De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange."— Transcript van de presentatie:

1

2 Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange

3 Driehoeken Soorten driehoeken & rekenen met hoeken Rekenvoorbeelden Hoekensom-regel Rekenvoorbeeld Gestrekte hoek. Gecombineerd rekenvoorbeeld Oppervlakte van driehoeken De algemene formule De hoogte blijft binnen de driehoek De hoogte valt buiten de driehoek Bijzondere lijnen Bissectrices Middelloodlijnen Zwaartelijnen Hoogtelijnen Bijzondere lijnenpuzzel Als je mij ziet kun je op mij klikken om terug te keren naar de inhoudsopgave! Inhoudsopgave Vierhoeken De opp.van een parallellogram De opp. van een trapezium Bijzondere vierhoeken Vierhoeken puzzel Hoeken berekenen Overstaande hoeken Z-hoeken F-hoeken Kennen & Kunnen Afsluitende sommen VWO A27 blz. 50, HAVO A31 blz.50 VWO A28 blz. 50 VWO A29 blz. 50, HAVO A32 blz.50 Einde presentatie

4 Driehoeken in alle soorten en maten.

5 Er bestaan drie soorten bijzondere driehoeken 1.Rechthoekige driehoeken 2.Gelijkbenige driehoeken 3.Gelijkzijdige driehoeken 1 90 o Eigenschap: Er is één rechte hoek 2 Eigenschappen: 2 gelijke benen 2 gelijke basishoeken 1 symmetrieas (wit gestippeld) 3 Eigenschappen: 3 gelijke zijden 3 gelijke hoeken van 60 o 3 symmetrieassen

6 Rekenen met hoeken in driehoeken. A B C  A +  B +  C = 180 o Spreek uit: Hoek … De hoekensomregel: In alle soorten driehoeken (bijzonder of niet) zijn de drie hoeken samen 180 o

7 Rekenen met gestrekte hoeken (In b.v. een driehoek) A B C Lijnstuk CD verdeeld hoek D in twee stukken:  D 1 en  D 2 zijn samen 180 o  D 12 heet een gestrekte hoek. D 1 2

8 Rekenvoorbeeld 1 A B C Gegeven:  A = 34 o  C = 22 o Bereken:  B Oplossing:  A +  C = 34 o + 22 o = 56 o  B = 180 o – 56 o  B = 124 o

9 Rekenvoorbeeld 2 P Q R Gegeven:  P = 64 o ΔPQR = gelijkbenig Bereken:  R Oplossing:  P =  Q (want PR = QR)  P +  Q = 128 o  R = 180 o – 128 o  R = 52 o ● ●

10 Rekenvoorbeeld 3 Gegeven:  T 1 = 74 o Bereken:  T 2 Oplossing:  T 12 = een gestrekte hoek  T 2 = 180 o – 74 o  T 2 = 106 o K T M L 1 2

11 Oplossing:In ΔABC:  A +  B = 78 o  C 123 = 180 o – 78 o  C 123 = 102 o  C 1 = 102 o : 3 = 34 o A C B 50 o 28 o Rekenvoorbeeld 4 Gegevens:  C 1 =  C 2 =  C 3 (zie tekening) Bereken:  C 1 E A C B o 28 o D ● ● ●

12 Oplossing: In ΔADC:  A +  C 1 = 84 o  D 1 = 180 o – 84 o  D 1 = 96 o Gegevens:  C 1 =  C 2 =  C 3 Bereken:Bereken in ΔCDE alle hoeken. Eerst  D 1 E A C B o 28 o D Rekenvoorbeeld 4  C 1 = 34 o 50 o 34 o ? ● ● ●

13 Gegevens:  C 1 =  C 2 =  C 3 Bereken:Bereken in ΔCDE alle hoeken. Nu  D 2 E A C B o 28 o D Rekenvoorbeeld 4  D 12 is een gestrekte hoek, dus: DD 2 = 180 o – 96 o = 84 o  D 1 = 96 o 50 o 34 o 96 o ? ● ● ●

14 Oplossing: In ΔCDE:  D 2 +  C 2 = 118 o  E 1 = 180 o – 118 o  E 1 = 62 o E A C B o 28 o D Rekenvoorbeeld 4  E 12 is een gestrekte hoek, dus: EE 2 = 180 o – 62 o = 118 o 34 o 84 o ? 34 o 84 o ? Gegevens:  C 1 =  C 2 =  C 3 Bereken:Bereken in ΔCDE alle hoeken. Nu  E 1 en  E 2  C 2 = 34 o  D 2 = 84 o ● ● ●

15 Bijzondere Lijnen.

16 De bissectrice of deellijn De bissectrice of deellijn van een hoek deelt die hoek doormidden. Het maakt niet uit hoelang de benen van de hoek zijn! Een deellijn verdeelt de hoek altijd in 2 gelijke hoeken.

17 De bissectrice of deellijn In een driehoek snijden de drie deellijnen elkaar in één punt. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de deellijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden.

18 De middelloodlijn D e m i d d e l l o o d l i j n v a n e e n l i j n s t u k g a a t d o o r h e t m i d d e n v a n d a t l i j n s t u k e n s t a a t e r l o o d r e c h t o p. De hoek tussen het lijnstuk AB en de middelloodlijn is altijd 90 o. De middelloodlijn gaat altijd door het midden van lijnstuk AB. A B ∟

19 De middelloodlijn In een driehoek snijden de middelloodlijnen van de zijden elkaar in één punt. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de middelloodlijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden. ∟ ∟ ∟

20 Zwaartelijnen Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn die gaat door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de zwaartelijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden. Dit punt wordt het ZWAARTEPUNT van de driehoek genoemd.

21 Hoogtelijnen De hoogte van een driehoek is een lijn die door een hoekpunt gaat en loodrecht op de overstaande zijde staat. A B C P Q R Zijde AB CQ Bijbehorende hoogte AC BP BC AR ∟ ∟ ∟ Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de hoogtelijnen mee veranderen. De drie hoogtelijnen snijden elkaar in een punt.

22 Bijzondere lijnen puzzel De stippellijnen met de kleur: Blauw zijn …………..……? Rood zijn …………..……..? De groene lijnen zijn ………...…...? Goed kijken en eerst zelf proberen!!! bissectrices. middelloodlijnen. zwaartelijnen. De snijpunten van de drie soorten bijzondere lijnen liggen niet op dezelfde plaats in de driehoek !!!

23 Vierhoeken.

24 Vierkant HoekenZijdenDiagonalen 4 rechte hoeken4 gelijke zijdenSnijden elkaar loodrecht Delen elkaar doormidden De 2 diagonalen zijn gelijk ∟ ∟ ∟ ∟

25 Rechthoek HoekenZijdenDiagonalen 4 rechte hoekenOverstaande zijden evenwijdig Delen elkaar doormidden Overstaande zijden gelijk De 2 diagonalen zijn gelijk. ∟ ∟ ∟ ∟ ▲▲ Als je een vierkant langer maakt ontstaat er een rechthoek.

26 Ruit HoekenZijdenDiagonalen Overstaande hoeken zijn gelijk Vier gelijke zijden Snijden elkaar loodrecht Overstaande zijden evenwijdig Delen elkaar doormidden Als je een vierkant vervormt kun je er een ruit van maken.     ∟

27 Parallellogram HoekenZijdenDiagonalen Overstaande hoeken zijn gelijk Overstaande zijden evenlang Delen elkaar doormidden Overstaande zijden evenwijdig Als je een rechthoek vervormt kun je er een parallellogram van maken. x x ▲ ▲ ◦ ◦ ◦    

28 Gelijkbenig Trapezium HoekenZijdenDiagonalen De 2 bovenste hoeken zijn gelijk De bovenste zijde en onderste zijde zijn evenwijdig De 2 diagonalen zijn gelijk De 2 basishoeken zijn gelijk De linker- en rechterzijde zijn gelijk ◦ ◦ x x     In een gelijkbenig trapezium lopen twee zijden evenwijdig. De andere twee zijden zijn gelijk.

29 Trapezium HoekenZijdenDiagonalen De bovenste zijde en onderste zijde zijn evenwijdig Een gewoon trapezium heeft géén gelijke benen. ◦ ◦  

30 Vlieger HoekenZijdenDiagonalen De linker- en rechter hoek zijn gelijk De 2 bovenste zijden zijn gelijk snijden elkaar loodrecht De onderste 2 zijden zijn gelijk De verticale diagonaal snijdt de horizontale middendoor ∟ ▲ ▲    Door een ruit te veranderen kun je er een vlieger maken.

31 Bijzondere vierhoeken puzzel Alle eigenschappen van een: ruit gelden voor ? Parallellogram gelden ook voor een ………….? Een vierkant is een bijzonder soort …………………….? Een rechthoek is een bijzonder soort …………………..? géén van de andere vierhoeken. ruit. parallellogram.

32 Hoeken berekenen.

33 Overstaande hoeken Bij twee snijdende lijnen zijn de overstaande hoeken gelijk. Twee snijdende lijnen Gelijke overstaande hoeken

34 Z-hoeken In een Z-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de Z-hoeken gelijk. Twee evenwijdige lijnen Twee paren gelijke Z- hoeken

35 Z-hoeken In een Z-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de Z-hoeken gelijk. Evenwijdige lijnen Twee evenwijdige lijnen Gelijke Z-hoeken

36 F-hoeken In een F-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de F-hoeken gelijk. Twee evenwijdige lijnen Gelijke F-hoeken

37 Afsuitende sommen.

38 o 46 o > > > > > > A B D P R Q C Opgave A28 blz. 50 Gegeven: Vierhoek ABCD AB // PR // CD CQ = CR  C 1 = 46 o  D = 42 o Gevraagd: a) P2P2 b) C2C2 c) Q1Q1

39 o 46 o > > > > > > A B D P R Q C Opgave A28 blz. 50 Eerst: a)  P 2 CD // PR  D =  P 1 = 42 o F-hoeken 42 o

40 o > > > > > > A B D P R Q C Opgave A28 blz. 50 Eerst: a)  P 2 CD // PR  D =  P 1 = 42 o F-hoeken  P 2 = 180 o – 42 o = 138 o Gestrekte hoek 42 o 180 o - 42 o

41 o 46 o > > > > > > A B D P R Q C Opgave A28 blz. 50 Dan: b)  C 2 42 o 46 o < < Q R C 2  QRC is gelijkbenig  Q 2 = (180 o – 46 o ) : 2 = 134 : 2 = 67 o  Q 2 =  R 2 Gelijke basishoeken.

42 o 46 o > > > > > > A B D P R Q C Opgave A28 blz. 50 Dan: b)  C 2  Q 2 = 67 o 42 o  C 2 =  Q 2 = 67 o Z-hoeken 67 o

43 Opgave A29 blz. 50 Dan als laatste c)  Q o 46 o > > > > > > A B D P R Q C 67 o  Q 1 = 180 o – 67 o = 113 o Gestrekte hoek  Q 2 = 67 o

44 VWOOpgave 29 bladzijde 50 HAVOOpgave 32 bladzijde 50 a bereken ∠D 12 ∆ABD is gelijkbenig c bereken ∠S 1 ∠D12 = = 111° 69 ° F -hoek Z -hoek ∠E1 = ∠C1 = 40° 40 ° 69 ° 42 ° 98 ° b bereken ∠E 1 42 ° E

45 De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟ Bekijk twee soorten driehoeken Teken er rechthoeken omheen Vul de lege ruimtes met nieuwe driehoeken

46 De oppervlakte van de GELE driehoek = De oppervlakte van de WITTE driehoek De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟

47 De oppervlakte van de driehoek, is precies de HELFT van het rechthoek De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟

48 Breedte De oppervlakte van de driehoek, is precies de HELFT van het rechthoek De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟ Lengte = zijde Breedte hoogte Opp.  = ½ x zijde x bijbehorende hoogte ∟ hoogte ┴ zijde

49 De oppervlakte van een driehoek. Als één zijde en de bijbehorende hoogte bekend is,hoogte Kun je de oppervlakte van de driehoek uitrekenen. A B C P Q R Zijde AB CQ Bijbehorende hoogte AC BP BC AR ∟ ∟ ∟

50 De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten. Er zijn drie manieren om de oppervlakte te berekenen A B C P Q R Zijde AB CQ Bijbehorende hoogte AC BP BC AR ∟ ∟ ∟

51 De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogtenbijbehorende hoogten Eerste Manier: A B C Q Zijde AB CQ Bijbehorende hoogte Opp.  ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x AB x CQ Breedte

52 De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten Tweede manier: AB C P Zijde Bijbehorende hoogte ACBP ∟ Opp.  ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x AC x BP Breedte

53 De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten Derde manier: Zijde Bijbehorende hoogte BCAR A B C R ∟ Opp.  ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x BC x AR Breedte

54 De oppervlakte van een driehoek. A B C P Q R ∟ ∟ ∟ Opp.  ABC = ½ x AB x CQ Opp.  ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte Opp.  ABC = ½ x AC x BP Opp.  ABC = ½ x BC x AR

55 De oppervlakte van een driehoek. Opp.  ABC = ½ x AB x CK Opp.  ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte Opp.  ABC = ½ x AC x BL Opp.  ABC = ½ x BC x AM A C B hoogte K ∟ ∟ L M ∟

56 VWOOpgave 27 bladzijde 50 HAVO Opgave 31 bladzijde 50 a bereken ∠ D 1 b bereken ∠ C 2 c bereken ∠ D 2 d bereken ∠ E 2

57 De oppervlakte van een Trapezium. Kopiëer het trapezium Draai het trapezium om. Aansluiten!!

58 De oppervlakte van een Trapezium. Er ontstaan 2 paren evenwijdige lijnen! Er ontstaat een parallellogram

59 De oppervlakte van een Trapezium. De oppervlakte van het parallellogram is twee keer zo groot als de oppervlakte van het oorspronkelijke trapezium.

60 De oppervlakte van een Trapezium. De onderste zijde van het oorspronkelijke trapezium noemen we a. a a

61 De oppervlakte van een Trapezium. De bovenste zijde van het oorspronkelijke trapezium noemen we b. a a b b

62 De oppervlakte van een Trapezium. De hoogte van het parallellogram is gelijk aan de hoogte van het oorspronkelijke trapezium. a a b b hoogte

63 De oppervlakte van een Trapezium. Opp. Parallellogram = zijde x hoogte a a b b hoogte De zijde = (a + b)

64 De oppervlakte van een Trapezium. a a b b hoogte De opp. van het trapezium is de helft van de oppervlakte van het parallellogram Opp. Parallellogram = (a + b) x hoogte trapezium ½ x

65 De oppervlakte van een Trapezium. a a b b hoogte De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte

66 De oppervlakte van een Trapezium. De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte 1.Tel de lengten van de onderste en de bovenste zijden bij elkaar op 2.Vermenigvuldigen met de hoogte! 3.Vermenigvuldigen met ½! Het resultaat levert je de oppervlakte van het trapezium op. b hoogte a

67 Oppervlakte parallellogram Vierhoek Overstaande zijden evenwijdig Overstaande zijden even lang

68 Oppervlakte parallellogram hoogte zijde Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte

69 Oppervlakte parallellogram hoogte zijde

70 Oppervlakte parallellogram Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte Oppervlakte driehoek = ½ x zijde x bijbehorende hoogte zijde hoogte

71 Einde presentatie


Download ppt "Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange."

Verwante presentaties


Ads door Google