CROP normaalverdeling Indeling normaalverdeling Inleiding kansrekening Kansrekening bij detectie van kosmische stralen Van hieruit kun je elk van de drie onderdelen bereiken. Aan het eind kun je weer terug naar dit startscherm (indeling).

Geiger-Müller tellers tikken onregelmatig als je ze bij een bron houdt CROP Je hebt gemerkt dat gemeten waarden nogal eens fluctueren Geiger-Müller tellers tikken onregelmatig als je ze bij een bron houdt De aantallen die je meet bij een enkele HISPARC-detector Meetwaarden zijn niet absoluut.

Kosmische straling vormt een constante achtergrond die de aarde CROP Kosmische straling vormt een constante achtergrond die de aarde gelijkmatig treft vanuit alle richtingen Gemeten waarden zijn NIET echt CONSTANT Lange termijn gemiddelden geven de werkelijkheid redelijk goed weer

CROP Uit metingen BLIJKT dat de gemeten waarde afhangt van: Tijdstip van de dag Hemelrichting Weersomstandigheden Waarom? Van de weersinvloeden is beken dat ze het gemiddelde beïnvloeden. Het blijkt vooral af te hangen van de luchtdruk (= hoeveel moleculen een muon “tegenkomt”). Dit is overigens een prima onderwerp voor onderzoek door leerlingen. Al deze invloeden kun je meten. Je kunt er zelfs correcties voor bepalen. Maar: je meting zal meestal niet het echte gemiddelde opleveren! Gelukkig kom je met goede metingen dichtbij het echte gemiddelde.

Je zet een experiment op om een bepaald verschijnsel te onderzoeken CROP Inleiding Je zet een experiment op om een bepaald verschijnsel te onderzoeken …en je laat het experiment een bepaalde tijd lopen.… Maar je meet niets: Je telt NUL tikken. Wat betekent dat? Intro (on)nauwkeurigheid. Stel dat je in een meting van een uur één treffer (=gebeurtenis) waarneemt Kun je dan concluderen dat dit verschijnsel een tempo heeft van een 1/uur?

CROP Eerst even afspreken: Random gebeurtenissen: zijn onafhankelijk van elkaar worden niet beïnvloed door voorgaande gebeurtenissen zijn niet te voorspellen 0 sec tijd Afspraak over random. Nadenken over de keuze van het interval. Als het aantal treffers op 1 uitkomt kan dit het resultaat zijn van het toevallig vastleggen van een zeldzaam optredend verschijnsel dat beter weer-gegeven kan worden door een veel lager tempo (~0?). Of de looptijd van de meting kan de gebeurtenis net gemist hebben(net te laat gestart of te vroeg beëindigd).

1 ± 1 2 ± 1? ± 2? 37 ± minstens een paar? 1000 ± ? CROP Een meting van 1 zou in werkelijkheid een gemiddelde kunnen zijn van 0 of misschien zelfs 2? 1 ± 1 Een meting van 2 We werken toe naar een antwoord op deze laatste vraag. 2 ± 1? ± 2? Een meting van 37 37 ± minstens een paar? Een meting van 1000 1000 ± ?

Dit histogram laat, minuut na minuut, CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur Eigen voorbeeld? Dit histogram laat, minuut na minuut, 2-voudige coincidencies zien tussen 2 gestapelde CROP detectoren  

In werkelijkheid zijn dit lichte fluctuaties CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur 657 562 500 Opmerkingen over presentaties. Merk op dat de 0 “onderdrukt” is! (de vertikale as begint bij 500, niet bij 0)  In werkelijkheid zijn dit lichte fluctuaties rondom een gemiddelde van ruim 600.  Laagste waarde 562 Hoogste waarde 657 De meeste metingen liggen dichtbij het gemiddelde van 609.5 tikken/minuut

Geen plotselinge pieken van 800; geen terugval tot 400. CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur idem Geen plotselinge pieken van 800; geen terugval tot 400.  Zijn dit goede data?  Hoe kunnen we vaststellen of dit goede metingen zijn of dat de verschillen te groot zijn?

? De standaarddeviatie is een berekening CROP Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie ) De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde .  Afspraak standaarddeviatie. Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg 0 zijn.   ?

De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere CROP Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie ) De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde .  Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg 0 zijn.  

Hartslag gedurende 100 dagen CROP Mijn hartslag bij het ontbijt gedurende 100 dagen 61 64 67 70 70 71 75 72 72 69 68 70 65 67 62 59 62 66 66 68 68 73 71 72 73 71 71 68 69 68 69 65 63 70 70 76 71 72 74 60 56 74 75 79 72 72 69 68 68 68 62 66 66 66 61 77 75 74 63 72 63 62 65 65 66 65 67 67 65 67 68 62 67 60 68 65 70 70 69 70 68 73 64 71 71 68 70 69 73 72 70 69 67 64 67 58 66 69 76 73 Frequentietabel van de verdeling van de hartslag 56 1 57 0 58 1 59 1 60 2 61 2 62 5 63 3 64 3 65 7 66 7 67 8 68 12 69 8 70 10 71 7 72 8 73 5 74 3 75 3 76 2 77 1 78 0 79 1 Hartslag gedurende 100 dagen Eindexamenresultaten?

Hartslag gedurende 100 dagen CROP Hartslag gedurende 100 dagen Overzicht termen. Spreiding = xmax-xmin = 23 gemiddelde= =67.20 Modus = 68 (=meest voorkomend) Mediaan = 68.52 (=middelste waarneming)

De spreiding kan misleidend zijn als de metingen buitensporige CROP Het gemiddelde alleen laat ons niet zien hoe dicht op elkaar gepakt de data zijn. Spreiding. De spreiding kan misleidend zijn als de metingen buitensporige gegevens bevatten:

CROP spreiding kan misleidend zijn. spreiding

s = σ (xi – m)2 N gemiddelde, m CROP σ beschrijft de spreiding in de metingen op een andere manier: door een berekening van hoe groot de gemiddelde afstand van een meetpunt is tot het gemiddelde N (xi – m)2 N s = i=1 Het gemiddelde mu, is feitelijk de echte waarde van het te meten verschijnsel. Wanneer we een steekproef nemen heet het gemiddelde daarvan xstreep gemiddelde, m

Hartslag gedurende 100 dagen CROP Hartslag gedurende 100 dagen Formule aanpassen Spreiding = xmax-xmin = 23 gemiddelde = =67.20 standaardafwijking s = 4.357= (xi – m)2 N

De nieuwe lijnen geven de afstand aan van een CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur De echte waarde van de standaarddeviatie heet sigma; de berekende waarde (uit de steekproef) heet sd De nieuwe lijnen geven de afstand aan van een en twee keer de standaarddeviatie onder en boven het gemiddelde Voor deze gegevens gaf Excel een SD van 20.  Dus staan de lijnen op: 609.5 ± 20.0 = 589.5   and  609.5 ± 40.0 = 569.5 629.5 649.5

De meeste meetwaarden blijken binnen CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur 1, 2 en 3 sigma. De meeste meetwaarden blijken binnen ±1 SD van het gemiddelde te liggen.  Een paar meetwaarden vallen binnen 1 à 2 SD.  Een gering aantal (hier 5) ligt op meer dan 2 SD van het gemiddelde.  Hier zijn er geen meetpunten op meer dan 3 SD.  de SD beschrijft hoe dicht op elkaar gepakt de meetwaarden rond het gemiddelde zijn, en geeft een grens aan over hoe ver ze mogen spreiden.

Frequentieverdeling van 2-voudige coïncidenties CROP Tempo (aantallen per minuut) Frequentieverdeling: hoe vaak komt iedere meting voor. Frequentieverdeling van 2-voudige coïncidenties frequentie, opgenomen in intervallen van een minuut gedurende een periode van 1 week (zelfde opstelling) Metingen gegroepeerd rondom het gemiddelde(615).  Nul onderdrukt; weinig data onder 550 (of boven 680). *Verticale lijnen op ±1, 2, 3 SD van het gemiddelde.  *Je ziet dat de meeste metingen binnen ±1 SD van het gemiddelde liggen. *Heel af en toe worden er metingen gevonden met  >3 SD van het gemiddelde.

CROP In de wiskunde heeft deze kromme een naam: Gausskromme Gausskromme:

µ- en µ+ bevat 68% Karakteristiek voor deze vorm: het stuk tussen CROP Karakteristiek voor deze vorm: het stuk tussen µ- en µ+ bevat 68% Van het totale oppervlak onder de curve. Met andere woorden: 68% van de metingen valt binnen ±1 SD van het gemiddelde. 95% van de metingen binnen ±2 SD 99.7% van de metingen binnen ±3 SD

Omgekeerd kunnen we ook zeggen: CROP We hebben nu een aardig idee over hoe metingen verspreid kunnen liggen rondom een gemiddelde. Omgekeerd kunnen we ook zeggen: Als we een meting doen dan zal deze in 68% van de gevallen op minder dan een SD van het gemiddelde af liggen. Maar we weten nog steeds niet nauwkeurig hoe groot dit gemiddelde werkelijk is! Je ziet dus dat een goede meting wel erg dicht bij de echte waarde kan zitten maar nooit helemaal perfect zal zijn. (Zelfs als dat zo is weten we dat niet met zekerheid.) Daarom geven we in de kansrekening een verschil aan tussen de echte waarden en de gemeten waarden.

het aantal jongeren in Nijmegen van 12 tot 18 jaar is 14.987. CROP Voorbeeld: het aantal jongeren in Nijmegen van 12 tot 18 jaar is 14.987. *Gemiddelde lengte = 1.680 m (=µ) *Gem. afwijking: 5,3 cm (= ) Steekproef: alle leerlingen van onze school: (1412) Gemiddelde 1.685 m (= x) Gem. afw: 6,1 cm (=SD) Je snapt dat hoe groter de steekproef is hoe beter je bij het echte gemiddelde uitkomt.

CROP Deze voorgaande beschrijving gaat op voor alle onafhankelijke gebeurtenissen. Dit zijn zowel allerlei soorten metingen als spellen met een dobbelsteen. Bij een grafische voorstelling van de uitkomsten ontstaat dan de bekende Gausskromme. Soms is het gemiddelde (m) niet eens bekend, zoals bij onze opstelling voor het meten van kosmische straling. Toch kun je dan met een beperkt aantal metingen een redelijke schatting maken van wat het gemiddelde moet zijn en hoe groot de spreiding daarin is. Het zal je nu wel duidelijk zijn dat één meting geen bruikbaar gemiddelde oplevert. Terug naar Indeling