De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Rambles Barcelona 19 mei 2011. Hoe ver kun je komen?

Verwante presentaties


Presentatie over: "Rambles Barcelona 19 mei 2011. Hoe ver kun je komen?"— Transcript van de presentatie:

1 Rambles Barcelona 19 mei 2011

2 Hoe ver kun je komen?

3 Zwaartepunten Leon van den Broek en Dolf van den Hombergh uit het Wiskunde D-aanbod van de WM Info WM heeft geen wiskunde D-boeken WM stelt gratis haar lesmaterialen beschikbaar, te downloaden van de website Compleet met werkbladen en zelftoets en planning Zwaartepunten staat ook op de cTWO-site. Waarom kiezen we voor Zwaartepunten? Dit onderwerp vind je geen enkele andere methode.

4 Hoofdstukken wiskunde D vwo * Analytische meetkunde * Combinatoriek en rekenregels * Discrete dynamische modellen * Zwaartepunten * Inproduct * Binomiale en normale verdelingen * Inleiding complexe getallen * Hypothese toetsen en Poissoin verdeling * Continue dynamische processen * Allerlei Verbanden

5 Hoofdstukken wiskunde D havo * Hoeken in de Ruimte * Kans 1 * Kans 2 * Lineair Programmeren * Toegepaste Analyse * Vectoren en Meetkunde * Zwaartepunten

6 Schuifprincipe Een evenwicht wordt niet verstoord als je twee even grote gewichten tegengesteld aan elkaar verplaatst: of Uitgangspunt bij het bepalen van een zwaartepunt

7 1Je hebt twee gram in een punt en drie gram in een ander punt. a.Waar ligt het zwaartepunt? Je hebt a gram in het ene punt en b gram in een ander punt. b.Waar ligt het zwaartepunt? 2We bekijken het systeem van Aarde en Maan. Aarde heeft massa 5,975  1024 kg en Maan 7,343  1022 kg. De straal van Aarde is 6371 km en de straal van Maan is 1738 km. Hieronder staat een plaatje op schaal. Voor de afstand Aarde-Maan is 100 mm gekozen. In werkelijkheid is die km (tussen de middelpunten van Aarde en Maan). Waar ligt het zwaartepunt? Wat valt je op?

8 Antwoord 1a.Verdeel de afstand tussen de twee gewichten in vijf gelijke delen. Drie gewichten van 1 gram twee delen naar links schuiven en twee gewichten van 1 gram drie delen naar links schuiven verandert het evenwicht niet. 2Op 4467 km van het middelpunt van de aarde, dus onder het aardoppervlak b.Op van het gewicht van a gram

9 We bekijken een voorbeeld met drie massa’s: 1, 2 en 3. Voor het gemak hebben we een driehoekjesrooster aangebracht, waarbij de afstanden tussen een tweetal massa’s verdeeld is in 15’en. a.Bepaal het zwaartepunt door eerst de massa’s 2 en 3 samen te nemen. b.Ook door eerst 1 en 2 samen te nemen. c.En door eerst 1 en 3 samen te nemen.

10 Antwoord 3a.Eerst 2 en 3 samennemen 1 5 Dan 1 en 5 6

11 In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b. We kiezen een willekeurig punt O als oorsprong. Het zwaartepunt Z is het eindpunt van de vector O A Z B 4In de punten A, B en C bevinden zich de massa’s a, b en c. a.Toon aan (door eerst de massa’s in A en B samen te nemen) dat: b.Hoe volgt uit a dat het er niet toe doet in welke volgorde je de massa’s samenneemt? Om in te zien dat het er niet toe doet in welke volgorde je massa’s samenneemt, is het handig met vectoren te werken.

12 Antwoord 4a.De massa’s in A en B worden samen genomen in D. Daarna de massa’s in C en D: Haakjes wegwerken geeft het gewenste resultaat. b.De uitdrukking is symmetrisch.

13 5 Aan een gewichtloze staaf hangen de gewichten van grootte 1, 2 en 3. Om het tekenen te vergemakkelijken is het geheel in een rooster geplaatst. a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt door bovenstaande stelling toe te passen met het aangegeven punt O als centrum. b. Doe dat ook door als oorsprong de plaats van het gewicht van grootte 3 te kiezen. Algemeen In de punten A 1, A 2,…, A n bevinden zich de massa’s a 1, a 2,…, a n. Voor het zwaartepunt Z van dit massasysteem geldt: O 1 2 3

14 5a. O O b. Antwoord

15 6Vier keer een vierzijdige piramide met ribben van lengte 1. a.De massa’s zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt dezelfde massa (de ribben zijn massaloos). Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? b.In de staafjespiramide zit de massa in de ribben. De acht ribben zijn even zwaar. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? c.De piramide is nu gesloten: de vijf grensvlakken bestaan uit plaatwerk. De massa van een grensvlak is dus evenredig met de oppervlakte. Verder is de piramide hol. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het zwaartepunt? d.In het vierde geval is de piramide massief en homogeen. Met integraalrekening kan de plaats van het zwaartepunt bepaald worden. Dat blijkt op hoogte ? van de hoogte boven het grondvlak te zitten.

16 6a.Op  van de hoogte van de piramide b.Op  van de hoogte c.Op van de hoogte Antwoord

17 7Op de zijden van driehoek ABC liggen de punten P en Q. P verdeelt zijde BC in stukken die zich verhouden als 1 : 2, Q verdeelt zijde AC in stukken die zich verhouden als 3 : 2. Zie plaatje. Z is het snijpunt van de lijnen AP en BQ. De lijn CZ verdeelt zijde AB in twee stukken. Hoe verhouden die stukken zich? Tip: Plaats geschikte gewichten in de hoekpunten A, B en C. A B C Q P Z

18 7Het snijpunt van CZ met AB noemen we R. Plaats 1 gram in C, 2 gram in B en 1  gram in A, dus beter nog 2 gram in C, 4 gram in B en 3 gram in A. Dan is Q het zwaartepunt van de gewichten in A en C en P het zwaartepunt van de gewichten in B en C. Het snijpunt van AP en BQ is dus het zwaartepunt van de gewichten in A, B en C. Dus is R het zwaartepunt van de gewichten in A en B. Dus AR : RB = 4 : 3 A B C Q P Z R Antwoord

19 Stelling van Ceva Door elk van de hoekpunten van een driehoek wordt een lijn getrokken, zo dat ze door één punt gaan. De lijnen verdelen elk een zijde in twee stukken, zeg in verhouding a 1 : a 2, b 1 : b 2 en c 1 : c 2 ; de volgorde van de stukken corresponderend met a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 en c 2 is tegen de klok in; zie de figuur. Dan: a 1 ⋅ b 1 ⋅ c 1 = a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 a2a2 a1a1 b1b1 c1c1 b2b2 c2c2 8Bewijs de stelling van Ceva.

20 FIN Dank voor uw aandacht

21

22


Download ppt "Rambles Barcelona 19 mei 2011. Hoe ver kun je komen?"

Verwante presentaties


Ads door Google