Algebra met applets Paul Drijvers Freudenthal Instituut voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen Universiteit Utrecht Leuven, 24 augustus 2007 www.fi.uu.nl/~pauld

Opzet werkgroep Inleiding onderzoek Practicum Functiebegrip met Algebrapijlen Nabespreking en onderzoeksresultaten Inleiding onderzoek 25 min Practicum Functiebegrip met Algebrapijlen 40 min Nabespreking en onderzoeksresultaten 20 min

Belangrijkste aanbeveling voor uw praktijk: Bezoek www.wisweb.nl Laat uw leerlingen met de applets werken die u daar vindt!

1. Inleiding onderzoek NWO PROO project 411-04-123 1 januari 2006 – 31 december 2008 Bemensing: Peter Boon, ontwikkelaar/programmeur 0.2 fte Michiel Doorman, onderzoeker 0.4 fte Paul Drijvers, onderzoeker/projectleider 0.4 fte Sjef van Gisbergen, LION (aug 06 – juli 08) 0.2 fte Koeno Gravemeijer, aanvrager/supervisor PM

Thema: ICT en algebra ICT-gebruik lijkt veelbelovend, kan werk uit handen nemen. Maar de hoge verwachtingen zijn nog niet waargemaakt! Risico: leerlingen ontwikkelen geen vaardigheden met de hand / met pen-en-papier / uit het hoofd. ? Hoe ICT-gebruik te integreren in het onderwijs zodat het dit risico vermijdt en leeropbrengst heeft ?

Onderzoeksvragen 1. Hoe kunnen applets worden geïntegreerd in een leergang over het functiebegrip, zo dat dit het gebruik het leren bevordert? 2. Hoe kunnen docenten het gebruik van het applet in de klassengemeenschap orkestreren?

Toespitsing - concretisering Wiskundig onderwerp: het functiebegrip Tool: het applet AlgebraPijlen ingebed in de Digitale WiskundeOmgeving Doelgroep: leerlingen van 2 havo-vwo (14 jaar, vrij hoog niveau) Leerarrangement 8 lessen (?)

Onderzoeksopzet en methodologie Ontwikkelingsonderzoek: ontwikkeling van leerarrangementen Lesmateriaal op papier Digitaal materiaal: applets ingebed in digitale leeromgeving Voor de docent: handleiding met didactische scenario’s Drie cycli van ontwerpen – beproeven - analyseren: Pilot cyclus: onderwijsexperiment in één klas Eerste cyclus: onderwijsexperiment in drie klassen (drie scholen) Tweede cyclus:grootschaliger onderwijsexperimenten Datatypen: kwalitatief, en in toenemende mate ook kwantitatief

Theoretisch kader Vygotsky en volgelingen over tool use Instrumentele benadering van tool use Cultural-historical activity theory (Chat) RME en lokale vakdidactische theorieën

Instrumentele benadering van tool use Instrument = Artefact + Schema Orkest = Verzameling van instrumenten Dirigent = Docent Verwijzen PS

Instrumentele benadering van tool use Individueel perspectief instrument

Het functiebegrip (1) Functie: Onderbouw: machientje Bovenbouw: wiskundig object The function is a special kind of dependence, that is, between variables which are distinguished as dependent and independent. (...) This - old fashioned - definition stresses the phenomenologically important element: the directedness from something that varies freely to something that varies under constraint. (Freudenthal, 1983, p. 496).

Het functiebegrip (2) Vakdidactische analyse leidt tot drie facetten van het functiebegrip: Een invoer-uitvoer toekenning Een dynamisch proces van co-variatie Een wiskundig object met diverse representaties

De digitale tools (1) Applet AlgebraPijlen: pijlenkettingen met tabellen, grafieken en formules

De digitale tools (2) Digitale Wiskunde Omgeving: Ontwerper: opgaven / activiteiten formuleren, ´Digitaal boek´ Leerling: werken, terugkijken, verbeteren, verder werken, ´Digitaal schrift´ Docent: monitoren, becommentariëren, beoordelen Onderzoeker: digitale eindproducten als data

Het functiebegrip & het tool (1) Functie als invoer-uitvoer toekenning: kettingen maken en gebruiken

Het functiebegrip & het tool (2) Een dynamisch proces van co-variatie: invoer variëren en effecten onderzoeken

Het functiebegrip & het tool (3) Een wiskundig object: verbanden tussen representaties leggen en families van functies onderzoeken

Lesmateriaal Werkvormen mixen: klassikaal, groepswerk, individueel werk, duo’s aan de computer Tools mixen: papier en pen, applet (in de klas én thuis)

Onderwijsexperiment Tweede klas havo-vwo Acht lessen, vier in computerlokaal Gegevens: Interviews (docent en leerling, pre en post) Video (klassikaal, groepswerk, docent) Screenvideo (twee paren leerlingen) Leerlingenwerk (DWO, papier, posters) Eindtoets en eindreflectie

2. Practicum Functiebegrip met Algebrapijlen Ga naar www.fi.uu.nl/dwo/prootool Log in als gast en start de module ‘Pijlenketting en functie Boni/SgN’ Werk de activiteiten door met twee perspectieven: dat van de leerling en dat van de docent.

3. Nabespreking en onderzoeksresultaten Ervaringen, meningen, reacties? Drie functieaspecten herkenbaar? DWO en applet zinvolle tools? [[Enkele resultaten van de klas Screenvideo Irene en Rowan opgave 1-4 en 2-6 ]]

Data-analyse pilotcyclus combinatie van invalshoeken / datatypen gebruik van a priori vakdidactische en instrumentele analyse als leidraad voor de analyse gebruik van Atlas ti Screenvideo’s illustratief In Atlas: een kijkje in de keuken van de onderzoeker

Enkele resultaten die we illustreren Leerlingen hebben moeite om redeneringen goed te formuleren Samenspel pen-en-papier / applet vruchtbaar Soms hardnekkige conceptuele hobbels Docent-leerling interactie belangrijk

A Redeneringen goed formuleren ·   “Hij belt ONGEVEER 25 minuten. Bij 20 minuten betalen ze hetzelfde. Belsnel1 kan hij beter gebruiken als hij 25 minuten per maand belt maar als hij minder dan 20 minuten belt kan hij beter voor Belsnel2 kiezen.” ·   “Er komt steeds 15 cent bij p. min. In de tabel komt er steeds 0.15 bij en in de grafiek gaat de lijn steeds 0.15 omhoog.” “Het punt in de grafiek gaat steeds een beetje hoger. De minuten en de kosten gaan allebei omhoog.” ·   “Ze gaan allemaal in een soort bocht omhoog.” “Het wordt bij alle 3 gekwadrateerd en gedeeld. Alleen door een ander getal gedeeld.”

B Samenspel pen-en-papier / applet

C Hardnekkige conceptuele hobbels Zie bijvoorbeeld het werk van Juliette, die een functie met meerdere kettingen wil voorstellen. Uitwerkingen in Atlas Uitwerkingen on-line Juliette 1-3 tot 2-2, bij on-line inloggen als michiel.

D Docent-leerling interactie Zie Atlasvideo clip 9-10 De docent heeft een belangrijke rol bij de reflectie op het computerwerk, en bij het verbinden van het computerwerk met het probleem en met de ‘pen-en-papier wiskunde’.

Voorzichtige conclusies (1) Hoe kunnen applets worden geïntegreerd in een leergang over het functiebegrip, zo dat het gebruik het leren bevordert? Globaal leertraject lijkt in orde, maar welke problemen lost het functiebegrip voor de leerling op? Onverwacht aspect: kiezen en benoemen van variabelen Dynamiek onvoldoende uit de verf: aanpassingen applet Meer inzicht nodig in de samenhang tussen applet-techniek en conceptuele ontwikkeling

Voorzichtige conclusies (2) 2. Hoe kunnen docenten het gebruik van het applet in de klassengemeenschap orkestreren? Technisch klassenmanagement vraagt veel tijd! Mix van scenario’s en media (ICT and P&P) werkt goed Demonstratie/presentatie/klassengesprek belangrijk voor reflectie en collectieve ontwikkeling DWO geschikt middel om het leren te volgen Docent-leerling interacties waarin techniek en inzicht worden gecombineerd zijn vruchtbaar.