regionaal steunpunt wiskunde D Keuzevak “beslissen” Wiskunde d september 2007 Keuzevak “beslissen” Jan Essers lid rs Eindhoven J.Essers@fontys.nl

Personen steunpunt Eindhoven

Doel presentatie Presentatie studiemateriaal Ideeën aandragen voor het maken van een module die uitgaat van dit studiemateriaal: * werkvormen * inzet ict * afronding

Ontwikkeld Studiemateriaal Reader: vier hoofdstukken (ca 80 pagina’s) Antwoorden (14 pagina’s) voor de leerling Uitwerkingen (34 pagina’s) voor de docent Verzameling links die aansluiten bij leerstof In ontwikkeling hoofdstuk 5 , docentenhandleiding. Materiaal is te vinden en te downloaden op http://www.win.tue.nl/wiskunded/ uitwerkingen aanvragen!

Uitgangspunten 1 Onderwerpen waarbij steeds iets te beslissen/kiezen moet zijn. Zinvolle contexten EN belangrijk concepten: voorbeelden moeten relatie met “realiteit” hebben. Onafhankelijk van lesprogramma wiskunde B, weinig voorkennis vereist.

Inhoud in beeld 90 55 105 110 H4 macht H1 optimaliseren Winnende coalitie Totaal aantal stemmen CDA , PvdA, SP 99 CDA , PvdA, VVD 96 CDA , PvdA, PVV 83 CDA , PvdA, GL 81 CDA , PvdA, CU 80 CDA , PvdA, D66 77 CDA , PvdA, PvdD 76 CDA , PvdA, SGP CDA , SP, VVD 88 PvdA, SP, VVD H3 koppelen L1 L2 L3 L4 P1 90 75 P2 35 85 55 65 P3 135 95 105 P4 45 110 115 H2 beslissen in netwerk

Inhoud: in steekwoorden Titel hoofdstuk Wiskunde 1 optimaliseren Lineair programmeren 2d en 3d (geen simplex) 2 beslissen in netwerk Grafentheorie: kortste pad algoritme (Prim, Kruskal) en optimaliseren 3 koppelen Grafentheorie, Hongaarse methode 4 macht Besliskunde: machtsindices Banzhaf en Shapley-Shubik

Opbouw studiemateriaal Inhoudsopgave (van elk hoofdstuk): 1 Basisproblemen 2 Basistheorie 3 Verwerkingsopdrachten 4 Literatuur en verwijzingen 5 Overzicht begrippen (en personen)

Kern is beslissen Titel hoofdstuk Voorbeeld vraag 1 optimaliseren Hoeveel ton olie moet je in elke installatie verwerken? 2 beslissen in netwerk Wat is het goedkoopste netwerk, Hoe verdeel je de kosten? 3 koppelen Welke zwemmer laat je welke afstand zwemmen bij estafette? 4 macht Wie heeft de meeste macht, hoe kun je samenwerken?

Voorkennis Alleen theorie over lineaire verbanden is nodig, o.a. bepalen snijpunt van twee rechte lijnen. Wordt ook weer kort uitgelegd Als vooraf combinatoriek aan orde geweest dan kan daar mooi op ingespeeld worden.

Voor wie en in welke klas? Geschikt voor vwo en met wat aanpassingen en schrappen ook voor havo!!!! Niet afhankelijk van wiskunde B en dus kan “beslissen” zeer vroeg in programma worden uitgevoerd. Klas 4 vwo is mogelijk.

Uitgangspunten 2 Materiaal moet geschikt zijn voor veel werkvormen. Opdrachten gevarieerd: nat en droog, denk- en doe-opdrachten. ICT is belangrijk hulpmiddel (maar geen doel). Meer de breedte dan de diepte in, dus geen bewijzen van moeilijke algoritmen, dat is taak voor vervolgopleiding.

Werkvorm 1 Klassiek aanpak: les → huiswerk → bespreken →… demo ict-gebruik in klas (beamer) alle onderwerpen centraal behandelen schriftelijke toets over alle onderwerpen

regionaal steunpunt wiskunde D Werkvorm 2 Twee onderwerpen centraal behandelen (1 en 2 of 1 en 3) derde onderwerp zelfstandig laten verwerken Toets over twee hoofdstukken en/of mondeling of dossieronderzoek over een van andere onderwerpen Maar er zijn veel varianten mogelijk (afhankelijk van aantal slu (40 of 80)): inleveropdrachten over elk onderwerp, posterpresentatie etc. De meeste leden van de werkgroep kiezen voor (variant) werkvorm 2 want andere vakken zijn geschikter voor schriftelijke toets. J.Essers@fontys.nl

regionaal steunpunt wiskunde D Veel natte opgave(n) Uit H3 koppelen Bij de 4 keer 50 meter estafette zwemmen zijn er vier onderdelen die door vier verschillende zwemmers moeten worden gezwommen. Hieronder zie je de persoonlijke records van elke zwemmer op elk onderdeel in seconden. Hoe kun je de ploeg het beste samenstellen? vlinderslag schoolslag rugslag vrije slag Zwemmer 1 25,7 31,1 28,5 23,8 Zwemmer 2 25,3 30,9 29,1 23,9 Zwemmer 3 26,0 28,7 24,2 Zwemmer 4 25,8 29,3 24,0 J.Essers@fontys.nl

Weinig droge opgave(n) regionaal steunpunt wiskunde D Weinig droge opgave(n) uit H4 macht Bereken de machtsindices van Shapley-Shubik voor de situatie Uit H2 beslissen in netwerk De opspannende bomen van K5 zijn “niet” te tekenen. Teveel! Toch kun je ze tellen als je drie typen boom onderscheidt. “Tel” het aantal verschillende bomen van elk type en bepaal het totaal aantal opspannende bomen van K5. J.Essers@fontys.nl

ICT speelt wezenlijk rol Als demo maar ook bij opgaven. Is nu eenmaal in besliskunde nodig. Werkt verhelderend. Afwisseling: werkt motiverend. Bij elk hoofdstuk links naar “goede” sites, voorzien van beetje uitleg. Links ook op website en in apart document.

Voorbeeld ict-opgave hoofdstuk 2 regionaal steunpunt wiskunde D Voorbeeld ict-opgave hoofdstuk 2 Er liggen acht kleine eilandjes in een meer, en de regering wil 7 bruggen bouwen om ze te verbinden, zodat ieder eiland bereikt kan worden vanuit ieder eiland via een of meer bruggen. De afstanden tussen ieder tweetal eilanden is gegeven in de tabel Welke bruggen moeten gebouwd worden om de kosten, die evenredig zijn met de totale lengte van de bruggen, te minimaliseren? Software/applet nodig: korste pad   1 2 3 4 5 6 7 8 24 21 34 28 20 35 12 27 18 22 19 16 26 44 33 30 23 36 40 17 31 J.Essers@fontys.nl

Voorbeeld ict-opgave hoofdstuk 4 Banzhaf heeft zijn index uitgedacht toen hij het Nassau County Board's kiessysteem bestudeerde. Nassau County is een district in de staat New York van de USA met meer dan 1 miljoen inwoners. Het kiessysteem was volgens hem oneerlijk en om dat aan te tonen heeft hij zijn index bedacht. In dat kiessysteem van Nassau waren er toen zes steden en gebieden met stemrecht. Het waren: A Hempstead #1, B Hempstead #2,C North Hempstead, Oyster Bay, E Glen Cove en F Long Beach. In die laatste drie steden woonden toen 16% van het totaal aantal inwoners van Nassau. Het quotum en de gewichten in het stemsysteem waren destijds. [16 ; 9, 9, 7, 3, 1, 1] Wat vond Banzhaf oneerlijk aan het systeem van Nassau? Software nodig: Banzhaf .

Ervaringen? Komende jaar gaan een aantal docenten het materiaal uitproberen. Dan zal pas echt blijken of we ons doel bereiken. Ook elders in land is interesse getoond (Groningen, Tilburg, Heerlen) En als u dat materiaal ziet zitten en het wil uitproberen dan ontvangen wij straks graag aanvullende toetsen, inleveropdrachten, aanvullingen etc. Dat maken we dan toegankelijk op onze website.