De Geschiedenis van de Wiskunde © A. Piens & L. Verkimpe andre.piens@skynet.be Version 1.1 – nov 2014

‘Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een menselijkere wiskundige maken.’ George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956) ‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many generations have built up that magnificent monument, the object of our most legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as individuals. The study of the history of mathematics will not make better mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts, and bring out their finer qualities.’ 

De Geschiedenis van de Wiskunde Deel I 1. Vroegste sporen van mathematisch denken 2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien Egypte Mesopotamië China India Deel II 3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland Klassieke Griekse periode (600 BCE – 300 BCE) Hellenistische (Alexandrische) periode (300 BCE – 400) Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken Deel III 4. Wiskunde tijdens onze Middeleeuwen (5e - 14e eeuw) Indische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen Arabische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen Het Latijnse Westen tijdens onze Middeleeuwen 5. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw) Deel IV 6. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1600 – 1750 Deel V 7. Wiskunde tijdens de Industriële Revolutie

Van één supercontinent naar ... Evolutie van de Aarde Van één supercontinent naar ...

(toepasbaar voor Europa) Evolutie van de Aarde (toepasbaar voor Europa) Holoceen   Historie 1 000 BCE IJzertijd La Téne era Hallstatt era 2 750 BCE Laat Bronstijd Midden Proto-historie Vroeg 3 750 BCE Kopertijd Neolithicum Steentijd Pre-historie 7 500 BCE Mesolithicum 10 500 BCE Pleistoceen 35 000 BCE einde laatste ijstijd Paleolithicum 300 000 BCE 12,5 Mio BCE

Evolutie van de Mens (Evolutiebiologie) ca. 640 cm³ ca. 850 cm³ ca. 1600 cm³ <1600 cm³ ca. 450 cm³ 4 Mio jaar geleden 2.5 Mio jaar geleden 500 000 jaar geleden 70 000 jaar geleden 35 000 jaar geleden

Vroegste Sporen van Mathematisch Denken Stonehenge (ca. 3000 BCE– ca.2100 BCE)

Het Lebombo been ca. 36000 BCE 7.7 cm 29 inkervingen in een deel van het kuitbeen van een baviaan 7.7 cm lang ontdekt in 1970 dooor P. Beaumont op de grens tussen Zuid-Afrika en Swaziland in een grot van de Lebombo Mountains vermoedelijk een voorstelling van een maankalenderder (vrouwelijke cyclus) duidelijk breuk aan één kant 29 inkervingen, kunnen een minimum aantal inkervingen zijn

Jean de Heinzelin de Braucourt Het Ishango been ca. 18000 BCE Jean de Heinzelin de Braucourt Marchienne-au-pont, 1920 - Brussel,1998 lid van het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen professor aan de Universiteiten van Brussel en Gent talrijke expedities, vooral in Afrika Ishango been gevonden in 1950 in het gebied van de Grote Meren, op 15 km van de evenaar ca. 10 cm lang, van onbekende diersoort volgens diverse analyses, o.a. Koolstof 14, 20000 jaar oud Het Ishango been, tentoongesteld in het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen, Brussel

Het Ishango been ? ? ca. 18000 BCE 10-1 20-1 20+1 10+1 som = 60 ca. 10 cm 10-1 20-1 20+1 10+1 ? som = 60 ca. 10 cm 3, 5, 7, 11 13, 17, 19 priemgetallen ?

De Wiskunde in de 4 Riviervalleien Tigris - Eufrates Huang-he (Gele Rivier) Indus Nijl

De Beschavingen van de 4 Riviervalleien

Wiskunde in het Oude Egypte Koningszoon Wepemnefret, zittend voor hetgeen hij wil meenemen in het hiernamaals (Giza Necropolis)

Egypte - tijdslijn Herodotus bezoekt Egypte Demotisch schrift vervangt hiëratisch Hiëratisch schrift wordt ontwikkeld Menes (Narmer) Naqada III

Historische kaarten van Egypte

de sleutel tot het begrip van de Egyptische beschaving De steen van Rosetta 196 BCE de sleutel tot het begrip van de Egyptische beschaving steen in donker graniet, linker-boven deel ontbreekt gevonden in 1799 bij Rosetta (El Rashid) door Franse genietroepen van Napoleon afmetingen 114 cm * 72 cm * 28 cm, 760 kg dateert van 196 BCE bevat een dankbetuiging aan koning Ptolemaios V opgesteld in 3 schriften : Oud Egyptische hiëroglyfen Demotisch schrift Oud-Grieks leidde tot de ontcijfering van de hiëroglyfen door Jean-François Champollion in 1822 sinds 1802 bewaard in het British Museum, London

Hiëroglyfen en Hiëratisch schrift 3244 21237 Eenheden Tientallen Honderdtallen Duizendtallen Tienduizenden Honderd- duizenden Getallen in hiëratisch schrift

Kroon van het verenigd Egypte Narmer ca. 3100 BCE Narmer was de heerser over Opper-Egypte (Zuiden) en veroverde Neder-Egypte (Noorden) verzekerde aldus de éénmaking van Egypte huwde de koningin van Neder-Egypte Neithhotep en werd de eerste pharao van de eerste dynastie stichtte de hoofdstad Memphis Narmer palet (3100 BCE) in groene schist vervaardigd palet 64 cm * 42 cm in 1898 gevonden in Hierakonpolis voorstelling van het éénwordingsproces Narmer wordt voorgesteld met de witte kroon van Opper-Egypte en met de rode kroon van Neder-Egypte Kroon van het verenigd Egypte

Narmer Narmer scepter ca. 3100 BCE de top van de scepter van pharao Narmer geeft een beeld van de veldtocht in Neder-Egypte en een opsomming (in hiëroglyfen) van de buit : 400 000 runderen 1 422 000 geiten 120 000 gevangenen

Egyptische breuken zowel hiërogliefen, als het hiëratisch schrift, boden de mogelijkheid de omgekeerden van de natuurlijke getallen voor te stellen er was een bijzondere notatie voor de breuken : de Egyptenaren waren in staat elke breuk te schrijven als een som van verschillende stambreuken het eerste deel van de Rhind papyrus geeft een tabel voor 2/n, voor alle oneven n tot en met 101 het deelgebied getallentheorie van de wiskunde geeft een aantal patronen voor dergelijke egyptische breuken, zoals

Vermenigvuldigen en Delen Egyptische rekenkunde werd voornamelijk herleid tot optellen en verdubbelen vermenigvuldigen van 19 en 87 19 * 87 delen van 98 door 7 98 / 7 delen van 35 door 8 35 / 8 1 87 ° 2 174 ° 4 348 8 696 16 1392 ° _________ _________ 1+2+16 = 87+174+1392 = 19 1653 1 7 2 14 ° 4 28 ° 8 56 ° _________ _________ 2+4+8 = 14+28+56 = 14 98 1 8 2 16 4 32 ° 1/2 4 1/4 2 ° 1/8 1 ° _________ _______ __ 4+1/4+1/8 32+2+1 = 35

The Moscow Mathematical Papyrus ca. 1850 BCE papyrus rol van ca. 5.50 m lang * 4 tot 8 cm breed in hiëratisch schrift gevonden in Thebe in 1892 aangekocht door egyptoloog Vladimir Golenischev bevat 25 rekenkundige en meetkundige problemen probleem 10 : de oppervlakte van een halve bol : de oplossing is te herleiden tot zodat voor π = 3.16049 probleem 19 : voeg 4 bij anderhalf maal een hoeveelheid om 10 te bekomen de onbekende wordt aha genoemd probleem 14 : het volume van een afgeknotte vierkante piramide, probleem 14 : het volume van een afgenotte vierkante piramide

The Rhind Mathematical Papyrus ca. 1650 BCE papyrus rol van ca. 5 m lang * 33 cm breed in hiëratisch schrift daterend van 1650 BCE gekopieerd door de scribe Ahmes van een nu verdwenen ouder manuscript gevonden tijdens illegale opgravingen in Luxor in 1858 aangekocht door de Schotse archeoloog Alexander Henry Rhind het manuscript bevat o.a. een tabel van breuken en een reeks van 84 problemen

Oppervlakte van de cirkel Problemen 48 en 50 van de Rhind papyrus tonen hoe de Egyptenaren kwamen tot een degelijke benadering van de oppervlakte van de cirkel : [khet = lengtemaat, ca. 52.5 m ; 1 setjat = (1 khet)²] Probleem 48 van de Rhind papyrus : Zoek de oppervlakte van een achthoek ingeschreven in een vierkant met zijde van 9 khet. de ruwe schets van een achthoek binnen een vierkant bevat in demotisch schrift het cijfer 9 trisectie van de zijden met lengte d = 9 verdeelt elke zijde in 3 gelijke delen met lengte 3; een achthoek wordt binnen het vierkant beschreven de oppervlakte van de achthoek is . dus is de oppervlakte van de achthoek gelijk aan 63 setjat. Probleem 50 van de Rhind papyrus : Zoek de oppervlakte van een ronde akker met een diameter van 9 khet Ahmes stelt vast dat de oppervlakten van de cirkel en van de achthoek ong. gelijk zijn dat bovendien 63 en 64 weinig van elkaar verschillen zo, wordt zijn werkwijze : . verwijder 1/9 van de diameter, en vermenigvuldig dit met zichzelf. daarom is de oppervlakte gelijk aan 64 setjat . Benadering van π Vergelijken met de bekende formule voor de oppervlakte van de cirkel S=π.r², geeft, volgens de oplossing van probleem 48, als benadering π = 3,11111... geeft, volgens de oplossing van probleem 50, als benadering π = 3,16049... Waarom verkiest de scribe Ahmes de oplossing van probleem 50 als de beste benadering van de oppervlakte van de cirkel ?

Landmeten in Egypte  hoek (a,b) = 90° een muurschildering in de graftombe van Menna Menna (ca. 1350 BCE) was ‘Scribe van de Akkers van de Pharao’, de koninklijke landmeter zijn graftombe bevindt zich op de Westelijke Nijloever ter hoogte van Luxor Afbeelding van een muurschildering in de graftombe van pharao Ramses IX (gestorven 1106 BCE) in de Vallei van de Koningen in Luxor a = 3 b = 4 c = 5  hoek (a,b) = 90° de Egyptenaren kenden 1000 jaren voor Pythagoras de eigenschap dat een driehoek met zijden 3, 4, 5 rechthoekig was.

Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Egypte tiendelig, niet-positioneel, talstelsel nadruk op het praktisch rekenen, via specifieke numerieke oefeningen meestal wordt de ‘regula falsi’ methode gebruikt nooit worden algemene procedures vermeld ontwikkeling sterk geremd door het exclusief gebruik van stambreuken de Egyptische meetkunde bleef intuïtief en beperkt tot toepassingen in de bouwkunde en de landmeetkunde vertoonde nooit een deductieve structuur relatief weinig oorspronkelijke documenten zijn bewaard gebeleven (papyrus)

Wiskunde in Mesopotamië Standaard van de stad Ur, oorlog en vrede (ca. 2900 BCE)

Kaart van Mesopotamië

Mesopotamië - tijdslijn Alexander de Grote verovert Mesopotamië Darius I Ontstaan van Babylonië Sargon verovert Mesopotamië Halfgod Gilgamesh, heerser van Uruk

Rots van Behistun – Inscripties van Darius I ca. 500 BCE

Rots van Behistun – Inscripties van Darius I ca. 500 BCE beschrijving van de overwinningen van de Perzische koning Darius I (ca. 550 BCE – 486 BCE) met tekst in het Oud-Perzisch, het Elamitisch en het Babylonisch in 1835 herontdekt door Sir Henry Rawlinson (1840 – 1895), leidde tot de ontcijfering van de oude Mesopotamische teksten werd hierbij sterk geholpen door het werk van de Duitser Georg Grotefend (1775 – 1853) 1. Elamite 30 m 2. Elamite 45 m

Cuneïform schrift ca. 4000 BCE – ca. 100 BCE spijkerschrift verkregen door het drukken van een stylus in kleitabletten na het bakken van de tablet, in de oven of in de zon, ontstaan goed bewaarde tabletten gebruikt tussen het 4e millenium tot de laatste eeuw BCE bestaat uit ca. 600 tekens, zowel logograms als lettertekens tijdens de laatste periode worden enkel nog 36 alfabetische tekens gebruikt oorspronkelijk geschreven van boven naar beneden, later van links naar rechts Evolutie van het cuneiform schrift

Cuneiform cijferschrift 60-delig Voorbeeld : in het oorspronkelijk cuneiform cijferschrift werd een opening gelaten om het ontbreken van een positie voor te stellen : dit leidde tot veel verwarring. Omstreeks 300 BCE werd hiervoor een symbool ingevoerd omzetting naar decimaal stelsel : oorspronkelijk, ofwel 64, ofwel 3604 met het nieuwe symbool, ondubbelzinnig 3604 dit symbool was echter geen echte nul want werd niet gebruikt op het einde van een getal.

Vermenigvuldigen en delen 1 11 2,1 21 7,21 31 16,1 41 28,1 2 4 12 2,24 22 8,4 32 17,4 42 29,24 3 9 13 2,49 23 8,49 33 18,9 43 30,49 16 14 3,16 24 9,36 34 19,16 44 32,16 5 25 15 3,45 10,25 35 20,25 45 33,45 6 36 4,16 26 11,16 21,36 46 35,16 7 49 17 4,49 27 12,9 37 22,49 47 36,49 8 1,4 18 5,24 28 13,4 38 24,4 48 38,24 1,21 19 6,1 29 14,1 39 25,21 40,1 10 1,40 20 6,40 30 15,0 40 26,40 50 41,40 Produkt van twee getallen a en b Babyloniërs kenden de identiteit kleitabletten met tafels voor kwadraten waren beschikbaar Voorbeeld : omzetting naar decimaal stelsel : Quotiënt van twee getallen a en b Babyloniërs herleidden het quotient van twee getallen tot een produkt met het omgekeerde van de deler ; kleitabletten met tafels voor de omgekeerden waren beschikbaar

Rekenkunde in kleitablet MS 2317 ca 1850 BCE kleitablet, 2.9 cm * 2.9 cm * 1.4 cm naar een eerdere versie uit Ur : verdeel een kudde schapen (1, 1, 1, 1) tussen een bepaald aantal (13) herders de tablet bevat drie regels : naar decimaal Inderdaad :

Grote getallen 13 22 50 54 59 09 29 17 26 43 31 51 58 06 40 kleitablet, ca. 19e eeuw BCE, 4.5 cm * 11.7 cm * 2.8 cm bevat een 2 rijen lang 15-tallig cuneiform getal (de tweede rij loopt verder op de achterkant van de tablet) 13, 22, 50, 54, 59, 09, 29, 58, 26, 43, 17, 31, 51, 06, 40 omgezet in decimaal stelsel : 104 857 600 000 000 000 000 000 000 =

-benadering in kleitablet YBC 7289 1800 à 1600 BCE Kleitablet, ca. 8 cm * 8 cm, uit de periode 1800 BCE – 1600 BCE (diagonaal) ² = 2 (zijde) ² => = diagonaal / zijde vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42 ; 25 , 35 vergelijk met Babylonisch cuneiform talstelsel Omzetting naar decimaal stelsel

De kwadratische vergelijking Babyloniërs gaan uit van de vorm beschouwen steeds meetkundige figuren : x² betekent de oppervlakte van een vierkant bx betekent de oppervlakte van een rechthoek a betekent een lengte aanvaarden het feit dat een oppervlakte gelijk is aan een lengte negeren negatieve grootheden gebruiken de methode van ‘het vervolledigen van een vierkant’

Pythagorische drietallen Een geordend drietal (a, b, c) is een Pythagorisch drietal, als en slechts als en Indien a, b en c geen deler gemeen hebben wordt het drietal primitief genoemd; Pythagorische drietallen waren in Egypte en Babylonië bekend, meer dan duizend jaar voor Pythagoras’ tijd. (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65) (17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221) (23,264,265) (24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28,45,53) (28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65) (33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685) Indien , dan is een Pythagorisch drietal.

Kleitablet Plimpton 322 ca. 1800 BCE a c 19 cm 13 cm a c kleitablet, ca. 19 cm * 13 cm * 2 cm een deel ontbreekt aan de linkerzijde in 1922 gekocht door G.E. Plimpton van archeoloog E.J. Banks door Plimpton in 1935 geschonken aan de University of Columbia vermoedelijk afkomstig uit Larsa (Zuid-Irak) dateert uit ca. 1800 BCE . onderzocht vanaf 1945 door O.E. Neugebauer, E. Robson en C. Proust lijst van Pythagorïsche drietallen (a,b,c)

Reconstructie van de originele Plimpton 322 tablet Volgens Abdulrahman A. Abdulaziz University of Balamand – Libanon (Middle East) In The Plimpton 322 tablet and the Babylonian Method of generating Pythagorean Triples (31/03/2010) (kolom w, kolom l, kolom d)

Kenmerken van het wiskundig denken in Mesopotamië zestigdelig, positioneel, talstelsel genoteerd op kleitabletten, vooral uit de periode 1800 – 1600 BCE tabletten met tabellen, vooral rekenkundig : produkten, omgekeerden, kwadraten en vierkantswortels tabletten met oefeningen leverden geen algemene procedures, maar steeds numerieke toepassingen veel oorspronkelijke tabletten zijn bewaard gebleven

Wiskunde in het Oude China Liubo – oud chinees bordspel

Kaart van China

China - tijdslijn Uitvinding van het papier door Cai Lun Eerste officiële Chinese geschiedschrijving door Szu-ma Ch’ien Jiuzhang suanshu – Nine chapters Boekverbranding Hoofdstad verplaatst naar Ch’ang-An Laatste Chou heerser vermoord Mausoleum met terracotta strijders Bouw Chinese muur Confucius en Sun Tzu ‘The Art of War’ Verdeeldheid tussen13 kleine oorlogvoerende staten Relatieve politieke eenheid in Noord-China Eerste tekens van het Chinese schrift Luoyang werd hoofdstad

Chinese decimaal talstelsel vanaf ca. 1500 BCE ontdekt in 1899 door archeologische expeditie in Xiao , prov. Henan vroeger naam Yuzhou, bakermat van de Chinese beschaving historische hoofdplaats tijdens de Handynastie inscripties op beenderen en schildpadschalen vanaf de 14e eeuw BCE decimaal stelsel, met additieve en multiplicatieve eigenschappen vermits het geen positioneel stelsel was, was de 0 niet nodig over de eeuwen heen, werd de vorm van de tekens weinig veranderd in 718 werd door Gauthama Siddha het teken 0 voor ‘nul’ ingevoerd 4359 5080 8873

De Ch’in dynastie 221 BCE – 207 BCE eerste keizer Ch’in Shiuang, die regeerde over een verenigd China, van 221 tot 210 BCE zijn kanselier Li Si verstevigde de macht van het totalitaire centrale gezag realiseerde groeiende handel, productievere landbouw en militaire veiligheid tweedracht en verraad onder zijn zoon Ch’in Er Si, leidde tot de opkomst van de Han dynastie tijdens de Ch’in dynastie werd begonnen met de bouw van de Chinese muur het Mausoleum van de keizer wordt bewaakt door het ‘Terracotta-leger’ , ontdekt in 1974 8000 strijders, 520 trekpaarden voor 120 koetsen, 150 rijpaarden om de eenheid van China te bevorderen besliste het totalitaire regime alle sporen van het verleden uit te wissen : daarom werd in 213 BCE beslist tot een totale boekverbranding enkel werken over landbouw, geneeskunde en toekomstvoorspelling bleven gespaard 460 geleerden, die weigerden mee te werken, werden levend begraven geen documenten beschikbaar uit vroegere periodes !

Oud-Chinees rod-stelsel, gebruikt op het rekenbord vanaf 4e eeuw BCE voor eenheden, voor honderdtallen, voor tienduizendtallen, algemeen voor 102n –tallen ( ) voor tientallen, voor duizendtallen, voor honderduizendtallen, algemeen voor 102n+1 –tallen ( ) 1234 45698 60390 en 75169 en 706528 positieve en negatieve getallen decimale getallen 寸 寸 7,5169 706,528

Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Path of Heaven Zhou Bi Suan-jing compilatie van de mathematische kennis uit het verleden dateert van ca. 200 BCE (na de boekverbranding) werd later (van 200 tot 1270) uitgebreid met commentaren en aanvullingen behandelt 246 problemen onder de vorm van gesprekken tussen de graaf van Zhou en zijn astroloog Shang Gao bevat o.a. een der vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras schets bij het bewijs van de stelling van Pythagoras De groene driehoek ABC is een rechthoekige driehoek, ^C = 90 , dus met c als schuine zijde De 4 groene driehoeken zijn congruent (ZHZ) De rode vierhoek is een vierkant met zijde c Er geldt opp. rode vierkant = c² (1) Maar ook opp. rode vierkant = opp. gele vierkant vierkant + 4 * opp. rode driehoek = (b-a)² + 4 * ½ ab (2) Dus (1) = (2)  c² = (b-a)² + 4 * ½ ab = a² - 2ab + b² + 2ab = a² + b² a A b C c a B b-a b-a In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde b

Nine Chapters on the Mathematical Art Jiuzhang Suanshu samengesteld door verscheidene wijzen tussen de 10e en de 2e eeuw BCE beperkt tot het geven van procedures voor het oplossen van de problemen compilatie door Dhang Gang (2e eeuw BCE) en Geng Shouchang (1e eeuw BCE) de titel van het boek werd voor het eerst vermeld in 179 CE positieve en negatieve getallen werden in dit werk voor het eerst ingevoerd ook aandacht voor het ‘magisch vierkant’ in 263 CE publiceerde Liu Hui een versie van de Jiuzhang Suanshu met analyses en commentaar deze versie is bewaard gebleven verscheen als gedrukt leerboek in 1084 (eerste gedrukt wiskunde boek) Liu Hui ca. 220 – ca. 280 De Jiuzhan Suanshu behandelt in 9 hoofdstukken 246 problemen van praktische aard : 38 problemen : landmeetkunde , de 4 hoofdbewerkingen ; grootste gemene deler ; oppervlakte van driehoeken, rechthoeken, trapezia en cirkels ; benadering van π (probleem 32) 46 problemen : ruilhandel ; overdracht van goederen 20 problemen : recht en omgekeerd evenredige verdeling 24 problemen : afmetingen van akkers ; vierkants- en kubiekswortels ; de cirkel en de bol, oppervlakte en inhoud 28 problemen : burgerlijke bouwkunde : constructie van kanalen, dijken ; Inhouden van prisma’s, viervlakken, sectoren, cilinders, piramides, afgeknotte piramides 28 problemen : distributie van goederen, evenredigheden, 20 problemen : de ‘regula falsi’ 18 problemen : stelsels van lineaire vergelijkingen (tot 6x6-stelsels), matrixrekenen, ook met negatieve getallen 24 problemen : rechthoekige driehoeken, Pythagorische drietallen, kwadratische vergelijkingen, gelijkvormige driehoeken Titelbladzijde van de Jiuzhang Suanshu

Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude China tiendelig, niet-positoneel, talstelsel wiskunde diende vooral tot ondersteuning van de astronomie hoge nauwkeurigheid was vereist in het opmaken van de kalender en het voorspellen van astronomische fenomenen focus op het geven van procedures voor het oplossen van toepassingen meestal ontbreken deductieve bewijsvoeringen

Wiskunde in het Oude Indië Mohenjo Daro (26e eeuw BCE – 18e eeuw BCE) herontdekt in 1920, in huidig Pakistan

Kaart van het Indus-riviervallei gebied

Vroeg-Indische beschaving Vedas en Sulbasutras de eerste belangrijke beschaving, de Harappa-beschaving, beleefde haar bloeitijd van 2600 BCE tot 1900 BCE er werd geleefd in strak geplande en degelijk georganiseerde stedelijke gebieden vanaf de 15e eeuw BCE migreerde een Arisch nomadenvolk, vanuit het Noord-Westen naar de Indus riviervallei in deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in sociale klassen de leiding berustte bij een bevoorrechte priesterklasse, de Brahmanen Vedas tijdens hun religieuze ceremonies werden teksten, de Vedas (15e eeuw BCE - 5e eeuw BCE), gezongen de oudste Veda was de Rig Veda (uit het Sanskriet : lof+kennis), ontstaan tussen 1500 BCE en 1200 BCE bevat hymnes in versvorm over het ontstaan van de wereld, lofzangen aan de goden en gebeden gebundeld in 10 boeken, de mandalas werden mondeling overgeleverd en slechts voor het eerst genoteerd ca. 300 BCE oudst bewaard manuscript dateert uit 1464 Sulbasutras zijn aanvullingen aan de Vedas, met instructies voor het bouwen van ‘citis’, de ceremoniële altaren volgens hun geloof, waren de religieuze ceremonies slechts succesvol, indien de altaren zeer precies gebouwd waren Sulbasutres werden o.a. samengesteld door Baudayana (ca. 800 BCE) Apastamba (ca. 600 BCE) zijn de enige bron van onze kennis van de vroegste Indische wiskunde Baudayana Apastamba

Vedic citis In de Sulbasutras werd de bouw van de ceremoniële altaren, de citis, nauwkeurig beschreven : Garhaptya citi Elke laag bevat 21 stenen Links : oneven lagen (12 type 1, 9 type 2) Rechts : even lagen (16 type 1, 5 type 3) Rathacakra citi Elke laag bevat 200 stenen Links : oneven lagen Rechts : even lagen Syena citi Elke laag bevat 200 stenen Links : lagen 1, 3 en 5 Rechts : lagen 2 en 4

De Meetkunde van de Sulbasutras Constructie van een vierkant met gegeven zijde Constructie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van twee ongelijke vierkanten

De Meetkunde van de Sulbasutras Construtie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van een gegeven rechthoek AE = AD EG = GB EB’ = EL

De Meetkunde van de Sulbasutras Uit Baudayana’s Sulbasutra (tussen 800 en 600 BCE) Vers 1.9 : De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant met dubbele oppervlakte Vers 1.12 : De som van de oppervlakten van de vierkanten van de lengte en de breedte van een rechthoek geeft de oppervlakte van het vierkant van de diagonaal (van de rechthoek) Vers 2.12 : Vermeerder de zijde met een derde en dit derde opnieuw met een vierde verminderd met een vierendertigste van dit vierde ; dit is de waarde van de diagonaal van het vierkant De diagonaal d van een vierkant met zijde a is (in modene notatie) : Vergelijk met

Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Indië tiendelig, positioneel, talstelsel geschreven in het Sanskriet met nadruk op het ‘rekenen’ meetkunde (in de Sulbasutras) ten dienste van de bouw van altaren voor de godsdienst deductieve bewijsvoeringen ontbreken

Beschavingen van de vier Riviervalleien Conclusie Het wiskundig denken in de Beschavingen van de vier Riviervalleien de ontwikkeling van de beschavingen in de vier riviervalleien begon in het 4e millenium BCE wiskundig denken ontstond als gevolg van de noden van de landbouw : de studie van de beweging van zon, maan en planeten leidde tot het berekenen van de kalender (seizoenen) opmeten van landerijen werd nodig om eigendommen te verdelen meten van hoeveelheden werd noodzakelijk om handel te drijven de wiskunde in de vier beschavingen kennen meerderegemeenschappelijke elementen in de diverse talstelsels ontbreekt de 0 redeneringen gebaseerd op specifieke voorbeelden, algemene methodes ontbreken benaderingen voor constanten waren voldoende voor het praktisch gebruik onderlinge beinvloeding kan niet worden uitgesloten

Informatiebronnen Algemeen Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998 A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011 The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011 An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006 History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958 Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009 The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011 The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008 Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andresws Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik - 1965 A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987 A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921 Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006 Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984, Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 - 2008

‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid, schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd, onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing, nederigheid en dankbaarheid als individu. Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn bekwaamheden verruimen.’ George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956) ‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many generations have built up that magnificent monument, the object of our most legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as individuals. The study of the history of mathematics will not make better mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts, and bring out their finer qualities.’