Wiskunde en Woestijnen De Dynamica van Patronen: Arjen Doelman CWI & UvA.

Presentatie over: "Wiskunde en Woestijnen De Dynamica van Patronen: Arjen Doelman CWI & UvA."— Transcript van de presentatie:

1 Wiskunde en Woestijnen De Dynamica van Patronen: Arjen Doelman CWI & UvA

2 Wat zijn patronen?

3 Zeer verschillende ordes van grootte...

4 (On)regelmatig

5 Patroonvorming vindt plaats in natuurlijke processen die gemodelleerd kunnen worden met differentiaalvergelijkingen. Een patroon verandert (bijna per definitie) in de ruimte en in de tijd. [De zand-/windgolfjes: -- de hoogte H van een golfje wordt (wiskundig) beschreven door een functie van twee plaatsvariabelen (x & y); -- de ligging verandert als functie van de tijdsvariabele t. Dus: H = H(x,y,t).] Wiskundig gezien zijn patronen dan ook oplossingen van `partiёle differentiaalvergelijkingen’ (PDVs). JARGON (en zeer grofweg): Een PDV is een `oneindig- dimensionaal dynamisch systeem’. [Q: Wat is dat???]

6 Als voorbeeld van het type vragen en methodes die een rol spelen in het vakgebied `pattern formation’ beschouwen we een expliciete en relevante toepassing: `vegetatiepatronen’ en hun rol in het proces van `verwoestijning’. We gaan met name in op een aspect dat er binnen de wiskunde soms/vaak bekaaid vanaf komt: de modelvorming. Motivatie: Alleen met een goede kennis van het model kan je de vragen vanuit de toepassing vertalen in een wiskundige probleemstelling. En andersom: alleen in dat geval kan je de wiskundige inzichten correct interpreteren. Opm. `Toegepaste vragen’ geven (zeer) vaak aanleiding tot het ontwikkelen van nieuwe wiskunde.

7 Enige achtergrond: Woestijngebieden in de wereld

8 Verwoestijning in Afrika (als voorbeeld)

9 WISKUNDE? Een `catastrofale hysterese-loop’ numerieke simulaties

10 `Spotted patterns’ als indicatie voor verwoestijning Niger, Africa; schaal: tientallen meters Negev, Isreal; schaal: tientallen centimeters

11

12

13

14

15 Pearson 1993 `Complex patterns in a simple system’ (D=0.5)

16 De Gray-Scott vergelijking is vooral bestudeerd voor het fenomeen van `self-replicating spots’ [Pearson, Swinney et al. 1994] Self-replicating vegetatie-patronen?? chemische reactie numerieke simulatie Negev, Isreal

17 [Pearson, Swinney et al. 1994] `Volcanoes’ en `Rings’ Negev, Isreal

18 Opmerking: Het is nu verleidelijk om bij elk vegetatie-patroon een soortgelijk patroon te zoeken dat optreedt in simulaties van de Gray-Scott vergelijking (voor zekere (A,B,D))... Maar is dit ook wiskunde/wetenschap?? Probeer de patronen wiskundig te begrijpen.

19

20

21 Wat voor oplossingen zijn er mogelijk? De PDV wordt een gewone DV: Ga op zoek naar stationaire/stilstaande `patronen’

22

23 woestijn begroeiing

24 woestijn begroeiing Restrictie tot 1 ruimtelijke dimensie Om de vegetatiepatronen te begrijpen bestudeer je eerst de homocliene bouwstenen, de `oases’.

25 Stabiliteit Vraag: Wat gebeurt er als je een homocliene oase iets verstoord? - Groeit deze verstoring? Dan is de oase instabiel, en kan deze in de praktijk niet worden waargenomen. - Dempt de verstoring uit? Dan is de oase stabiel, en kan inderdaad gezien worden als bouwsteen voor de meer complexe (en realistische) patronen.

26 Stabiliteit

27

28

29 CONCLUSIE: -De homocliene oases zijn instabiel, en kunnen dus niet worden waargenomen. Sterker nog: -De ruimtelijk periodieke patronen zijn allemaal instabiel. (Hoe toon je dat aan?) Met andere woorden: -De woestijn (W=0) is het enige stabiele patroon in de gereduceerde vergelijking! WAT NU?

30 De reductie naar het versimpelde model was een te grote stap! Bestudeer de `echte’ Gray-Scott vergelijking. Conclusie: Afhankelijk van de parameters kunnen de homocliene oases en de `bijna homocliene’ ruimtelijk periodieke patronen WEL stabiel zijn. begroeiing woestijn Opm: `nieuwe’ wiskunde! [D., Gardner, Kaper] (2002). (water)

31 Het splitsingsproces is door velen uitgebreid bestudeerd, maar nog steeds niet helemaal begrepen. Het is `ontdekt’ in het Gray-Scott systeem en komt voor in klasses van reactie-diffusie vergelijkingen. NIEUWE WISKUNDE?

32 De `vulkaan/ring-patronen’ zijn wiskundig vrij goed begrepen [Morgan & Kaper, 2004] Voorbeeld: de overgang van een `vulkaan’ naar een multi- spot patroon.

33 TERUG NAAR DE WOESTIJN: Wat kan de wiskunde doen? Vind een fundamentele verklaring - kwalitatief en zo mogelijk kwantitatief - voor het optreden van de hysterese loop onafhankelijk van het preciese model en de gekozen parameters. Nieuw researchproject Geertje Hek, Sjors van der Stelt & AD met Max Rietkerk & zijn groep (Aardwetenschappen, Utrecht).

34 DE WISSELWERKING: De vragen/waarnemingen van `de aardwetenschappers’ kunnen al snel niet met bestaande wiskunde worden beantwoord... Hoe `nuttig’ is de interactie? Multi-stabiliteit & sommige patterns `overleven’ langer dan andere... De dynamica van patronen aan de rand van een woestijn... begroeiing Beide voorbeelden staan sterk in de belangstelling als wiskundige problemen in het vakgebied `pattern formation’. Beide voorbeelden zijn uiterst relevant (`Kun je aan het karakter van een patroon zien hoe groot de `overlevingskans’ is?’)