Hoe leggen we alledaagse optimaliseringsvraagstukken voor aan De Oplosser van Excel Door Louis van Duuren.

Optimaliseringsvraagstukken zijn vaak van economische aard. Hoe maximaliseer ik mijn winst? Hoe minimaliseer ik mijn kosten? Maar ook toewijzingsvraagstukken worden beschouwd als optimaliseringsvraagstukken. Welke zwemmers moeten opgesteld worden voor een estafette? Hoe verdeel ik een erfenis?

Een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk, waarbij de winst gemaximaliseerd moet worden. Een fietsenhandelaar gaat naar de groothandel om fietsen, brommers en kinderzitjes in te kopen. Hij moet bij zijn aankoop rekening houden met: de winst die hij op elk artikel kan maken zijn beschikbare opslagruimte het bedrag dat hij uit kan geven Hij wil zodanige aantallen van elk artikel inkopen, dat zijn winst maximaal is.

De gegevens voor de drie artikelen zijn: Inkoop € Opslag m² Winst € Fietsen 550 0,5 175 Bromfietsen 1900 1,2 420 Kinderzitjes 80 0,2 20 Hij besluit om: minimaal 30 en hoogstens 75 fietsen, minimaal 10 en hoogstens 30 bromfietsen en minimaal 8 en hoogstens 20 kinderzitjes in te kopen. Hij beschikt over maximaal 60 m² opslagruimte en over maximaal € 80.000,- om de artikelen aan te schaffen. Hoeveel moet hij van elk van deze artikelen aanschaffen, om een zo hoog mogelijke winst te behalen?

Alle gegeven bij elkaar in tabelvorm: Inkoop € Opslag m² Winst € Min. aant. Max. aant. Fietsen 550 0,5 175 30 75 Bromfietsen 1900 1,2 420 10 Kinderzitjes 80 0,2 20 8 Maximaal 80000 60

De tabel inclusief de aantallen en bijbehorende inkoop, opslag en winst: Artikel Aantal Inkoop /stuk Bedrag inkoop Opslag m² / stuk Totaal aant. m² Winst /stuk Min. aant. Max. aant. Fietsen 550 0,5 175 30 75 Bromfietsen 1900 1,2 420 10 Kinderzitjes 80 0,2 20 8 Totaal Maximaal 80000 60 Deze tabel bevat alle ingrediënten, die nodig zijn om de Oplosser van Excel aan het werk te zetten.

De oplosser voor het eerst gebruiken. De oplosser van Excel is een invoegtoepassing, die niet standaard is geïnstalleerd. Je kunt hem actief maken, zodat hij een onderdeel van het Lint gaat uitmaken. Ga als volgt te werk: Klik in Excel op de Office-knop. Klik onderaan op Opties voor Excel. Klik in het linker gedeelte van het nieuwe scherm op Invoegtoepassingen. Zoek rechts onder Niet actieve invoegtoepassingen naar Oplosser-invoegtoepassing. Selecteer deze en klik op Start…. Vink in het vervolgscherm de optie Oplosser-invoegtoepassing aan. Klik daarna op OK en antwoord op de vraag, of u de functie nu wilt installeren, met Ja. Na de installatie en de configuratie staat de Oplosser rechts op het Lint onder de tab Gegevens.. * Gebaseerd op Office 2007.

Als we de Oplosser opstarten verschijnt het volgende invoerscherm: De benodigde gegevens voor de oplosser bestaan uit 3 onderdelen: Cel bepalen: Door verandering cel: Restricties:

1. Cel bepalen: Hier komt de locatie van de cel, waarvan de inhoud geoptimaliseerd moet worden. In het geval van de rijwielhandelaar is dat de totale winst, die in cel H8 staat. We moeten nog wel aangeven of de cel gemaximaliseerd of geminimaliseerd moet worden, of dat de inhoud gelijk moet worden aan een bepaalde waarde. In ons geval moet de winst gemaximaliseerd worden. Tip: De cellen die de oplosser nodig heeft, hoef je niet in te typen. Het volstaat om ze in het werkblad aan te tikken.

2. Door verandering cel: Hier komt de locatie van de cel of cellen, waarvan de inhoud door de Oplosser zodanig veranderd mag worden, dat er een optimum ontstaat. In het geval van de rijwielhandelaar zijn dat de aantallen in te kopen artikelen. Het zijn in dit geval de cellen B5, B6 en B7. Tip: Als het Oplosser-scherm in de weg staat bij het aanduiden van de veranderlijke cellen, klik dan op het knopje . Het Oplosser-scherm wordt dan gereduceerd tot het invoerveld voor de veranderlijke cellen. Om weer terug te keren naar het volledige Oplosser-scherm klik je op .

3. Restricties: In dit gedeelte voeren we de beperkingen in, waar de oplosser zich aan moet houden. In het geval van de rijwielhandelaar zijn dat: Het totale oppervlak van de te kopen artikelen moet kleiner of gelijk zijn aan de beschikbare oppervlakte van 60 m². Zijn totale uitgaven moeten kleiner of gelijk zijn aan € 80.000,-. De aantallen artikelen moeten binnen de opgegeven grenzen liggen.

Om een beperking toe te voegen klikken we op Vervolg Restricties Om een beperking toe te voegen klikken we op Het invoerscherm Toevoegen verschijnt. Om de beperking van de uitgaven van de rijwielhandelaar in te voeren: Klik in het vak Celverwijzing:. Klik in het rekenblad in de cel met het totaalbedrag van de inkopen D8. Kies bij voor . (Kleiner dan of gelijk aan.) Klik in het vak Restrictie:. Klik in het rekenblad in de cel met het maximale bedrag D9. Klik op . Het invoerscherm Toevoegen staat hierna weer gereed voor de volgende beperking.

Op eenzelfde manier kan de beperking van het Vervolg Restricties Op eenzelfde manier kan de beperking van het totale oppervlak worden ingevoerd. De aantallen in te kopen artikelen zijn ook aan grenzen gebonden. Deze beperkingen hoeven niet per soort artikel worden ingevoerd, maar kunnen in één beperkingsregel worden opgegeven. Dit gaat als volgt: Klik in het vak Celverwijzing:. Selecteer de drie cellen voor de aantallen B5:B7. Kies bij voor . (Groter dan of gelijk aan.) Klik in het vak Restrictie:. Selecteer de drie cellen met de minimumwaarden voor de aantallen, I5:I7. Klik op . Op eenzelfde manier kunnen we de beperking voor de maximale aantallen invoeren, maar dan niet met , maar met . Na de laatste beperking sluiten we af door op te klikken. Heb je per ongeluk toch op geklikt, klik dan op .

Het invulscherm van de Oplosser ziet er nu als volgt uit: Klik nu op om de Oplosser aan het werk te zetten.

Na een fractie van een seconde komt de Oplosser met de volgende mededeling: Klik op om de Oplosser af te sluiten en de oplossing te behouden.

We zitten nog met een klein probleempje, 17,417 brommers is niet hanteerbaar. We moeten de Oplosser nog meegeven dat hij met geheeltallige waarden voor de aantallen moet werken. Nog een extra beperking toevoegen dus. Start de Oplosser weer. Klik bij Restricties op . Klik in het vak Celverwijzing:. Selecteer in het rekenblad de drie cellen voor de totalen B5:B7. Kies bij voor . (= integer = gehele getallen.) Klik op . Klik op om de Oplosser opnieuw te starten. De oplossing is nu wel geheeltallig. Merk op dat deze oplossing flink afwijkt.

Nog een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk, waarbij de inkomsten gemaximaliseerd moet worden. Een landbouwer heeft een stuk landbouwgrond van 200 hectare. Hij kan er tarwe, gerst of een combinatie van beide op verbouwen. Tarwe levert hem € 1400,- per hectare op en gerst levert hem € 1150,- per hectare op. Voor tarwe heeft hij per hectare 220 L kunstmest en 90 L insecticide nodig en voor gerst heeft hij per hectare 330 L kunstmest en 60 L insecticide nodig. Hij mag maximaal 60.000 L kunstmest en 14.000 L insecticide toepassen. Hoe moet hij zijn 200 hectare verdelen, zodat zijn inkomen zo hoog mogelijk is?

Alle gegevens van het landbouwer probleem op een rijtje: Gewas Aantal hectaren Inkomsten / hectare Inkom-sten Kunstmest / hectare Totaal kunstmest Insecticide / hectare Totaal insecticide Tarwe 1400 220 90 Gerst 1150 330 60 Totaal Maximaal 200 60000 14000 Deze tabel bevat alle ingrediënten, die nodig zijn om de Oplosser van Excel aan het werk te zetten.

Nog een voorbeeld van een optimaliseringsvraagstuk, waarbij de kosten geminimaliseerd moeten worden. Een groep leerlingen gaat op driedaagse schoolreis. De reis zal gemaakt worden met huurbusjes waarvan twee soorten beschikbaar zijn: Opel en Ford. In totaal gaan er 105 personen mee en 72 koffers. In een Opel-busje kunnen 7 personen en 6 koffers. In een Ford-busje kunnen 9 personen en 4 koffers. Een Opel-busje kost € 60,- per dag en een Ford-busje kost € 55,- per dag. Hoeveel busjes moeten er van elke merk gehuurd worden om zo goedkoop mogelijk op reis te kunnen gaan?

Alle gegevens van het schoolreisje probleem op een rijtje: Merk busje Aantal busjes Prijs / dag / busje Kosten / dag Aant. Passa- giers / busje Totaal aant. passagiers Aant. kof- fers / busje Totaal aant. koffers Opel 60 7 6 Ford 55 9 4 Totaal Maximaal 105 72

Een voorbeeld van een toewijzingsvraagstuk. Een zwemcoach moet zijn ploeg opstellen voor een estafette. Hij beschikt over 5 topzwemmers, die op de 4 onderdelen rugslag, schoolslag, vlinderslag en vrije slag kunnen uitkomen. De meest recente tijden in sec. van de 5 zwemmers op de 4 onderdelen zijn: Zwemmer 1 2 3 4 5 Rugslag 59,3 55,3 57,9 59,8 55,7 Schoolslag 64,9 64,5 66,8 63,4 65,9 Vlinderslag 57,3 54,2 56,2 55,8 Vrije slag 51,3 49,3 50,2 51,9 50,8 Tabel A Welke zwemmer moet de coach op welk onderdeel laten uitkomen?

Er zijn 5 x 4 x 3 x 2 = 120 mogelijkheden, maar welke levert de kortste totaaltijd op? Een oplossing van dit probleem zou kunnen zijn: Zwemmer 1 2 3 4 5 Rugslag X Schoolslag Vlinderslag Vrije slag Zwemmer 1 op rugslag, zwemmer 2 op schoolslag, zwemmer 3 op vlinderslag, zwemmer 4 op vrije slag. Dit zou een totaaltijd van 59,3 + 64,5 + 55,7 + 51,9 = 231,4 sec. opleveren. Het is maar een willekeurige oplossing en de kans is groot dat er betere combinaties bestaan.

De toewijzing van een zwemonderdeel aan een zwemmer werd in de vorige tabel weergegeven door een X. De Oplosser werkt echter met getallen en niet met X-jes. Daarom maken we de volgende afspraak: Als een zwemonderdeel toegewezen wordt aan een zwemmer geven we dit aan met een 1, zo niet dan komt er een 0 te staan. De voorbeeldoplossing komt er dan als volgt uit te zien: Zwemmer 1 2 3 4 5 Rugslag Schoolslag Vlinderslag Vrije slag Tabel B

De oplosser moet de totale tijd minimaliseren door de vier 1-tjes op de juiste plaats in tabel B te plaatsen. De 20 cellen van tabel B vormen dus de veranderlijke variabelen. Hoe komen we nu aan de totale tijd? Door allereerst de overeenkomstige cellen van tabel A en tabel B met elkaar te vermenigvuldigen. We krijgen dan tabel C, die er voor deze voorbeeldoplossing als volgt uitziet: Zwemmer 1 2 3 4 5 Rugslag 59,3 Schoolslag 64,5 Vlinderslag 55,7 Vrije slag 51,9 Tabel C

De totaaltijd krijgen we door in tabel C de rijen te sommeren en daarna deze totalen te sommeren. Zwemmer 1 2 3 4 5 Totaal Rugslag 59,3 Schoolslag 64,5 Vlinderslag 55,7 Vrije slag 51,9 Totale tijd 231,4 Tabel C Van de drie benodigdheden voor de Oplosser hebben we er nu al twee, nl. Cel bepalen: de totale tijd moet geminimaliseerd worden. Door verandering cel: de 1 of 0 cellen van tabel B.

Nu alleen de beperkingen nog. Deze hebben in dit geval allemaal te maken met tabel B. Er mogen alleen maar nullen of enen worden geplaatst. Een zwemonderdeel kan maar aan één zwemmer worden toegekend. Een zwemmer kan maar op één zwemonderdeel uitkomen. Om deze beperkingen te kunnen vertalen naar rekenregels breiden we tabel B met de volgende totalen uit: Zwemmer 1 2 3 4 5 Totaal Rugslag Schoolslag Vlinderslag Vrije slag Tabel B

De beperking Een zwemonderdeel kan maar aan één zwemmer worden toegekend. Kunnen we nu vertalen in: De som van elke regel in tabel B moet 1 zijn. en Een zwemmer kan maar op één zwemonderdeel uitkomen. De som van elke kolom in tabel B moet kleiner of gelijk zijn aan 1. Totaal 1 Totaal 1

Nog een voorbeeld van een toewijzingsvraagstuk. Na het overlijden van hun moeder moet de inhoud van het juwelenkistje worden verdeeld onder de drie dochters Anna, Bella en Cora. Ze laten de juwelen taxeren, wat de volgende bedragen in € oplevert:   Waarde Ketting 1 420 Ketting 2 300 Ketting 3 240 Ring 1 200 Ring 2 160 Oorbellen 1 80 Oorbellen 2 50 Broche 1 60 Broche 2 30 Broche 3 20 Totaal 1560 De drie zusters besluiten de juwelen zo eerlijk mogelijk te verdelen. Het zou mooi zijn als elk van hen juwelen krijgt ter waarde van € 1560 / 3 = € 520.

We kunnen dus weer een tabel van veranderlijke cellen maken, waarin Elk juweel kan in principe aan elk van de drie zussen worden toebedeeld. We kunnen dus weer een tabel van veranderlijke cellen maken, waarin de Oplosser naar hartenlust nullen en enen kan plaatsen.   Waarde A B C Ketting 1 420 1 Ketting 2 300 Ketting 3 240 Ring 1 200 Ring 2 160 Oorbellen 1 80 Oorbellen 2 50 Broche 1 60 Broche 2 30 Broche 3 20 Totaal 1560 A is Anna B is Bella C is Cora Deze invulling met nullen en enen is weer geheel willekeurig en zal zeer waarschijnlijk niet de beste verdeling geven. Er zijn 3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 59.049 mogelijkheden.

Wat zijn in dit geval de beperkingen? In de veranderlijke cellen mogen alleen maar nullen of enen worden geplaatst. Een juweel kan maar naar één van de dochters gaan. Om de laatste beperking voor de Oplosser hanteerbaar te maken, voegen we een kolom (T) toe aan de tabel, waarin per rij (juweel) de som van de drie nullen en/of enen komt te staan.   Waarde A B C T Ketting 1 420 1 Ketting 2 300 Ketting 3 240 Ring 1 200 Ring 2 160 Oorbellen 1 80 Oorbellen 2 50 Broche 1 60 Broche 2 30 Broche 3 20 Totaal 1560

Nu ontbreekt alleen nog het onderdeel Cel bepalen, of anders gezegd, wat moet er geoptimaliseerd worden? De drie zusters willen een zo eerlijk mogelijke verdeling, dat wil zeggen: ieder krijgt 1/3 van de totale waarde van de juwelen. In deze willekeurige toewijzing krijgt Anna een waarde van € 350, Bella een waarde van € 520 en Cora een waarde van € 690. In totaal is er een verschil met het gemiddelde (520) van € 340. Hier zullen de dames niet tevreden mee zijn. De Oplosser zal dit totale verschil zo klein mogelijk moeten maken. Dit totale verschil wordt dus de te minimaliseren waarde.

Hoe komen we aan de totale waarde van de toegekende juwelen per dochter? Eenvoudig door elke kolom van de Veranderlijke cellen te vermenigvuldigen met de waarden van de juwelen.   Waarde A B C T Ketting 1 420 1 Ketting 2 300 Ketting 3 240 Ring 1 200 Ring 2 160 Oorbellen 1 80 Oorbellen 2 50 Broche 1 60 Broche 2 30 Broche 3 20 Totaal 1560 350 520 690 Tot.afw. Gemiddeld 380 Afwijking 170 340

Enkele opmerkingen tot slot. Het maximum aantal veranderlijke cellen in Excel bedraagt 200. Om te voorkomen dat er kleine restwaarden in cellen worden weergegeven, stel je bij de Celeigenschappen van die cellen, onder de tab Getal, de Categorie in op Getal met 0 cijfers achter de komma. De gebruikte bestanden: De Oplosser van Excel.ppt Excel Oplosser.xls Kunnen worden gedownload van de site van de HWCC: www.hwccweb.nl