De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB."— Transcript van de presentatie:

1 1 ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB

2 2 Briggse Logaritmen g x = a De uitkomst a wordt berekend door het grondtal g te verheffen tot de macht x Met g =10 en x = 2 kunnen we a berekenen: 10 2 = x = 8, tot welke macht moeten we 2 verheffen om 8 te krijgen ? Het vinden van deze uitkomst, in dit geval 3, noemen heet ‘logaritme nemen’. De notatie hiervan is: x = g log a

3 3 Logaritme nemen  4 log64 =  4 x = 64 ↔ 4 x = 4 3 ↔ x = 3  10 log10 =  10 x = 10 ↔10 x = 10 1 ↔ x =1  9 log1/3 =  9 x = 1/3 ↔ (3 2 ) x = 3 -1 ↔ x = -½

4 4 Logaritme nemen Om de exponent x van een grondtal g te bepalen terwijl de uitkomst a bekend is, gebruiken we dus de logaritme g x = a ↔ g log a 3 2 log√4 = x ↔ 2 x = 4 1/3 ↔ 2 x = (2 2 ) 1/3 ↔ x = 2/3 1/4 log a = -2 ↔ ¼ -2 = a ↔ (4 -1 ) -2 = a ↔ a = 4 2 ↔ a = 16 g log 1/16 = -2 ↔ g -2 = 1/16 ↔ g -2 = ↔ g -2 = (4 2 ) -1 ↔ g -2 = 4 -2 ↔ g = 4

5 5 Logaritme nemen Het grondtal g van de logaritme moet positief en ongelijk aan nul zijn. Het argument a van de logaritme moet altijd positief zijn.

6 6 Logaritme nemen  -2 log 8 = x ?  -2 x ≠ 2 3  bestaat niet, want er is geen macht waartoe je -2 kunt verheffen om 8 te krijgen.  4 log -16 = x ?  4 x ≠ -4 2  bestaat niet, want geen enkele machtsverheffing met 4 als grondtal heeft -16 als uitkomst.  1 log 2 = x ?  1 x ≠ 2  bestaat niet, want tot welke macht we 1 ook verheffen er komt altijd 1 uit.  0 log 2 = x ?  0 x ≠ 2  bestaat niet, want tot welke macht we 0 ook verheffen, er komt altijd 0 uit.

7 7 Eigenschap 1 g g log a = a( a> 0, g > 0, g ≠ 0) 10 log 100 = 2 ↔ 10 2 =100 De exponent 2 van het grondtal 10 kunnen we vervangen door 10 log 10 zodat 10 10log100 = 100 Dus als we van een zeker getal a (bijv. 9) de waarde g log a bepalen (bijv. 3 log9) En we gebruiken de uitkomst hiervan ( 3 log 9) weer als exponent in een machtsverheffing met hetzelfde grondtal (3), dan krijgen we het oorspronkelijke getal a (9) terug.

8 8 Voorbeeld eigenschap log 9 = 9↔3 2 = 9 ( 3 log9 = 2) 2 2 log 8 = 8↔2 3 = 8 ( 2 log8 = 3)

9 9 Eigenschap 2 g log a = x1 en g log b = x2 dan geldt ook: g x1 = a en g x2 = b, Zodat: a * b = ab = g x1 * g x2 = g x1 + x2 Dus: g x1 + x2 = ab, Zodat ook: g logab = x1 + x1 = g log a + g log b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: g log a + g log b = g logab (a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) Bijv. 4 log log 5 = 4 log15

10 10 Eigenschap 3 g log a = x1 en g log b = x2 dan geldt ook: g x1 = a en g x2 = b Zodat: a/b = g x1 / g x2 = g x1 – x2 Zodat: g log a/b = x1 – x2 ↔ g log a – g log b Het bovenstaand bewijst eigenschap 2, welk luidt: g log a – g log b = g log a/b(a > 0 en b > 0, gelijke grondtallen) bijv. 2 log 4 – 2 log 8 = 2 log 4/8 = 2 log ½ ↔ 2 x = ½ ↔ 2 x = 2 -1 ↔ x = -1

11 11 Eigenschap 4 We weten dat: a = g g log a (eigenschap 1) Indien we linker- en rechterlid tot de macht p verheffen, dan: a p = g p g log a M.b.v de definitie van het logaritme, g x = a ↔ g log a : g p g log a = a p ↔ g log a p = p g loga Het bovenstaand bewijst eigenschap 4, welk luidt: p g log a = g log a p

12 12 Voorbeeld eigenschap 4 2 log log 4 = 2 log 16 ↔ 2 * 2 log 4 = 2 log 16 ↔ 2 * 2 log 4 = 2 log 4 2

13 13 Eigenschap 5 7 log3 = x ↔ 7 x = 3 Er geldt nu: 5 log7 x = 5 log 3 ↔(grondtal 5 willekeurig gekozen) x * 5 log 7 = 5 log 3(eigenschap 4) x = 5 log3 / 5 log 7↔ x = log 3 / log 7↔x = 0,5646 m.b.v. 1 geldt : 7 log 3 = log 3 / log 7 7 0,5646 = 3 Het bovenstaand bewijst eigenschap 5, welk luidt: b loga = g log a / g log b(g = een willekeurig gekozen grondtal)

14 14 voorbeelden g loga 2 bc 3 = g loga 2 + g logb + g logc 3  2 * g loga + g logb + 3* g logc 10 log 1/√10 = 10 log10 -1/2  -1/2 * 10 log10  -1/2 * 1 = -1/2

15 15 voorbeelden g loga 2 / c√b = g loga 2 – ( g logc + g log√b)  g loga 2 – g logc - g log√b)  2 * g loga – g logc – g logb 1/2  2 * g loga – g logc – ½ * g logb

16 16 Eigenschap 6 Oplossen van logaritmische vergelijkingen 3 logx = 3 log5 + 3 log2 3 logx = 3 log10 ↔ x =10 (eigenschap 2) Logaritmische vergelijking worden opgelost met de eigenschap: g log a = g log b ↔ a = b

17 17 Voorbeeld #1 eigenschap 6 10 logx 4 = log logx  4* 10 logx = 10 log log logx  3* 10 logx = 10 log log5  3* 10 logx = 10 Log50  10 logx 3 = 10 log50  x3 = 50  en x > 0

18 18 Voorbeeld #2 eigenschap 6 4 logx = log2  4 logx = 4 log log2  4 logx = 4 log128  x > 0 (bestaansvoorwaarde logaritme) x = 128 y = 4log128 = log128/log4 = 3,5 Snijpunt: (128,3.5)

19 19 Grafiek voorbeeld #2 x > 0 x = 128 y = 3,5

20 20 Voorbeeld #3 2 logx = 4 log2x  2 logx = 2 log2x / 2 log4(eigenschap 5)  2 logx = 2 log2x / 2  2 * 2 logx = 2 log2x 2 logx 2 = 2 log2x(eigenschap 4)  x 2 = 2x(eigenschap 6)  x 2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0  x = 0 of x = 2bestaansvoorwaarde x > 0  x = 2, y = 2 log2 = 1 Snijpunt: (2,1)

21 21 Grafiek voorbeeld #3

22 22 EINDE Docent: M.J.Roos


Download ppt "1 ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 3 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propadeuse, kernprogramma 2e kwartaal IBB."

Verwante presentaties


Ads door Google