Andere bases Als stel van d vectoren van dimensie d onafhankelijk is, dan vormen ze een (alternatieve) basis: –We kunnen punten ook opschrijven met behulp van deze vectoren

13 Lineaire algebra13 Voorbeeld In FM-stereo worden niet linkergeluid L en rechtergeluid R verzonden, maar monosignaal L+R en stereoverschilsignaal S=L-R Alternatieve basis:

14 Lineaire algebra14 Vraagjes Hoe weet je of een stelsel onafhankelijk is? Als je weet hoe je omrekent van 1e basis naar 2e basis, hoe reken je terug om? Matrices, inversen, determinanten,...

15 Lineaire algebra15 Definities en notaties i-de rij van n bij n matrix: 1 bij n matrix i-de kolom van n bij n matrix: n bij 1 matrix a ij is het (i,j)-de element van matrix A: staat op rij i en kolom j A = [a ij ]

16 Lineaire algebra16 Operaties op matrices:I Optellen A+B

17 Lineaire algebra17 Operaties II: Inproduct van liggende en staande vector Inproduct van 1 bij n vector (rij) en n bij 1 vector (kolom) Moeten even lang zijn – anders niet gedefinieerd

18 Lineaire algebra18 Operaties III Product van twee matrices A is n bij k matrix B is k bij m matrix Product van A en B: A*B wordt een n bij m matrix AB = [c ij ] met –c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a ik b kj

19 Lineaire algebra19 Over matrixvermenigvuldiging Belangrijk in veel toepassingen Let op dat de formaten kloppen! Steeds “rij keer kolom” Niet commutatief

20 Lineaire algebra20 Pseudocode for i = 1 to m –for j = 1 to n c ij = 0; for q = 1 to k do –c ij = c ij + a iq * a qj

21 Lineaire algebra21 Hoeveel werk O(m*n*k) A*B*C: de hoeveelheid werk kan verschillen afhankelijk of je (A*B)*C of A*(B*C) uitrekent –Resultaat blijft wel hetzelfde

22 Lineaire algebra22 Product van matrix en vector A is m bij n matrix x is vector van lengte n (n bij 1 matrix) Ax wordt een vector van lengte m Wat betekent Ax=b? –Stelsel lineaire vergelijkingen

23 Lineaire algebra23 Identiteitsmatrix Of noteer: I

24 Lineaire algebra24 Over identiteit Als A een n bij n matrix is: AI n =I n A=A

25 Lineaire algebra25 Nulmatrix 0 n : n bij n matrix die overal 0 is A0 n = 0 n A = 0 n A+0 n = 0 n +A = A

26 Lineaire algebra26 Inverse Inverse van n bij n matrix A: een matrix B met AB = I n en BA = I n Stelling: Als AB=I n en CA=I n dan is B=C Bewijs: C = CI n = CAB = I n B = B Er is dus maximaal 1 matrix die de inverse is Notatie: A -1

27 Lineaire algebra27 Inverse gebruik voor oplossen stelsel vergelijkingen Ax=b dan en slechts dan als x = A -1 b –Want x = I n x = A -1 Ax = A -1 b

28 Lineaire algebra28 2 bij 2: determinant Determinant van een 2 bij 2 matrix A is det(A) = ad – bc Als de determinant 0 is, dan heeft A geen inverse Als de determinant niet 0 is, dan:

29 Lineaire algebra29 Voorbeeld 2x x 2 = 11 x x 2 = 6

30 Lineaire algebra30 Vegen Vegen: methode om stelsel vergelijkingen op te lossen Idee: –Herhaal: Neem een variabele zeg x i Zorg dat er maar 1 vergelijking is waar x i in voorkomt, door een van de vergelijkingen een aantal keren van de andere af te trekken

31 Lineaire algebra31 Stelsel a 11 x 1 + a 12 x 2 + … a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … a 1n x n = b 2 … a n1 x 1 + a n2 x 2 + … a nn x n = b n Oftewel Ax=b

32 Lineaire algebra32 Pseudocode For i = 1 to n do –{Veeg met variabele x i } –Kies j met a ji  0 die niet al eerder gekozen –Voor elke k  j Trek vergelijking j a ki /a ji keer van vergelijking k af

33 Lineaire algebra33 Opmerkingen Je krijgt steeds meer variabelen die maar 1 keer met een niet-0 worden vermenigvuldigd. Als je klaar bent met vegen kan je makkelijk de oplossing vinden…

34 Lineaire algebra34 Determinant van n bij n matrix Notatie: A i,j is de matrix die je krijgt door uit A de i-de rij en de j-de kolom weg te laten

35 Lineaire algebra35 Determinant: gebruik Matrix A heeft een inverse als det(A)  0 Als A geen inverse heeft, heeft het stelsel geen unieke oplossing –Oneindig veel oplossingen OF –Helemaal geen oplossing Er is ook een formule voor de inverse die alleen determinanten (van A en deelmatrices) gebruikt: onpraktisch

36 Lineaire algebra36 Terug naar de vectoren Is een stelsel vectoren afhankelijk? Dat is “gewoon” de vraag of een stelsel vergelijkingen Ax=0 meer dan 1 oplossing heeft (x=0 is altijd oplossing) Dus… hangt af of de determinant van de matrix die je van de basis maakt 0 is! Terugrekenen: bereken de inverse!

37 Lineaire algebra37 Over de determinant Als je kolommen of rijen verwisselt wordt de determinant met -1 vermenigvuldigd Als je de matrix spiegelt blijft de determinant hetzelfde Als je een kolom met een getal r vermenigvuldigd wordt de determinant ook met een getal r vermenigvuldigd –Variabele in oplossing wordt r keer zo klein Als je een rij met een getal r vermenigvuldigd wordt de determinant ook met een getal r vermenigvuldigd –Als r  0, dan houd je dezelfde oplossingen

38 Lineaire algebra38 En nog meer over de determinant Bij het vegen verandert de determinant niet! Als de determinant 0 is, dan kan je bij het vegen een hele vergelijking wegpoetsen…

39 Lineaire algebra39 Bovendriehoeksmatrix Kan je altijd met vegen krijgen Determinant is product diagonaalelementen

40 Lineaire algebra40 Voorbeeld Kleuren van pixels in een plaatje worden op verschillende manieren gecodeerd RGB: hoeveelheid rood, groen, en blauw Voor compressie wordt dit soms omgezet naar Y, Cb, Cr, met –Y = 0.299R G B –Cb = B – Y –Cr = R – Y Toepassing: voor scherpte van plaatje is Y vooral belangrijk; bij opslag worden er minder bits gebruikt voor Cb en Cr

41 Lineaire algebra41 In matrixvorm

42 Lineaire algebra42 Inverse

43 Lineaire algebra43 Eigenwaarden en eigenvectoren Een eigenvector van een matrix A is een vector x, zodat er een (reëel) getal r is met Ax = rx. r heet dan een eigenwaarde

44 Lineaire algebra44 Optimaliseren Veel planningsproblemen zijn te schrijven als “lineair programma” Produceren van product 1 kost 3 minuten Produceren van product 2 kost 5 minuten Product 1 levert 5 winst, product 2 geeft 4 winst Maximale vraag is resp. 130 en 607 Tijd is 202 Wat is de maximale winst? Eerst als matrix schrijven, en dan … extra technieken nodig …

45 Lineaire algebra45 Conclusies Een inleiding in de lineaire algebra Allerlei plekken in de informatica gebruiken matrices en vectoren


Download ppt "Lineaire algebra Wiskundige technieken 2009/2010."

Verwante presentaties


Ads door Google