De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal.

Verwante presentaties


Presentatie over: "Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal."— Transcript van de presentatie:

1 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal

2 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 Youtube movie: zoom Mandelbrot

17 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Mandelbrot verzameling eenheidscirkel cardioïde

18 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Mandelbrot en zelf-gelijkvormigheid Inzoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links. Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0). Onderwijl (volgens Feigenbaum verhouding δ) vergroten van 0,5 × 0,5 naar 0.12 × De constatering van gelijkvormigheid is (vooralsnog en voor ons) empirisch!

19 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Quasi-zelfgelijkvormigheid In het algemeen niet strikt zelf-gelijkvormig, maar quasi zelf- gelijkvormig. Kleinere varianten kunnen gevonden worden op willekeurig kleine schalen. Waarom niet strikt zelf-gelijkvormig? (Denk aan samenhang.) Mandelbrot zoom avi

20 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Spoedcursus complexe getallen i = √-1. Dus i 2 = -1. (a + bi) + (c + di) = (a+b) + (c+d)i (a + bi) ∙ (c + di) = a∙c + a∙di + bi∙c + bi ∙ di = (ac – bd) + (ad + bc)i Complexe getallen kunnen we zien (en behandelen) als vectoren in R 2. Alternatieve notatie: z = r ∙ ( cos(φ) + cos(φ) i )

21 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Definitie Mandelbrot verzameling Bekijk de functie f op de complexe getallen f : z → z 2 + c Deze functie kun je itereren, met als startwaarde nul. Zo krijg je een rij: 0, c, c 2 + c, (c 2 +c) 2 + c, … Voor c = 0: 0, 0, 0, … constante rij, dus convergeert, dus begrenst. Voor c = 1: 1, 2, 5, 26, … : niet begrenst. Voor c = -1: 0, -1, 0, -1, 0, … alterneert, dus begrenst. Voor c = i: i, -1+i, -i, - 1+i alterneert, dus begrenst Voor welke waarden van c blijft deze rij begrenst?

22 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Feiten over de Mandelbrot verzameling Is volledig bevat in de 2-schijf. Oppervlakte (zowel analytisch als door pixel count.) Is samenhangend (of Mandelbrot set weg- samenhangend is, is een open probleem).

23 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Hoe maak je de Mandelbrot verzameling? Voor elke pixel (p1, p2) doe: 1.Vertaal (p1, p2) naar corresponderend punt c = (c 1, c 2 ) in complexe vlak. 2.Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen. –Lig je er op de N e iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Kleur het pixel wit. –Ben je na 50 iteraties nog steeds binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Engels: The Escape Time Algorithm

24 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Escape Time Algoritme Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen: –Lig je er op de N e iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Geef het pixel de kleur K[N]. –Blijf je 50 iteraties binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Voorbereiding: definieer een spectrum van 50 kleuren: K[1] = wit, K[2] = geel, …, k[50] = donkerblauw.

25 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Escape Time Algoritme

26 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Genormaliseerd aantal iteraties Idee: betrek de modulus van z N in de kleurindex, om stappen tussen discrete kleurindices te egaliseren.

27 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk De Julia Set Bij de Mandelbrot fractal: 1.Je varieert de constante c 2.Vast startpunt voor iteratie (0, 0) Bij de Julia fractal: 1.Je varieert het startpunt voor iteratie 2.Vaste constante c

28 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Samenvatting fractals Turtles klonen: elke gekloonde turtle tekent dezelfde structuur, maar dan kleiner. Eén turtle een recursieve tekenopdracht geven: je krijgt een fractal bestaande uit één lijn. MRCM / IFS: pas twee of meer lineaire contracties toe. “Adaptieve” fractals. Mandelbrot: bekijk één familie van complexe functies. Teken gebied waarvoor iteratie begrensd is.

29 Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Tot ziens!


Download ppt "Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal."

Verwante presentaties


Ads door Google