WDA in de onderbouw Wiskundige Denkactiviteiten Heleen van der Ree (hoofdbureau@nvvw.nl) Piet Versnel (vrl@psg.nl)

Programma Introductie Zelf aan de slag (herontwerpen opgave uit boek) Wat zijn wiskundige denkactiviteiten Voorbeelden Zelf aan de slag (herontwerpen opgave uit boek) Aan elkaar presenteren en reacties Rol van de docent

Waarom WDA Doen -> beheersing van methoden Denken -> als de situatie afwijkt van de standaard of bij een onverwacht resultaat

Waarom WDA Enerzijds wordt de wiskunde gezien als een statisch en gestructureerd systeem, opgebouwd uit feiten, procedures en concepten. Een systeem dat kan worden gememoriseerd en gereproduceerd. Anderzijds wordt de kern van de wiskunde opgevat als een dynamisch proces, wiskunde als een menselijke activiteit, geïnspireerd door de manier waarop 'doers and users' wiskunde bedrijven (van Streun, 2015).

Vraag Waar denk je aan bij wiskundige denkactiviteit?

Citaat Marja Bos Natuurlijk kan ik na zoveel jaren ervaring al die sommetjes wel die de leerlingen moeten maken. Er zijn collega’s die daarom hun lessen niet meer voorbereiden. Wel gemakkelijk, maar op die manier bereik je natuurlijk geen diepgang. Mijn lesvoorbereiding is altijd een antwoord op mijn vraag: “Hoe kan ik ze over wiskunde aan het denken krijgen?” Het gaat om de waarom-vraag! En dus moeten ze leren redeneren, ook over simpele formules.

Citaat Marja Bos "Laat wiskunde niet verworden tot een schoolvak waarbij iedere leerling ‘in individuele zelfwerkzaamheid’ haastig de aangeboden rijen sommetjes afwerkt. Dat is niet alleen dodelijk saai, maar bovendien ineffectief!"

Opvatting docenten Waar denk je aan bij wiskundige denkactiviteit?

Voorbeeld

Voorbeeld

Grafische weergave

Over WDA WDA’s zijn niet moeilijk of ingewikkeld WDA’s zijn voor alle leerlingen WDA’s kunnen heel klein zijn WDA’s hoeven niet veel lestijd te kosten

Richtlijnen voor WDA’s WDA mag geen routine-opdracht zijn WDA moet (bij voorkeur) aansluiten bij het curriculum WDA mag niet te moeilijk zijn en moet door leerlingen kunnen worden opgelost WDA geeft ruimte, is niet teveel voor gestructureerd WDA heeft (bij voorkeur) meerdere oplossings- strategieën

Uitspraken over WDA Wiskundig denken is bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken. Bij WDA spelen zich voortdurend activiteiten af in het hoofd van de docent rondom de vraag hoe de leerlingen aan het denken te zetten. Hoe formuleer je de juiste vraag op het juiste moment? Hoe stel je een vraag die niet opgelost kan worden op dezelfde manier als voorgaande opgaven?

Verschijningsvormen WDA Van een vraagje aan een klas in een gewone les tot een opgave op een proefwerk of een groepsopdracht voor een cijfer. Afhankelijk van plaats en tijd Wat het ene moment voor een leerling een WDA is, is een jaar later voor diezelfde leerling een reproductie-vraag geworden. Wat in de ene klas een WDA is, is in een parallelklas een reproductievraag (omdat een dergelijke vraag al eens eerder in die klas aan de orde geweest is).

Voorbeelden Een natte spons weegt 1 kilogram. Dit gewicht bestaat voor 99% uit water. Knijp de spons zodanig uit dat het gewicht nog maar voor 98% uit water bestaat. Hoeveel gram weegt hij nu?

Voorbeelden Carlos doet veel aan bergwandelen. Hij begon de afgelopen zomervakantie ’s ochtends om 7 uur een berg in Zwitserland te beklimmen en bereikte ’s middags om 4 uur de top. Daar zette hij zijn tentje op en bleef er die nacht. De volgende morgen om 8 uur begon hij aan de afdaling. Precies dezelfde route volgend kwam hij ’s middags om 2 uur weer bij zijn vertrekpunt aan. Was er een punt op zijn route dat hij op beide dagen precies op hetzelfde tijdstip passeerde?

Voorbeelden Ga zonder rekenmachine na dat het volgende juist is: In formulevorm luidt de bovenstaande gelijkheid: Bepaal de getallen a en b waarvoor deze gelijkheid geldt.

Voorbeelden Bereken de oppervlakte van het rode, blauwe en groene huisje. Wat is de oppervlakte van het oranje huisje?

Opdracht Maak een opgave uit het boek waar je morgen of volgende week les uit gaat geven denkactiever OF Bedenk zelf een WDA aan de hand van een opgave of theorie uit het boek

Rol van de docent => VRAGEN STELLEN

Vragen stellen

Begrijpen verklaren, verhelderen, beschrijven, voorbeelden geven, toelichten, uitleggen, onderbouwen, aantonen Waarom ligt het punt (3, 6) niet op de lijn met vergelijking y = x + 2 ? Hoe zou je iemand uitleggen waarom 23 niet hetzelfde is als 2 x 3 ?

Analyseren vergelijken, selecteren, indelen, kenmerken bepalen, determineren, structureren, ontleden Wanneer je a laat variëren in y = ax + b, welk effect heeft dat dan op de grafiek? En welk effect heeft het wanneer je b laat variëren? Een leerling heeft bij een vergelijking van een lijn de volgende tabel gemaakt. Leg uit welk getal niet klopt.

Evalueren bekritiseren, testen, beoordelen, doorlichten Wanneer je een getal neemt en dat door een getal deelt, dan wordt de uitkomst altijd kleiner. Is deze uitspraak altijd waar of niet waar? Waarom? Leg uit?

Denkpauzes De lengte van de antwoorden neemt toe. Het zelfvertrouwen van de leerlingen neemt toe. Zwakkere leerlingen gaan meer bijdragen. Er is een grotere variëteit aan antwoorden. Discipline problemen nemen af. Het aantal creatieve antwoorden neemt toe.

Een reactie ontlokken Heeft iemand een oplossing die je met de klas wilt delen? Kun je hun oplossing uitleggen? Kun je aanwijzen welk deel lastig was?

Doorvragen Kun je daar iets meer over vertellen? Hoe kreeg je …? Laat eens één voor één je stappen zien. Waar ben je begonnen? Kun je dat nog anders zeggen/uitleggen? Wanneer je zegt …, bedoel je dan …? Kun je laten zien dat dat goed is?

Leerlingen laten luisteren en reageren op ideeën van anderen Kan iemand nog iets toevoegen aan wat … heeft gezegd? Wat denk je dat … daarmee bedoelt? Kun je (in eigen woorden) herhalen wat … heeft gezegd?

Leerlingen helpen verbanden te leggen Welke verschillen (overeenkomsten) zie je in de aanpak van … en van …? Zou je dit ook anders kunnen opschrijven? Waar lijkt dit op? Met welk ander onderwerp heeft dit te maken?

Leerlingen helpen bij reflectie en het wiskundig redeneren Zal dit altijd werken? Zijn nog meer antwoorden mogelijk? Welke? Wat zou er gebeuren als …?

Het denken uitbreiden en toetsen hoe ver je daarmee kunt gaan Kun je een andere manier bedenken om dit probleem op te lossen? Kun je deze aanpak ook gebruiken bij …? Wat zou er gebeuren als deze getallen veranderd worden in …?

Moedig leerlingen aan tot vragen stellen NIET: Zijn er nog vragen? Snapt iedereen dit? WEL: Heb je nog een vraag waarop je een antwoord wilt weten? Staan er nog vraagtekens in je schrift? Wat is de vraag? Geef mij een vraag!

Vijf principes Plan je vragen die leerlingen helpen bij het leggen van verbanden, reflectie en het wiskundig redeneren. Stel vragen zo, dat iedereen betrokken wordt. Geef denk-tijd. Moedig leerlingen aan tot het stellen van vragen. Ga op reacties van leerlingen in (op zo’n manier dat ze verder gaan met denken…), vraag door. Geef geen waardeoordeel.

De top-10!

Ontwerptips voor WDA’s Laat (bij een bestaande opgave) een aantal tussenvragen weg en stel alleen de eindvraag. Laat leerlingen bij een probleem zelf formuleren wat de vraag zou kunnen zijn. Draai de vraagrichting om (dus niet vanuit basis en hoogte naar oppervlakte, maar vanuit oppervlakte iets concluderen over basis of hoogte).

Tot slot Vragen? Bedankt voor jullie aandacht