De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Een meetkundig bewijs van de stelling van Napoleon Met dank aan Chrissy Folsom.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Een meetkundig bewijs van de stelling van Napoleon Met dank aan Chrissy Folsom."— Transcript van de presentatie:

1 Een meetkundig bewijs van de stelling van Napoleon Met dank aan Chrissy Folsom

2 Was Napoleon Bonaparte een getalenteerde wiskundige?

3 Stelling van Napoleon Op de drie zijden van een willekeurige driehoek construeert men buitenwaarts telkens een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn de zwaartepunten van deze driehoeken de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek (driehoek van Napoleon).

4 Vooraf: een weetje over gelijkzijdige driehoekenzwaartepunt

5 Driehoek ABC met Driehoek ABC met a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| t u s G, I, H : de zwaartepunten van de drie gelijkzijdige driehoeken G, I, H : de zwaartepunten van de drie gelijkzijdige driehoeken s = |GI|, u = |AI|, t = |AG| s = |GI|, u = |AI|, t = |AG| Afspraken (notaties)

6 s uitdrukken in functie van a,b en c Bewijs We zullen s uitdrukken in functie van a,b en c (A = hoekpunt en hoek) Cosinusregel in driehoek AGI: * *

7 Bewijs c is de basis van een gelijkzijdige driehoek met zwaartepunt G. c is de basis van een gelijkzijdige driehoek met zwaartepunt G. * Substitueer de waarde voor t en u in * G en analoog voor u : en analoog voor u :

8 Substitutie * *

9 * Formule: cos(A+60°) = cos A. cos 60° - sin A. sin 60° cos(A+60°) = cos A. cos 60° - sin A. sin 60° Invullen in * :

10 In ABC Cosinusregel: Cosinusregel: Oppervlakte: Oppervlakte: h = c sin A en bijgevolg is

11 Substitutie (1) en (2) in * : (1) en (2) in * : * (1) (2)

12 symmetrisch in a,b,c symmetrisch in a,b,c Dus is driehoek ABC gelijkzijdig!!! Bijgevolg is 3| GI |² = 3| GH |² = 3| HI |² (telkens gelijk aan de bovenstaande symmetrische uitdrukking).


Download ppt "Een meetkundig bewijs van de stelling van Napoleon Met dank aan Chrissy Folsom."

Verwante presentaties


Ads door Google