Maak je eigen problemen Truus Dekker Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht www.fi.uu.nl T.Dekker@fi.uu.nl Samenvatting Lesgeven en toetsen beïnvloeden elkaar wederzijds. Opvattingen over het vak zijn van invloed op opvattingen over toetsen. Toetsen is meer dan (schriftelijke) vragen stellen in een proefwerk of overhoring. De toetspiramide kan een hulpmiddel zijn voor het maken van een evenwichtige toets. Maak een toetsplan! Niet alles hoeft/kan in een keer, begin simpel en spreek bijvoorbeeld af telkens een vraagstuk in een gemeenschappelijke toets te gaan verbeteren. Redeneren kan iedereen (dat is: alle leerlingen van vmbo tot en met vwo) maar het gaat niet vanzelf, je moet daar les in geven net zoals docenten leerlingen nu leren hoe ze meerkeuzevragen moeten beantwoorden.

Wanneer staat een ladder veilig? Arbo-eisen: De ladder moet voor gebruik worden gecontroleerd op beschadigingen en deugdelijkheid Houten ladders mogen niet worden geschilderd De ladder moet worden opgesteld onder een helling van 1 : 3 of 1 : 4 (overeenkomen met een hoek van ongeveer 75 graden) Mijn vader zegt… Als je met de punt van je schoen tegen de onderkant van de ladder gaat staan en met je arm uitgestrekt een sport kunt vastpakken staat ie veilig. Geldt die regel voor volwassenen en kinderen? Meet hoogte onder je arm tot de vloer en lengte van je arm tot je vuist en bereken de verhouding hoogte/lengte. Wat heeft dat met die Arbo-regel te maken? In een ouder veiligheidsvoorschrift (gevonden op een website) stond dat de hoek 71,6 graden moet zijn. Je commentaar? Vraag: Kan deze opgave door leerlingen met een verschillende achtergrond gemaakt worden? Wat zeggen de antwoorden van de leerlingen? Welke informatie heb je als docent nodig?

Een voorbeeld uit de ICT-leerroute van een thematische opdracht Een voorbeeld uit de ICT-leerroute van een thematische opdracht. Daarin een centrale vraag, een aantal onderzoekjes en een stuk leerstof (wiskundige achtergrond). Hierin zou een diagnostische toets passen naar de (wiskundige) basiskennis, het eindverslag zou de “toets” kunnen zijn.

Het begint met een toetsplan Verschillende toetsvormen verdeeld over het jaar Presentatie van eigen onderzoek Klassendiscussie Overleg met collega’s Leerlingen moeten laten zien wat ze kunnnen en kennen. Dat kan niet altijd via een schriftelijke toets die binnen een lesuur wordt gemaakt. Kies daarom aan het begin van het jaar bij welk(e) hoofdstuk(ken) andere toetsvormen passen, zoals het uitvoeren van eigen onderzoek.Timmer het pta niet helemaal dicht maar houdt mogelijkheden open. Bedenk dat je het uitvoeren van een praktische opdracht moet leren en liefst niet pas in de bovenbouw. Mondeling toetsen, een presentatie geven, deelnemen aan een klassendiscussie is ook toetsen! Zorg voor voldoende variatie in toetsvormen.

Wat is het doel van je wiskunde onderwijs? Een kritisch en verantwoordelijk lid van de maatschappij worden(wiskundige geletterdheid, gecijferdheid) Voorbereiden op beroep en/of vervolgstudie Wiskunde als vak waarderen en begrijpen Impliciet is altijd het achterliggende doel: Leerlingen moeten goede examenresultaten hebben voor het vak wiskunde. Dat is geen slecht doel maar het is niet het enige doel.

Wat is belangrijk voor mijn leerlingen? Standaardprocedures goed uitvoeren? De wiskunde toepassen bij het oplossen van problemen? Wiskunde gebruiken als ondersteuning bij andere vakken? Goede examenresultaten behalen? Begrijpen is belangrijk. Dat geldt voor de les maar ook voor de toetsen. Overigens, met toetsen worden niet alleen proefwerken en projecten bedoeld maar alle manieren waarop een docent nagaat of zijn of haar onderwijs resultaat gehad heeft. Het gaat dus ook over discussies in de klas of het zelf onderzoek doen. Opmerking: Docenten op een bepaalde school spraken af dat 90% van de opgaven van een toets rechtstreeks uit het boek zou moeten komen, met eventueel andere getallen. Kun je op die manier toetsen of leerlingen de wiskunde die ze geleerd hebben kunnen gebruiken bij het oplossen van nieuwe en onbekende problemen? Je visie op het onderwijs en je visie op toetsen hangen samen.

De toetspiramide De Lange, 1999 Een model dat gemaakt is door het FI voor het samenstellen van een evenwichtige toets. De dimensie makkelijk – moeilijk wordt door sommige docenten vervangen door informeel – formeel. In een evenwichtige toets is de verhouding van de niveaus ongeveer: Niveau I : Niveau II : Niveau III = 3 : 2 : 1 Een moeilijke, ingewikkelde vraag is niet automatisch van een hoger niveau! De Lange, 1999

De toetspiramide (2) Niveau I: Reproductie; definities, feiten, standaard procedures… Niveau II: Verbindingen leggen; informatie combineren, je eigen (wiskundig) gereedschap kiezen… Niveau III: Modellen maken, gebruiken en bekritiseren, redeneren, generaliseren, inzicht tonen, bewijzen Niveaus worden ook gebruikt (alleen anders genoemd) in de internationale studie PISA (Programme for International Student Assessment) van de OECD. Niveau I: Veel voorbeelden: Hoeveel zijvlakken heeft een kubus; hoe bereken je de limiet van een rij waarvan de formule een breuk is van veeltermen? Wat zijn de eigenschappen van een parallellogram? Niveau II: Informatie combineren vanuit verschillende bronnen; Past deze metalen staaf in de lift of moet ik de trap nemen? Pizzas uit PISA: Een pizzeria verkoopt ronde, even dikke pizzas, in twee maten. De kleinste heeft een diamter van 30 cm en kost 30 zeds. De grootste heeft een diameter van 40 cm en kost 40 zeds. Bij welke pizza krijg je meer waar voor je geld? Geef wiskundige redenen. Niveau III: Nils woont 2 km van school, Marja 3 km. Hoeveel km wonen ze bij elkaar vandaan? Bedenk: Niveau van de vraag hangt (ook) af van het onderwijs dat eraan voorafgegaan is. Wat voor de ene groep leerlingen een probleem op niveau II is, kan voor een andere groep die met soortgelijke problemen al geoefend heeft, niveau I zijn. Uiteindelijk kan alleen de docent bepalen wat het niveau is van een opgave voor zijn/haar groep leerlingen.

Een voorbeeld uit de PISA studie Hartslag = 220 – leeftijd Hartslag = 208 – (0,7 × leeftijd) Aanbevolen tijdens sporten: 80% van de maximale hartslag (Zie opgave op apart blad, eventueel uitdelen!) Een krantenartikel meldde: ‘Een gevolg van het gebruik van de nieuwe in plaats van de oude formule voor de aanbevolen maximale hartslag, heeft tot gevolg dat het aantal hartslagen per minuut voor jonge mensen licht afneemt en voor ouderen licht toeneemt.’ Vanaf welke leeftijd neemt de aanbevolen maximale hartslag toe als gevolg van het gebruik van de nieuwe formule? 2. Onderzoek laat zien dat fysieke training het meest effectief is als de hartslag 80% van de maximale aanbevolen hartslag is. Geef een formule om de meest effectieve hartslag te bepalen tijdens een training, uitgedrukt in leeftijd. Verzin een vraag die voor vmbo-leerlingen geschikt is. Voorbeeld bij formule 2. “Wie heeft een hogere maximale hartslag volgens deze formule, iemand uit jouw klas of een docent?” Welk niveau in de piramide? (Afhankelijk van de lessen die eraan vooraf gingen!!)

Hoeveel vierkantjes in het volgende patroon? 1 2 3 Nog een algebra-opgave uit PISA. Welk niveau? Volgens PISA hoort deze bij de competentie “Reproductie”. In Nederland was 75% goed. Het correcte antwoord 10 werd door 67% van de vmbo-leerlingen en 84% van de havo/vwo-leerlingen gegeven. Vraag: Hoort deze opgave bij “wiskundige geletterdheid’? Hoeveel vierkantjes in het volgende patroon?

Toon aan dat alle grafieken van door hetzelfde punt G gaan. Examen havo B1,2, jaar 2005, II. Onderdeel van een grotere opgave. Welk niveau? Bepaal niveau (in de piramide) van meegenomen opgaven.

Waar vind ik goede opgaven? Krant Goede opgave maken begint met het vinden van goede contexten. Maar wiskunde zelf is ook een context. Kijk in de krant. Maak foto’s van objecten in de omgeving van de school/woonplaats Gebruik reclamemateriaal Zoek op het internet

Tegels (2) Onderdeel van het ontwerp van Ivo van Hove: Een grote vierkante tegel en vier rechthoekige tegels.

Welke vragen stel je? Tegels (3) Er zijn verschillende mogelijkheden: Maak een tekening van de vierde figuur Maak een tabel en vind een formule voor het aantal grote tegels. (Of geef een aantal formules waaruit de goede gekozen moet worden) Welk aantal groeit sneller op den duur, de rechthoekige of de vierkante? Kan ik met precies 500 van die grote tegels een vierkant leggen? Is het aantal van die rechthoekige tegels altijd even? De formules B = n2, met B is aantal grote tegels en n het nummer van de figuur.   R = n(n – 1) + (n – 1)n , met B is aantal rechthoekige tegels en n het nummer van de figuur. Welke vragen stel je?

Winkelen…. Gebruikt voor een vmbo (mavo) examen. De dozen hebben de vorm van een prisma. De rechthoeken zijn 21 bij 3,5 centimeter. De driehoeken zijn gelijkzijdig. Voorbeelden van vragen: Reken na dat de oppervlakte van zo’n driehoek 5,3 vierkante centimeter is. Ellen vond voor de oppervlakte 5.304405598. Ze zegt: “Dat antwoord is goed want het staat in het venster van de rekenmachine.” Ben je het met Ellen eens dat 5,304405598 een beter antwoord is dan 5,3? Waarom of waarom niet?

Verzin zoveel mogelijk vragen. Hoeveel kleine doosjes passen er in een grote? Kun je dat aantal kleine doosjes ook op een andere manier verpakken?

Maak een (wiskundig) model Je kunt de kleine doosjes op twee manier verpakken,zie A en B. Van beide verpakkingen kun je een uitslag maken. Hoeveel vierkante centimeters is het verschil in oppervlakte? Leg uit.

Kijk naar wat anderen doen PISA-opgave. Boerderij in Noord Holland, het dak heeft de vorm van een piramide.

De vragen van PISA: De vloer van de zolder is een vierkant. Wat is de oppervlakte? E, F, G en H zijn de middens van de opstaande ribben. Alle ribben van de piramide zijn 12 meter. Hoe lang is EF? Mijn vraag: Als de bouwers van de boerderij het dak gaan maken, beginnen ze met KLMN.EFGH. “Opzetten van de kubus”, noemen ze dat. Is KLMN.EFGH eigenlijk wel een kubus? Andere vragen? Waar moeten E, F, G en H op de vloer komen zodat de opstaande ribben (de dakbalken) in een punt uitkomen?

Winkelen… Hoeveel theelichtjes per laag? Hoe kun je dat weten?

Maak je eigen opgave Voor welke klas, welk hoofdstuk? Zoek een goede context Verzin zoveel mogelijk vragen Maak een selectie Bespreek de opgave (de toets) met collega’s In een evenwichtige toets komen opgaven voor uit alle lagen van de piramide. Begin met de niveau III opgave(n), daarna niveau II en vul aan met niveau I vragen. Een contextopgave bestaat meestal uit meer dan een vraag, leerlingen moeten tijd krijgen om zich in te leven in de context. De eerste (introductie)vraag is dan meestal niveau I en de laatste vraag niveau III. Bespreek de opgave met collega’s. Fouten in formuleringen zie je zelf niet meer. Na afloop van de toets deze evalueren en meteen aanpassen van opgaven die niet goed bleken. Of minstens een notitie maken voor gebruik tijdens een ander schooljaar.

Begin met de niveau II en III opgaven Voeg niveau I vragen toe over onderdelen die je nog niet getoetst hebt. Schrijf te verwachten antwoorden op. Pas de oplossingen aan zodra je gezien hebt wat de leerlingen in deze klas deden. Bespreek verschillende oplossingsstrategieën met de leerlingen. Voor leerlingen is niet vanzelf duidelijk wat een “goed” antwoord is. Samenvatting van het vorgaande. Sommige leerlingen zijn altijd “kort door de bocht” in hun antwoorden terwijl anderen tijd verliezen omdat ze een veel te uitgebreid antwoord opschrijven. Laat leerlingen af en toe uitwerkingen van anderen becommentariëren en beoordelen om zo een beter gevoel te krijgen voor wat een “goed” antwoord is.

Welke is voordeliger? Globaal redeneren. 75 stuks voor 3 euro, dus ongeveer1 euro per 25. Vier keer 25 is 100, 110 stuks voor 4 euro. Dat is voordeliger dan 100 stuks voor 7 euro. Aangeven dat leerlingen wiskundige argumenten moeten gebruiken. Vanaf hier reservevoorbeelden!

Waarom zijn kubusvormige watermeloenen handiger Waarom zijn kubusvormige watermeloenen handiger? Gebruik wiskundige argumenten.

Neem een fototoestel mee. Nog een boerderij, nu een oudje. De voorgevel laat een interessant patroon zien.

Verzin een aantal vragen.

De strobundels. Knopen en strengen vormen groeiende patronen. Het patroon voor de bundels is t = n2 + n Het patroon van de knopen is lastiger, t = ½ n2 + ½ Pattern number 1 has two bundles of straw, they are not clearly visible in the photograph. Make a drawing of the fourth pattern.   How many bundles of straw are in the fourth pattern? Make a table, as shown below. Pattern number 10 should be included in your table: Pattern total # of Number bundles 1 2 2 6 3 ….. 4 ….. 5 ….. ….. ….. ….. Explain how each time you found the next total of bundles in your table. Jenny noticed the total number of bundles is always even. Explain why that will be the case for any pattern number. The teacher has written down a few formulas that might be describing the pattern. Which one is correct? Be careful: there may be more than one correct answer! a.      total of bundles = 2 x pattern number b.      total of bundles = 4 x pattern number - pattern number c.      total of bundles = pattern number x pattern number + pattern number d.      if t represents the total # of bundles and n represents the pattern number: t = n2 + 2n e.      if t represents the total # of bundles and n represents the pattern number: t = n2 + n f.       if t represents the total # of bundles and n represents the pattern number: t = n(n + 1)