De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint in (1, 0)

Verwante presentaties


Presentatie over: "De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint in (1, 0)"— Transcript van de presentatie:

1 De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint in (1, 0) De hoek waarover gedraaid is geven we aan met de Griekse letter α. O (1, 0) y x P α De eenheidscirkel 8.1 Speciale driehoeken.

2 sin α = = = y P cos α = = = x P PQ OP y P 1 OQ OP x P 1 Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1, 0). Het eerste been van α is altijd de positieve x-as, het tweede been van α gaat door het punt P op de eenheidscirkel. De draaiingshoek α neemt allerlei waarden aan, hij kan groter dan 360° zijn of negatief. Draait P tegen de wijzers van de klok in, dan is α positief. Draait P met de wijzers van de klok mee, dan is α negatief. O (1, 0) y x A α P(x P, y P ) 1 Q ∟ sos cas toa xPxP yPyP 1 Sinus en cosinus 8.1

3 O (2, 0) y A B C D E ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 360° : 5 = 72° α B = 72° α C = 2 · 72° = 144° α D = 3 · 72° = 216° α E = 4 · 72° = 288° B(2 cos 72°, 2 sin 72°) ≈ B(0,62 ; 1,90) C(2 cos 144°, 2 sin 144°) ≈ C(-1,62 ; 1,18) D(2 cos 216°, 2 sin 216°) ≈ D(-1,62 ; -1,18) E(2 cos 288°, 2 sin 288°) ≈ E(0,62 ; -1,90) x α α α α opgave 5

4 y P = 0,92 en x Q = -0,87 bereken  POQ y P = 0,92 dus sin α P = 0,92 de GR geeft sin -1 (0,92) ≈ 66,93° dus α P ≈ 66,93° x Q = -0,87 dus cos α Q = -0,87 de GR geeft cos -1 (-0,87) ≈ 150,46° dus α Q ≈ 360° - 150,46° = 209,54°  POQ = α Q – α P  POQ = 209,54° - 66,93°  POQ ≈ 143° O 1 y x P Q ∙ ∙ αPαP αQαQ opgave 8

5 Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α booglengte PQ = hoek α De ontstane hoekmaat heet radiaal afgekort rad. booglengte = 1  α = 1 rad booglengte = 2  α = 2 rad booglengte = π  α = π rad O (1, 0) y P α Q Radiaal 8.2

6 omtrek(cirkel) = 2πr omtrek(eenheidscirkel) = 2 · π · 1 = 2π booglengte = 2π  α = 2π rad 2π rad = 360° dus π rad = 180° booglengte = π  α = π rad = 180° booglengte = ½π  α = ½π rad = 90° booglengte = ¼π  α = ¼π rad = 45° Verband tussen radialen en graden 8.2

7 1,57 rad ≈ 90° = 71,6° ≈ 1¼ · 1¼π rad = 0,017 rad ≈ 1° = 57,3° ≈ 1 rad = afgerond exact 180° π π rad 180° π π rad voorbeelden

8 x P = -0,32, dus cos α P = -0,32 de GR geeft cos -1 (-0.32) ≈ 1,897 dus α P ≈ 1,897 y P = -0,88, dus sin α P = -0,88 de GR geeft sin -1 (-0.88) ≈ -1,076 dus α Q = π + 1,076 α Q ≈ 4,217  POQ = α Q – α P  POQ = 4,217 – 1,897  POQ ≈ 2,32 O 1 y x P Q ∙ ∙ αPαP αQαQ opgave 19

9 Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) sin(x) = sin(x rad) getal hoek Oπ 2π2π -π-π -2π 1 periode = 2π amplitude = 1 evenwichtsstand = 0 f(x) = sin(x) g(x) = cos(x) α = ¼π, dan is het bijbehorende punt P op de eenheidscirkel x P = y P, dus sinα = cosα de x-coördinaten van de andere snijpunten zijn -1¾π, -¾π en 1¼π -1¾π -¾π-¾π ¼π¼π 1¼π ½π½π opgave

10 (  π; 6,2)2π2π1,25y = 5 + 1,2cos(x -  π) (  π; 1,2)2π2π1,20 y = 1,2cos(x -  π) translatie (0, 5) (0; 1,2)2π2π1,20 y = 1,2cos(x) translatie (  π, 0) (0, 1)2π2π10 y = cos(x) verm. t.o.v. x-as met 1,2 beginpuntperiodeamplitude evenwichts stand opgave 26a 8.3

11 (-  π; 0,4)10π10,4y = 0,4 + sin(  (x +  π) ) (-  π, 0)10π10 y = sin(  (x +  π) ) translatie (0; 0,4) (0, 0)10π10 y = sin(  x) translatie (-  π, 0) (0, 0)2π2π10 y = sin(x) verm. t.o.v. y-as met 5 beginpuntperiodeamplitude evenwichts stand opgave 26b

12 (-1,4; 0,29) ππ0,290y = 0,29 cos( 3(x + 1,4) ) (-1,4; 1) ππ10 y = cos( 3(x + 1,4) ) verm. t.o.v. x-as met 0,29 (0, 1) ππ10 y = cos(3x) translatie (-1,4; 0) (0, 1)2π2π10 y = cos(x) verm. t.o.v. y-as met  beginpuntperiodeamplitude evenwichts stand opgave 26c

13 (½π; 0,4) ππ20y = 2 sin( 3(x - ½π) ) translatie (0; -0,8) (0, 0) ππ20 y = 2 sin(3x) translatie ( ½π, 0 ) (0, 0)2π2π20 y = 2 sin(x) verm. t.o.v. y-as met  (0, 0)2π2π10 y = sin(x) verm. t.o.v. x-as met 2 beginpuntperiodeamplitude evenwichts stand (½π; -0,8) ππ2-0,8y = -0,8 + 2 sin( 3(x - ½π) ) opgave 26d

14 O π 2π2π3π3π x y 1 avoer in y 1 = -½ + sin(x - ¼π) bde evenwichtsstand is de lijn y = -½ voer in y 2 = -½ optie intersect (¼π, -½), (1¼π, -½) en (2¼π, -½) coptie max, min de toppen van f zijn (¾π, ½), (1¾π, -1½) en (2¾π, ½) dAC = periode  AC = 2π -½-½ ∙ A ∙ B ∙ C periode opgave 30

15 formules hebben de vorm : y = a + b (sin( c(x-d) ) en y = a + b (cos( c(x-d) ) b > 0 en c > 0 Kenmerken van sinusoïden 8.3

16 kenmerken van de grafiek van y = a + b (sin( c(x - d) ) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π2π c 8.3

17 f(x) = cos(2x +  π) met domein [-π, π ] stap 1 :f(x) = cos( 2(x +  π) ) stap 2 :evenwichtsstand y = 1 stap 3 :amplitude = 3 stap 4 :periode = = π beginpunt (-  π, 4) 2π2π 2 -π-π -π-π-π-π ππ π π O π ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ opgave 33

18 boptie intersect geeft x ≈ 2,62 en x ≈ 4,05 aflezen f(x) > g(x) geeft 0 ≤ x < 2,62 ⋁ 4,05 < x ≤ 2π cvoer in y 3 = y 1 + y 2 s(x) = a + b sin( c(x – d) ) optie max. en min.  toppen (2,21; 4,36) en (5,35; -4,36) a = evenwichtsstand = 0 b = amplitude = 4,36 halve periode = 5,35 - 2,21 = 3,14 periode = 2 · 3,14 = 6,28 c = (2π : 6,28) ≈ 1 optie zero (of ROOT) geeft x ≈ 0,64, dus d ≈ 0,64 dus s(x) = 4,36 sin(x – 0,64) f(x) = sin(x) evenwichtsstand y = 1 amplitude = 2 periode = 2π beginpunt (0, 1) g(x) = sin(x -  π) evenwichtsstand y = -1 amplitude = 3 periode = 2π beginpunt (  π, -1) π O π2π -2 f g 2,62 4,05 ∙ ∙ opgave 39

19 Harmonische trillingen Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as. Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde. Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t 0 )) met c = 2πf en t de tijd in seconden. Op t = t 0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. De trillingstijd is seconde. 15.3

20 au = 0,2 sin(6πt) amplitude = 0,2 6π = trillingstijd is  seconde frequentie = 3 hertz bperiode =  seconde 2π2π  f = 1 T O  u t -0,2 0,2 opgave

21 ah = a + b sin( c(t – d) ) a = evenwichtsstand = 22 b = amplitude = 20 c = = d = 0, want beginpunt is (0, 22) dus h = sin bt = 25 geeft h = sin h ≈ 39,3 dus op t = 25 is de hoogte 39,3 m. cvoer in y 1 = sin en y 2 = 32 optie intersect x = 6,25 en x = 31,25 dus gedurende 31,25 – 6,25 = 25 seconden is de hoogte meer dan 32 m. 2π2π periode 2π2π 75 2π 75 t · 25 2π 75 x O t h 32 6,25 31,25 opgave

22 ax P = 20 cos(30πt) Q heeft een faseachterstand van  dat is seconde op P dus x Q = 20 cos( 30π(t - ) ) R heeft een faseachterstand van  dat is seconde op P dus x R = 20 cos( 30π(t - ) ) bje krijgt x Q = 20 cos( 30π(t + ) ) en x R = 20 cos( 30π(t + ) ) opgave 49

23 lees af de periode van P,Q en R is 50 seconden P heeft 12,5 seconden voorsprong op Q het faseverschil tussen P en Q is = ¼ R heeft 7,5 seconden voorsprong op P het faseverschil tussen P en R is = faseverschil tussen Q en R is = 12, , opgave 51a

24 u P = 2 sin u Q = 2 sin (t – 12,5) u R = 2 sin (t + 7,5) 2π 50 t 1 25 πtπt π π opgave 51b

25 czie grafiek snijpunt bij Q en R voor t = 15 en t = 40 t = 15  Q omhoog en t = 40  Q omlaag dus op t = 40 dtussen t = 0 en t = 50  1 periode de blokjes gaan alledrie tegelijk omhoog tussen t = 0 en t = 5 dat is dus in × 100% = 10% van de tijd


Download ppt "De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint in (1, 0)"

Verwante presentaties


Ads door Google