9/18/2016 Snelle en robuuste oplosmethoden voor de waterkwaliteitsvergelijkingen Eindpresentatie als onderdeel van afstudeerwerk bij Deltares Adilson Morais

9/18/2016 Inleiding Deltares – Onafhankelijk toegepast kennisinstituut – Water, ondergrond en infrastructuur – Samenwerking met overheden, universiteiten – Gevestigd in Delft en Utrecht – Afdeling ZWS

9/18/2016 Inhoud Waterkwaliteitsmodel Probleembeschrijvingen Eindige Volume Methode Expliciete methoden Iteratieve FCT methoden Resultaten voor non-uniforme grid Conclusies Verder onderzoek

9/18/2016 Waterkwaliteitsmodel Waterkwaliteit bepaald door concentratie van stoffen In water vinden allerlei processen plaats Voorbeelden van stoffen in water - Algen - Bacteriën - Nutriënten (voedingsstoffen) - Zoutgehalte Voorbeelden van waterkwaliteitsprocessen - Sedimentatie - Absorptie - Groei en verval

9/18/2016 Waterkwaliteitsmodel Verandering in concentratie modelleren door - Transport van stoffen - Waterkwaliteitsprocessen (fysisch, chemisch, biologisch) op stoffen - Bronnen/Lozingen Advectie-diffusie-reactie vergelijking

9/18/2016

Probleembeschrijvingen Tijdsdiscretisatie T : tijdsschaal van proces : gevraagde nauwkeurigheid Expliciete schema's worden beperkt

9/18/2016 Probleembeschrijvingen Voordeel: weinig rekentijd Nadeel: kleine tijdstappen voor kleine gridcellen Aanpak: Impliciete schema's => grotere epsilon => grotere tijdstappen Doel Efficiënt + nauwkeurig oplossen van waterkwaliteitsvergelijkingen

9/18/2016 Eindige Volume Methode Continu model => discreet model Discretiseren van WQM m.b.v. EVM 1.Domein onderverdelen in disjuncte volume cellen V 2.Integratie toepassen per volume cel, waarbij toestandsvariabele en coëfficiënten uitgedrukt in gemiddeldes

9/18/2016 Eindige Volume Methode Afwijkingen voor concentratie en snelheid Dit resulteert met behulp van de Stelling van Gauss in

9/18/2016 Expliciete methoden Tijdens oplosprocedure levert advectie term problemen op i.v.m. steile gradiënten Bestuderen van 1D homogene advectie-vergelijking met periodieke randvoorwaarden Discretisatie van advectie vergelijking in tijd en ruimte geformuleerd in conservatieve vorm Met fluxapproximatie langs celrand

9/18/2016 Expliciete methoden Enkele fluxapproximaties Upwind voor u > 0 Lax-Wendroff

9/18/2016 Expliciete methoden Resultaten voor 1D voorbeeld Upwind Lax-Wendroff Voordelen: monotoon, positief Voordeel: geen diffusie Nadeel: diffusie Nadelen: oscillaties, negatieve waarden

9/18/2016 Expliciete methoden Betere approximatie voor de flux door combinatie van pluspunten Pluspunten combineren d.m.v. flux-limiter Flux-limiter methode gedefinieerd als Zoveel mogelijk hoge orde, waar nodig lage orde Hoe limiter te bepalen?

9/18/2016 Expliciete methoden Limiter bepalen d.m.v. Flux Corrected Transport (FCT) methode van Boris & Book. FCT algoritme geherformuleerd door Zalesak: 1.Eerste orde benadering bepalen voor 2.Fluxcorrectie (anti-diffusie) bepalen: 3.Bepalen van limiter met 4.Updaten van de oplossing Gewenste resultaat: monotone + minder diffusieve oplossing

9/18/2016 Expliciete methoden Resultaat met behulp van FCT methode

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Vanwege kleine gridcellen impliciet rekenen Voordeel: grotere tijdstappen toegestaan Nadeel: niet-lineaire vergelijkingen oplossen Belangrijke eigenschappen voor FCT methoden: 1. Behoud van positiviteit 2. Behoud van monotoniciteit Beide gegarandeerd voor impliciete methoden

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Tijdsdiscretisatie d.m.v. theta methode waarbij θ varieert per celrand Methode voor 1D homogene advectie-vergelijking luidt Met

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden θ zo klein mogelijk nemen om numerieke diffusie te verminderen maar groot genoeg om stabiel, positief en niet-oscillerend te zijn De volgende voorwaarde Grotere theta geeft meer diffusie Dit leidt tot de volgende implementatie

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Oplossen niet-lineaire vergelijking Gebruik maken van iteratieve methoden of Met stopcriterium

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Resultaat met behulp van iteratieve FCT methoden

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Limiter nader bekeken na 1 tijdstap

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Limiter nader bekeken na 1 tijdstap

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Nadeel FCT limiter: In de buurt van extreme punten is de limiter nul Voordeel FCT limiter: In de buurt van “sprongen” is de limiter nul. Dit is gewenst.

9/18/2016 Iteratieve FCT methoden Orde van nauwkeurigheid voor gladde oplossingen Upwind: FCT: Central:

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid Numerieke diffusie voor FCT schema Nauwkeurigheid verhogen: Numerieke diffusie zoveel mogelijk verlagen Maar geen anti-diffusie (neg. numerieke diffusie) toelaten

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid CFL Theta

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid Aanpak 1: Verschillende theta voor F_L en F_H De volgende fluxapproximatie

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid CFL Theta

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid Methode 1A Methode 1B

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid Aanpak 2 (voor gelijke theta): Voor theta gelijk aan nul gebruik Lax-Wendroff fluxes voor F_H En Voor theta groter dan nul gebruik centrale fluxes voor F_H en verhoog theta naar minstens 0.5

9/18/2016 Resultaten non-uniforme grid Methode 1AMethode 1B

9/18/2016 Conclusies – Iteratieve FCT methode + lokale theta aanpak levert efficiënte en nauwkeurige oplossing op – Voor gelijke theta aanpak zijn methode 1A en methode 1B vergelijkbaar – Nauwkeurigheid FCT methode te verhogen a.d.h.v. numerieke diffusie – Verschillende theta aanpak vermindert hoeveelheid anti-diffusie – Voor verschillende theta aanpak is methode 1B nauwkeuriger dan 1A

9/18/2016 Verder onderzoek – Hogere nauwkeurigheid voor gladde oplossingen – Iteratieve FCT methoden toepassen voor 2D advectie probleem – Betrekken diffusie- en brontermen