Spiegeltje, spiegeltje aan de wand … Wie is de meest symmetrische van het land? Ladies at Science – wiskunde 29 april 2015 slides: https://perswww.kuleuven.be/johan_deprez

Kennismaking en inleiding Welkom! in deze sessie: eye-opener voor wat er in de wiskunde nog zoal te beleven is buiten wat je uit je wiskundelessen al kent ons team Karen (masterstudente) Stief (onderwijsassistent) Aldine (doctoraatsstudente) Johan (docent)

Kennismaking en inleiding op jullie bank dodecaëder (twaalfvlak) icosaëder (twintigvlak) afgeknotte icosaëder Welke ruimtefiguur is de meest symmetrische?

Symmetrie en symmetriegroep

Symmetrieën om ons heen

Wat is een symmetrie? Een symmetrie is een handeling. Iets dat je met een bepaald patroon kunt doen zonder dat het uiterlijk ervan verandert. Voorbeeld: spiegeling

Wat is een symmetrie? Voorbeeld: rotatie

Wat is een symmetriegroep? De verzameling van alle symmetrieën van een bepaald patroon wordt de symmetriegroep van dat patroon genoemd.

Opdracht Teken alle symmetrieën van de regelmatige zeshoek. Bepaal het aantal verschillende symmetrieën. Opmerking: het aantal regelmatige zeshoeken op het blad ≠ het aantal verschillende symmetrieën van de regelmatige zeshoek. Geheugensteuntje:

Oplossing opdracht De symmetriegroep van de regelmatige zeshoek - 5 mogelijke rotaties (60°, 120°, 180°, 240°, 300°) - de identieke afbeelding - spiegelen rond 6 mogelijke spiegelassen 12 elementen in de symmetriegroep van de regelmatige zeshoek

Symmetrieën als objecten {𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑟 5 , 𝑟 6 =𝑒} { 𝑠 𝑧1 , 𝑠 𝑧2 , 𝑠 𝑧3 } { 𝑠 ℎ1 , 𝑠 ℎ2 , 𝑠 ℎ3 } Sym(zeshoek) = {𝑒, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑟 5 , 𝑠 𝑧1 , 𝑠 𝑧2 , 𝑠 𝑧3 , 𝑠 ℎ1 , 𝑠 ℎ2 , 𝑠 ℎ3 }

Samenstellen van symmetrieën en de eigenschappen daarvan

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën

Samenstelling van symmetrieën Samenstelling van twee symmetrieën zit opnieuw in de verzameling: gesloten Notatie: 𝑠 𝑧2 ° 𝑟= 𝑠 ℎ1 Heel ander voorbeeld uit de wiskunde: optellen van gehele getallen (a+b=c) levert opnieuw geheel getal op

Neutraal element Gehele getallen: 𝑎+0=𝑎=0+𝑎 voor alle gehele getallen 𝑎 0 = neutrale element voor de optelling Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstelling van symmetrieën?

Neutraal element Gehele getallen: 𝑎+0=𝑎=0+𝑎 voor alle gehele getallen 𝑎 0 = neutrale element voor de optelling Bestaat er ook een neutraal element voor de samenstelling van symmetrieën?

Neutraal element 𝑠 ℎ2 samenstellen met 𝑒 geeft dezelfde symmetrie : 𝑒 ° 𝑠 ℎ2 = 𝑠 ℎ2 Voor alle symmetrieën 𝑠 geldt dat 𝑒 ° 𝑠=𝑠 en 𝑠 ° 𝑒=𝑠 𝑒 is neutraal element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element De symmetrie 𝑟 4 uitvoeren na 𝑟 2 is equivalent met het uitvoeren van de identieke transformatie (= het uitvoeren van 𝑒 ) We noemen 𝑟 4 het invers element van 𝑟 2

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element

Invers element 𝑠 𝑧3 is het invers element van 𝑠 𝑧3 (en ook: 𝑠 𝑧2 van 𝑠 𝑧2 , 𝑠 ℎ1 van 𝑠 ℎ1 , …) Iedere symmetrie heeft een invers element

Associativiteit De optelling van gehele getallen is associatief: 𝑎+ 𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏 +𝑐 𝑠 ℎ2 ° (𝑠 𝑧2 ° 𝑟)= 𝑠 ℎ2 ° 𝑠 𝑧2 ° 𝑟= (𝑠 ℎ2 ° 𝑠 𝑧2 ) ° 𝑟 Ook de samenstelling van symmetrieën van de zeshoek is associatief

Groepen Samenstellen van symmetrieën en optellen van gehele getallen voldoen aan een aantal gemeenschappelijke kenmerken: Samenstellen van symmetrie is opnieuw een symmetrie (en: optellen van gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op): de verzameling is gesloten Er bestaat een neutraal element 𝑒 zodat voor alle symmetrieën 𝑠 geldt dat 𝑒 ° 𝑠=𝑠 en 𝑠 ° 𝑒=𝑠 (en: 𝑎+0=𝑎=0+a voor ieder geheel getal 𝑎) Voor iedere symmetrie bestaat er een inverse symmetrie (en: 𝑎+ −𝑎 =0 voor ieder geheel getal 𝑎) Het samenstellen van symmetrieën (en: het optellen van gehele getallen) is associatief .

Groepen Een wiskundige structuur die voldoet aan: Gesloten Neutraal element Voor ieder element een invers element Associativiteit …wordt een groep genoemd. We kunnen ons onderzoek als volgt samenvatten: De verzameling van symmetrieën van de zeshoek vormt een groep voor de samenstelling, de verzameling van gehele getallen vormt een groep voor de optelling.

Voorbeelden van groepen De verzameling symmetrieën van eender welke figuur vormt een groep voor de samenstelling De verzameling van reële getallen zonder 0 vormt een groep voor de vermenigvuldiging Ook groepen binnen matrices, complexe getallen,…

Voorbeelden van groepen Beschouw de verzameling getallen {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} en als bewerking het optellen volgens het kloklezen in deze verzameling Bijvoorbeeld: “10 + 5 = 3” want 5 uur later dan 10 uur, is het opnieuw 3 uur. Vormt deze verzameling een groep? Gesloten? Neutraal element? Invers element? Associatief?

Voorbeelden van groepen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Bewerking = optellen volgens kloklezen Groep? Ja! Gesloten: twee uren bij elkaar optellen geeft opnieuw een uur op de klok Neutraal element = 12 want 8 + 12 = 8 en 12 + 8 = 8 (en dit geldt voor alle getallen Invers element van 1 is 11, invers element van 2 is 10, …, invers element van 6 is 6, en invers element van 12 is 12 Associatief

Dodecaëder, icosaëder en afgeknotte icosaëder “Wie is de meest symmetrische van het land?”

Opdracht Zoek symmetrieën van het voorwerp dat voor je ligt: De dodecaëder (het regelmatig twaalfvlak) De icosaëder (het regelmatig twintigvlak) Of de afgeknotte icosaëder (de voetbal)

Oplossing vijfvoudige rotatie drievoudige rotatie tweevoudige rotatie spiegeling in spiegelvlakken combinatie van spiegeling en vijfvoudige rotatie combinatie van spiegeling en drievoudige rotatie de identieke afbeelding

Opdracht Bepaal hoeveel symmetrieën het voorwerp heeft Maak gebruik van wat je al weet: vijfvoudige rotatie drievoudige rotatie tweevoudige rotatie spiegeling in spiegelvlakken combinatie van spiegeling en rotatie de identieke afbeelding

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 1 vijfvoudige draaiingsassen 4 rotaties per as 6 assen 24 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 2 drievoudige draaiingsassen 2 rotaties per as 10 assen 20 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 3 tweevoudige draaiingsassen 1 rotatie per as 15 assen 15 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 4 15 spiegelvlakken door overstaande vlakken 15 symmetrieën

Symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal – deel 5 45 combinaties van een spiegeling en een rotatie 45 symmetrieën

Alle symmetrieën van dodecaëder, icosaëder & voetbal de identieke afbeelding (1) 6 vijfvoudige rotatie-assen, 4 rotaties per as (24) 10 drievoudige draaiingsassen, 2 rotaties per as (20) 15 tweevoudige draaiingsassen, 1 rotatie per as (15) 15 spiegelvlakken (15) 45 combinaties van een spiegeling met rotatie (45) Totaal: 120 symmetrieën

Opmerkelijk: de symmetriegroep van de dodecaëder (regelmatige twaalfvlak) = de symmetriegroep van de icosaëder (regelmatig twintigvlak) de symmetriegroep van de voetbal!

En verder?

Voortbrengende elementen sommige symmetrieën zijn afhankelijk van elkaar zeshoek symmetrisch bij draaiing over 60° impliceert (‘brengt voort’) symmetrie bij rotatie over 120°, 180°, 240° en 300° symmetriegroep wordt volledig bepaald door twee voortbrengende symmetrieën rotatie over 60° één van de spiegelingen d.w.z. alle 12 symmetrieën kun je krijgen door deze draaiing en deze ene spiegeling te combineren dodecaëder enz.: volledige symmetriegroep van 120 elementen wordt voortgebracht door slechts twee symmetrieën

Deelgroepen gebroken symmetrie nog een andere deelgroep (zie rechts) alleen de rotaties blijven symmetriegroep van deze figuur is een deelgroep van de symmetriegroep van zeshoek nog een andere deelgroep (zie rechts) Hoeveel deelgroepen heeft de symmetriegroep van de zeshoek? WISKUNDIGEN HEBBEN EEN HELE THEORIE ONTWIKKELD OVER GROEPEN EN GEBRUIKEN GROEPEN ALS HULPMIDDEL OM ALLERLEI WISKUNDIGE OBJECTEN TE BESTUDEREN

Buckminster fullereen ‘voetbal’ is ook de vorm van molecule 60 koolstof-atomen: 𝐶 60 enkele en dubbele bindingen dubbele waar 6-hoeken samenkomen enkel waar 5- en 6-hoek samenkomen ontdekt laatste kwart 20ste eeuw eigenschappen voorspeld op basis van symmetrieën GROEPEN SPELEN OOK EEN ROL IN VEEL ANDERE WETENSCHAPPEN

Slot

Slot eye-opener voor waar wiskunde aan de universiteit over gaat meer dan het berekenen van moeilijkere afgeleiden ‘rekenen’ met andere objecten dan getallen bestuderen van patronen en structuur We hopen dat je het leerrijk en interessant vond! Bedankt voor je aandacht!