Algebra in context Paul Drijvers Freudenthal Instituut voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen Universiteit Utrecht Leuven, 23 augustus

... want die methode, die men met een vreemd woord algebra noemt, schijnt die helderheid en dat gemak te bezitten, die je moet aantreffen in de ware wiskunde (René Descartes, Regulae ad directionem ingenii, 1627)

Algebra in het Nederlands secundair onderwijs Goede Pisa- en TIMSS-resultaten (maar niet zo goed als Vlaanderen…) Realistisch, betekenisvol, contexten, ICT Echter: Klachten uit hoger onderwijs over vaardigheden Instaptoetsen

Algebra in context Grote lijn 1.Instaptoets: Flitskaarten Algebra 2.Algebra: Welke algebraïsche vaardigheden? 3.Context: Welke contexten en welke functies?

1 Instaptoets: Flitskaarten Algebra Vergelijk Flitskaarten in basisonderwijs Steeds ‘flitst’ een opdracht langs Probeer die op een snelle, handige manier te maken

Flitskaart 1

Flitskaart 2 Hoe groot is als ?

Flitskaart 3 Bepaal de vergelijking van de lijn door (2, 3) en (8, 5).

Flitskaart 4 Bepaal de vergelijking van deze parabool.

Flitskaart 5 Bepaal

Flitskaart 6 Los op naar v :

Nabespreking Flitskaart 1 Bron: Werkgroep 3TU, Euclides, 2006

Nabespreking Flitskaart 2 Hoe groot is als ? Aanpak: uitwerken versus globaal kijken Wat zouden we willen? Wagner, S., Rachlin, S. & Jensen, R. (1984). Algebra learning project, final report. Athens, GA: University of Georgia.

Nabespreking Flitskaart 3 is handiger dan

Nabespreking Flitskaart 4 Handig is hier de gedaante

Nabespreking Flitskaart 5 Guin, D., & Trouche, L. (1999). IJCML, 3, ICT kan verwarring zaaien:

Nabespreking Flitskaart 6 Los op naar v: Leerlingen en studenten kunnen dit niet oplossen. Vereist: globaal kijken naar expressies. Wenger, R. (1987). Cognitive science and algebra learning. Gravemeijer, K. (1990). Globaal kijken, een kenmerk van algebraische deskundigheid. “Bordjes’”

2 Algebra: Welke algebraïsche vaardigheden? Veel klachten uit het hoger onderwijs in NL over het gebrek aan algebraïsche basisvaardigheden van instromende studenten. Onderliggende ideeën: –Vaardigheid is voorwaarde voor inzicht –ICT-gebruik ruïneert basisvaardigheden Universiteiten willen dat hun ingangstoetsen richtpunt zijn voor het secundair onderwijs

Kenmerken van algebraïsche vaardigheid De vaardigheden waarop de flitskaarten beroep doen, zijn: Foutloze uitvoering van basisprocedures; Routine en snelheid; Handigheid om goede strategie te kiezen en overzicht daarop te houden; Flexibiliteit om van strategie te veranderen, om op verschillende manieren tegen een probleem aan te kijken.

Waar gaat het om bij algebraïsche vaardigheden? De flitskaarten leren ons dat het gaat om het samenspel van … algebraïsche basisvaardigheden zoals haakjes uitwerken, variabelen isoleren, … en algebra ï sch inzicht van een hogere orde, zoals globaal kijken naar formules, structuur herkennen, ‘ symbol sense ’

Vaardigheden: een schaal van problemen Dimensie basisvaardigheid – symbol sense

Symbol sense By symbol sense I mean a very general ability to extract mathematical meaning and structure from symbols, to encode meaning efficiently in symbols, and to manipulate symbols effectively to discover new mathematical meaning and structure. (Zorn, 2002)

Nadruk op basisvaardigheden? Alleen basisvaardigheden oefenen kan leiden tot: Gebrek aan flexibiliteit Beperkte toepasbaarheid en transfer Gebrek aan strategisch inzicht Beperkte proces-kijk op algebra, zonder de vorming van wiskundige objecten

Vaardigheden trainen Advocates of insightful learning are often accused of being soft on training. Rather than against training, my objection to drill is that it endangers retention of insight. There is, however a way of training — including memorisation — where every little step adds something to the treasure of insight: training integrated with insightful learning. Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education.

Voorbeeld van inzichtelijk oefenen Bewijs de productregel voor differentiëren uit de somregel en de kettingregel:

3 Context: Welke contexten en welke functies? Hoe realistisch is realistisch? Wat zijn de problemen met contexten?

Gekunstelde context

Het ‘dagelijks leven’

Gebrek aan abstractie

Contexten in de wiskundeles: Misverstand: context = verhaaltje dat leidt tot een rekenopdracht, en dat is dan realistisch wiskundeonderwijs… Realistisch wiskundeonderwijs gaat over zowel horizontaal als vertikaal mathematiseren!

Voorbeeld uit de meetkunde Een parabool wordt gesneden door een lijn die wordt verschoven. Het midden van de twee snijpunten lijkt zich over een vertikale lijn te bewegen. Is dat echt zo?

Een goede context: Is betekenisvol voor leerlingen Nodigt uit tot abstractie en vertikaal mathematiseren Kan een ´real-life´ situatie zijn, maar ook uit de wereld van de getallen, de natuurwetenschappen of wiskunde zelf afkomstig zijn Moet aansluiten bij capaciteit en belangstelling van de leerlingen en bij het type onderwijs Een algebraische activiteit is altijd ingebed in een situatie; een context als vertrekpunt is in die zin dus onvermijdelijk!

Tot slot In het algebraonderwijs is het een kwestie van de juiste balans… … tussen basisvaardigheden en symbol sense … tussen context en wiskundewereld Laat de slinger bij het zoeken naar een delicaat evenwicht niet te ver in één richting doorslaan!