De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Opfriscursus Wiskunde september 2011 C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans – R. Stevens.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Opfriscursus Wiskunde september 2011 C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans – R. Stevens."— Transcript van de presentatie:

1 Opfriscursus Wiskunde september 2011 C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans – R. Stevens

2 Data •maandag 12/09/2011 •dinsdag 13/09/2011 •woensdag 14/09/2011 •donderdag 15/09/2011 •vrijdag 16/09/2011 •Dinsdag 20/09/2011 test

3 Tijd •telkens van 9u tot 13u (met pauze) •per les +/- 2u thuis oefeningen maken •ruime herhaling ter voorbereiding test

4 Cursusmateriaal •handouts van PPT-presentatie - notities uit de les •samenvatting onderwerp van de dag •elke dag oefeningen + oplossingen •volledige PPT-presentatie op •verwijzingen naar handboeken –Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 en 2 (C. Biront en J. Deprez) –Supplement bij Wiskundige Begrippen en Methoden deel 1 (C. Biront en J. Deprez) VRIJBLIJVEND (niet strikt noodzakelijk)

5 Facultatief: bijkomend materiaal •Basisboek Wiskunde (Jan van de Craats – Rob Bosch) •http://www.mathcentre.ac.uk/http://www.mathcentre.ac.uk/ •http://www.khanacademy.org/http://www.khanacademy.org/ •http://wiskunde.starttips.com/http://wiskunde.starttips.com •www.purplemath.com/modules/index.htmwww.purplemath.com/modules/index.htm

6 Test •Di 20/09/2011 •mondeling met uitgebreide schriftelijke voorbereiding •uitsluitend oefeningen: rekenen + interpretatie! •formularium: 1A4-blad (langs beide zijden) •inschrijven vierde les

7 Eerstegraadsfuncties

8 Kostprijs van een taxirit bij taxibedrijf A? (1) •Vertrekgeld: 5 euro •Kmprijs: 2 euro Kostprijs rit van 7 km?

9 Kostprijs van een taxirittaxirit bij taxibedrijf A? (2) •Vertrekgeld: 5 euro •Kmprijs: 2 euro Kostprijs y van een rit van x km?

10 Benamingen •x (lengte rit) en y (prijs rit): VERANDERLIJKEN •y hangt af van x: y is FUNCTIE van x, notatie: y(x) y: AFHANKELIJKE VERANDERLIJKE x: ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE • formule y = 5 + 2x: VERGELIJKING (VOORSCHRIFT) VAN DE FUNCTIE

11 Vorm van de vergelijking y = 5 + 2x VAST GEDEELTE + VARIABEL GEDEELTE VAST GEDEELTE + VEELVOUD ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE VAST GEDEELTE + GEDEELTE EVENREDIG MET ONAFHANKELIJKE VERANDERLIJKE

12 Kostprijs taxirit taxibedrijven B,C,..? •y = x; y = x; enz. … •Algemeen: y = vast vertrekgeld + kmprijs  x y = q + m x y = m x + q EERSTEGRAADSFUNCTIE! (toepassingen: lineaire functie genoemd) Let op: m en q VAST (per bedrijf): parameters! x en y: VERANDERLIJKEN!

13 ANDERE SITUATIES waarbij ook nog eerstegraadsfuncties ontstaan? •Kostprijs y om auto van euro aan te kopen en daarmee x km rijden als de kosten 0.8 euro per km bedragen? y = x m.a.w. … y = mx + q! •Totale productiekosten TK om q eenheden te produceren als FK = 3 en de productiekost per eenheid 0.2 is? TK = q m.a.w. y = mx + q!

14 Situaties waarbij functie GEEN EERSTEGRAADSFUNCTIE is? Crashen met de taxi aan 100 km/h is VEEL dodelijker dan bij 50 km/h omdat de energie E evenredig is met het KWADRAAT van de snelheid v. Voor taxi van 980 kg: E = 490v² d.i. NIET van de vorm y = mx + q en dus GEEN eerstegraadsfunctie!

15 Betekenis van de parameter q in de vergelijking •Taxibedrijf A: y = 2x + 5. Hier is q = 5: de vertrekprijs. •q kan opgevat worden als DE WAARDE VAN y ALS x = 0. Grafische betekenis q

16 Betekenis m in de vergelijking •Taxibedrijf A: y = 2x + 5, m = 2: de kmprijs. •m is DE VERANDERING VAN y ALS x TOENEEMT MET 1. •Als x toeneemt met b.v. 3 (rit is 3 km langer) zal y toenemen met 2  3 = 6 (we moeten 6 euro meer betalen). •In wiskundige notatie: als  x = 3 dan  y = 2  3 = m   x. •Altijd geldt:  y = m  x (TOENAMEFORMULE). Grafische betekenis m Gevolg:

17 Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (1) Eerste manier: Meest geconcentreerde vorm! Met de VERGELIJKING, b.v. y = 2x + 5.

18 Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (2) Tweede manier: Meest concrete vorm! Met een TABEL, b.v. voor y = 2x + 5: xy ……

19 Drie manieren om een eerstegraadsfunctie weer te geven (3) Derde manier: Meest visuele vorm! De grafiek is EEN (deel van een) RECHTE! Met de GRAFIEK, b.v. voor y = 2x + 5:

20 Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (1) •Bij de prijsberekening voor taxibedrijf A ontstond een eerstegraadsfunctie, nl. y = 2x + 5. Maar wat is nu PRECIES die eerstegraadsfunctie? … x? … y? … x en y? de vergelijking? …? •Eén wiskundige opvatting is de volgende: DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5” •FUNCTIE = “MACHINE”! = “MACHINE”!

21 Eerstegraadsfuncties: nauwkeuriger, wiskundiger, … (2) •DE REGEL DIE MOET TOEGEPAST WORDEN OM x OM TE ZETTEN IN y, hier dus “eerst maal 2 en dan plus 5” •Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) stellen we voor door nog een andere letter, b.v. f. •Die “regel” (de eigenlijke eerstegraadsfunctie!) toepassen op x noteren we als f(x). •In dit geval: f(x) = 2x + 5. •We hadden eerst y = 2x + 5 en nu dus ook y = f(x).

22 Algemeen •Eerstegraadsfunctie f: “regel” die een getal x omzet in het getal f(x) (dikwijls als y genoteerd) zo dat f(x) = mx + q (en dus ook y = mx + q) waarbij m  0 (!!) •De grafiek is altijd een schuine (!!) rechte. •Betekenis parameter q: q = f(0) •Betekenis parameter m:

23 Grafische betekenis parameter q q in het voorbeeld van taxibedrijf A q geeft aan waar de grafiek de Y-as snijdt: Y-INTERCEPT Algemeen:

24 Grafische betekenis parameter m (1) •m in het voorbeeld van taxibedrijf Am in het voorbeeld van taxibedrijf A •als x met 1 eenheid toeneemt, neemt y met m eenheden toe m is de HELLING of de RICHTINGSCOËFFICIËNT

25 Grafische betekenis parameter m (2) teken van m bepaalt –of rechte naar onder/horizontaal/boven loopt –of eerstegraadsfunctie dalend/constant(!!)/stijgend is grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is

26 Grafische betekenis parameter m (3) als x met  x eenheden toeneemt, neemt y met m  x eenheden toe Toenameformule:

27 Grafische betekenis van de parameters m en q We zien deze betekenis duidelijk hier …hier lijn/RechteLijn.html Of hier…hier 1.htm Of hier…hier 7/7.5/index.htm

28 Oefeningen •oefening 1 •oefening 2 (alleen aangeduide punten mogen gebruikt worden!) voor E: evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingscoëfficiënt! Figuur 2

29 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (1) •Kapitaal van euro volledig beleggen in bepaald aandelenfonds en bepaald obligatiefonds aandelenfonds: 80 euro per deelbewijs obligatiefonds: 250 euro per deelbewijs •Hoeveel van elk zijn mogelijk met het gegeven kapitaal? Noem het aantal deelbewijzen respectievelijk q A en q O. Dan moet gelden: 80q A + 250q O =

30 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (2) •Er geldt: 80q A + 250q O = •Er zijn oneindig veel mogelijkheden voor q A en q O b.v.: q A = 0, q O = 40; q A = 125, q O = 0; q A = 100, q O = 8 enz. … •Niet alle combinaties zijn mogelijk! •Er is een verband, EEN RELATIE, tussen q A en q O.

31 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (3) •Er geldt: 80q A + 250q O = •We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q A en q O duidelijker, EXPLICIETER, uitdrukken: q A afhankelijke, q O onafhankelijke veranderlijke, verband is van de vorm y = mx + q dus EERSTEGRAADSFUNCTIE!

32 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (4) •Er geldt: 80q A + 250q O = •We kunnen het verband, DE RELATIE, tussen q A en q O duidelijker, EXPLICIETER, ook als volgt uitdrukken: Nu is q O afhankelijke, q A onafhankelijke veranderlijke, verband is weer van de vorm y = mx + q dus ook EERSTEGRAADSFUNCTIE!

33 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (5) Verband, RELATIE, tussen q A en q O : •80q A + 250q O = : IMPLICIETE vergelijking beide veranderlijken in één lid, vorm ax + by + c = 0 •q O = 40  0.32q A : EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q •q A = 125  3.125q O : EXPLICIETE vergelijking afhankelijke geïsoleerd in linkerlid, rechterlid alleen onafhankelijke veranderlijke, vorm y = mx + q

34 Impliciet gegeven eerstegraadsfunctie (6) DE RELATIE tussen q A en q O komt in dit geval overeen met een EERSTEGRAADSFUNCTIE (twee keuzen!) en kan dus (op twee manieren!) grafisch voorgesteld worden door EEN DEEL VAN EEN RECHTE (LIJNSTUK):

35 Vergelijkingen van rechten (1) •De grafiek van een eerstegraadsfunctie f met vergelijking y = mx + q is EEN RECHTE. •Een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 met b  0 bepaalt een eerstegraadsfunctie en is dus ook de vergelijking van een rechte. (Om y te kunnen isoleren moet GEDEELD worden door b, daarom moet b  0!) •Elke vergelijking van de vorm ax + by + c = 0 WAARBIJ a EN b NIET TEZAMEN NUL ZIJN bepaalt een rechte! Zie oefening 5.

36 Vergelijkingen van rechten (2) Richtingscoëfficiënt van een rechte met twee gegeven punten:

37 Vergelijkingen van rechten (3) •rechte door een gegeven punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: rechte door punt (x 0, y 0 ) met rico m heeft vergelijking •evenwijdige rechten: gelijke rico’s oefeningen 3 en 4 •onderling loodrechte rechten: product van de rico’s is –1

38 Oefeningen (1) •oefening 7 werkwijze: –snijpunt f en g zoeken via f(x) = g(x) –controleren of dit punt op de grafiek van h ligt •oefening 8 (a) werkwijze: –y oplossen uit eerste vergelijking (*) en invullen in tweede vergelijking; daaruit dan x oplossen; invullen in (*)

39 Oefeningen (2) •oefening 9 (a), (b), (c), (i), (e), (d) •oefening 14 Figuur 14 (a) Figuur 14 (b) enz. WISKUNDE LEREN = ZELF VEEL OEFENINGEN MAKEN, FOUTEN BEGRIJPEN EN DE OEFENINGEN CORRECT OPNIEUW MAKEN

40 Oefening 2 Terug

41 Oefening 14 (a) Terug

42 Oefening 14 (b) Terug


Download ppt "Opfriscursus Wiskunde september 2011 C. Biront – A. Gheysen – A. Laeremans – R. Stevens."

Verwante presentaties


Ads door Google