Prof.dr. Ger Koole PICA, kenniscentrum patiëntenlogistiek VU/VUmc Wiskunde en zorg: achtergronden voor een betere planning NVZ/VLM Masterclass patiëntenlogistiek Prof.dr. Ger Koole PICA, kenniscentrum patiëntenlogistiek VU/VUmc

Doel bijdrage masterclass Inzicht relatie vraag en aanbod onder fluctuaties en onzekerheid Inzicht vermogen en onvermogen wiskundig modelleren in de zorg Enkele beginpunten voor een meer rationele planning en capaciteitsmanagement Weten hoe de vervolgstappen te zetten

Wiskunde in de zorg is in Institute for Healthcare Improvement (IHI), VS

Inhoud Wat is plannen? Rol van fluctuaties en onzekerheid bij plannen Enkele wiskundige modellen voor plannen en het managen van capaciteit Geïllustreerd a.d.h.v. voorbeelden uit de zorg Zelf er mee aan de slag

Wat is plannen in de zorg? “Een plan is een bedenksel dat een intentie weergeeft om iets te bereiken“ (wikipedia) Afstemming zorgvraag en aanbod (van behandelingen, bedden, MRI-slots, enz.) Het “iets”, het doel van de planning, moet duidelijk zijn Vb: minder dan 5% weigeringen, wachtlijst korter dan 4 weken

Lange en korte termijn Lange vs. korte termijn Vb: aantal bedden vs. toewijzen MRI slots OK, van lang naar kort: sessieindeling / patiënttoewijzing / operationele bijsturing Strategisch/tactisch vs. operationeel Capaciteitsbepaling vs. capaciteitsbenutting

De “ideale” wereld Geen fluctuaties Voorbeeld Is dit realistisch? vraag naar exact 2 OHO´s per dag elke patiënt precies 1 dag IC 2 “geoormerkte” IC bedden voor OHO’s Geen weigeringen, 100% bezetting OK en IC Is dit realistisch? Nee: aantal OHO’s fluctueert in realiteit, en soms IC bed bezet door spoedpatiënt

Fluctuaties Voorbeelden: Weekend minder operaties ‘s Nachts minder spoed ‘s Zomers minder afspraken Variatie in ligduren Classificatie: Intern/kunstmatig/vermijdbaar vs. Extern/natuurlijk/onvermijdelijk Kunstmatig Natuurlijk Natuurlijk (?)

Onzekerheid Soms zijn fluctuaties vantevoren bekend (dag/nacht patroon SEH), soms niet (exacte aantal aankomsten): onzekerheid “Onzekerheid is informatie die je nog niet hebt maar die wel nodig is” (Galbraith) Voorbeelden: aantal aankomsten acute patiënten operatieduren ligduren (LoS) Beschikbaarheid personeel (ziekte, te laat) Informatie nodig om capaciteit af te stemmen op vraag

Fluctuaties & onzekerheid onzeker niet onzeker extern intern Alle OK’s op 1 dag Overdag meer spoed dan ’s nachts Ligduren, aantal spoed, enz. Geen communicatie

Vermijden fluctuaties Interne fluctuaties vermijden Focused factories voor voorspelbare electieve zorg Planning op basis van rationele argumenten, geen verworven rechten Hoe om te gaan met externe fluctuaties?

Omgaan met fluctuaties in vraag Antwoord logistiek: vooruitwerken Korte termijn onzekerheid: veiligheidsvoorraad (meer op de plank dan gemiddelde dagelijkse behoefte) Lange termijn fluctuatie: seizoensvoorraad (bijv. kerstartikelen) Relevant voor logistiek disposables en medicijnen

Omgaan met fluctuaties in vraag Vooruitwerken onmogelijk in zorg (want dienst) Dus: of aanbod afstemmen op maximum vraag, gevolg: lage produktiviteit/hoge kosten of aanbod tussen gemiddelde en maximum vraag met wachttijden (nawerken) en/of afzeggingen/doorverwijzingen als gevolg

Wiskundige modellen Wiskundige modellen om: afweging capaciteit – wachttijd/weigeringen te kwantificeren Planning te optimaliseren en/of planningsmethoden te vergelijken Benaderingen van de werkelijkheid Controle of benadering goed (genoeg) is heet validatie Vaak te implementeren in rekenhulpen (in bijv Excel)

Wiskundige modellen Bouwstenen: aankomstproces, proceslogica, behandelingsduren Wiskundige beschrijving van onzekerheid: kansrekening Oplossen: Soms een formule Vaak alleen computersimulatie

Wat is simulatie? Voorbeeld: bereken de oppervlakte van een cirkel met straal 1 Methode: kies willekeurige punten in een vierkant van 2x2, bereken % in een cirkel met straal 1 die in vierkant valt Bepalen of punt in cirkel valt m.b.v. Pythagoras: c<1 als a²+b²<1 Demo m.b.v. Excel a b c

Wat is simulatie? Vb: 79 keer van 100 in cirkel Dan: cirkel beslaat 79% van 4, dus opp. ong. 0.79 x 4 = 3.16 Maar ook: formule voor opp. cirkel: π r², met r=1 de straal van de cirkel Conclusies: Oppervlakte = 3.141592654….. We kunnen nu π berekenen Simulatie is niet erg nauwkeurig, gebruik een formule als je kan a b c

Wiskundige modellen Achtereenvolgens: Ligduren + OK planning Geplande aankomsten + poliplanning Ongeplande aankomsten + capaciteitsberekeningen verpleegeenheden

Lig- en behandelduren Lig- en behandelduren zijn onvoorspelbaar (behalve bij bijv. fysiotherapeut) Karakteriseren duren: Gemiddelde, ALOS (average length of stay) Met standaard deviatie, maar voor afwijking van gemiddelde Vb: 2,3,2,3: gem 2.5, std dev 1 1,4,5,0: gem ook 2.5, std dev 2.38 Zelf proberen in Excel mbv STDEV

Lig- en behandelduren Ligduren (LOS) hebben vaak “dikke staart” (hoge std.dev): veel korte en enkele heel lange liggers Voorbeelden zonder en met dikke staart: links ALOS 67, std.dev 47, rechts 18 en 47 N =575 ALOS = 67 Median = 48 CT = 0,99 LOS [hr] N =494 ALOS = 18 Median = 5 CT = 2,6 LOS [hr]

OK planning Vast aantal, variabiliteit operatieduren van belang Vraag: gegeven geplande operaties op een OK, wat is kans/duur van overschrijding? Van belang: gem. operatieduur maar ook variabiliteit Wiskundetool: normale verdeling

Rekenregels normale verdeling Gekarakteriseerd door gemiddelde μ en standaard deviatie σ μ ± σ bedekt ca. 68%, μ ± 2σ bedekt ca. 95% NORMDIST functie in Excel: bijvoorbeeld =NORMDIST(1,0,1,TRUE) = 0.84

Rekenregels sommen en OK duren Elk som is ongeveer normaal verdeeld Voor lengte som kan je gemiddeldes en varianties = σ* σ optellen Bruikbaar voor berekenen OK duren Voorbeeld: sessielengte 8 uur 2 operaties van gem 2 uur met σ 1 uur 2 operaties van gem 1 uur met σ 0.5 uur Kans op overschrijding? Excel berekening

Aankomstproces Gepland Ongepland Op afroep beschikbaar (OK planning, gedaan) Ingeplande afspraken (polibezoeken) Ongepland Spoed Inloopspreekuur Maken van afspraken

Ingeplande afspraken Aankomstmomenten niet helemaal voorspelbaar (no shows, niemand exact op tijd) Wat zijn de beste afspraakmomenten? Het beste voor wie? Experimenteren met obp.math.vu.nl/healthcare/software/ges

Ongeplande aankomsten Spoed: grote populatie met elk kleine kans  Poisson verdeling Histogram Poisson verdeling met gemiddelde 6:

Vb Poisson verdeling CT scan met 10 vrije slots voor klinische patiënten Aantal klinische CT-patiënten is Poisson verdeeld met historisch gemiddelde 8.5 Wat is de kans dat er meer dan 10 zijn? Oplossingen: Formule doorrekenen Excel het laten doen: “=1-POISSON(10,8.5,TRUE)” = 0.236638021 Monte Carlo simulatie (demo Crystal ball)

Aankomsten EHH VUmc

Het Erlang B “wachtrij”model Modelleert verpleegeenheid met weigeringen Poisson aankomsten, willekeurige LOS Webtool: obp.math.vu.nl/healthcare/masterclass

Het Erlang B “wachtrij”model Invoer: 3 van: Gemiddelde vraag per dag ALOS Aantal bedden % Weigeringen Bezetting Uitvoer: andere 2

Het Erlang B “wachtrij”model Vraag vaak onbekend, wel bezetting (=instroom * ALOS / aantal bedden) Experiment: neem willekeurige input voor vraag, ALOS, # bedden. Bekijk output. Verdubbel nu vraag en # bedden: schaaleffecten

Validatie Erlang B model Erlang B modelleert niet: Seizoenseffecten Weekeffecten Ad hoc beslissingen t.a.v. LOS en capaciteit Ook Erlang C met wachten i.p.v. weigeren (supermarktmodel)

Complexere processen Wachtrijmodellen alleen voor eenvoudige systemen Discrete-event simulatie voor o.a. zorgpaden Refused Admission Emergency patient Coronary Care Unit CCU First Cardiac Aid FCA Normal Care clinical ward Home Other nursing unit Rest Emergency PTCA Re-admission

Conclusies Capaciteitsmanagement rationeel te onderbouwen Kennis van relevante wiskundige kennis schaars in ziekenhuizen Verder lezen: obp.math.vu.nl/healthcare www.vumc.nl/pica www.ihi.org