Teachers Teaching with Technology™ Simulaties en klassieke kansproblemen

Om even over na te denken De kans op minstens 2 keer munt bij 3 keer werpen van een geldstuk is kleiner dan / gelijk aan / groter dan de kans op minstens 200 keer munt bij 300 keer werpen van een geldstuk Fischbein en Schnarch (1997)

Simulatie en kansrekening Chevalier de Méré stelde een vraag aan Blaise Pascal: Spel 1: Ik dobbel vier keer met 1 steen, en moet om te winnen minstens 1 keer zes gooien. Spel 2: Ik dobbel vierentwintig keer met 2 stenen, en moet om te winnen minstens 1x dubbel zes gooien. “Waarom verlies ik spel twee vaker dan spel een?” Blaise Pascal

Simulatie en kansrekening Wikipedia: Antoine Gombaud, Chevalier de Méré( ) was een Franse ridder en schrijver die erg hield van gokken. Hij speelde vaak kansspellen met vrienden thuis. Hij had een theorie waarvan hij dacht dat als hij die in praktijk zou brengen dat hij dan niet zou verliezen. Zijn redenering was als volgt: "bij één worp met twee dobbelstenen is de kans op dubbel zes (P(dubbel zes)) 1/36. Dus bij 24 worpen is de kans op minstens één keer dubbel zes 24/36 oftewel 2/3". Toen hij het spel vaker speelde verloor hij vaker dan dat hij won. Dit betekent dus dat de kans kleiner moet zijn dan 1/2. Blaise Pascal en Pierre de Fermat losten dit probleem samen op. Chevalier de Méré

De kansrekening theorie spel1

De kansrekening theorie spel2

Simulatie met de Nspire spel 1 Een worp met 1 dobbelsteen gaat, net als op de TI-84: randInt(1,6) 4 worpen in een lijst met randInt(1,6,4) Met countIf(lijst,waarde) wordt geteld hoevaak de waarde in de lijst voorkomt. Merk op dat er in de countIf een nieuwe reeks van 4 worpen wordt gebruikt, daarin zit één 6.

Met het krachtige seq() commando maken we nu een rij getallen die voorstellen het aantal zessen in de reeksen van 4 worpen. Normaal gebruik je seq() bij: seq(n^3,n,2,5) Dit geeft {8,27,64,125} Hier hangt de formule niet van de lopende i af, en worden er 1000 reeksen van vier worpen gesimuleerd. Hier nog een extra countIf op met als voorwaarde ?>0 ? Is hier een dummy-variabele Simulatie met de Nspire spel 1

randint(1,6) 1 worp randint(1,6,4) 4 worpen countif(randint(1,6,4),6) aantal zessen seq(countif(randint(1,6,4),6),i,1,1000) herhaal1000x countif(seq(countif(randint(1,6,4),6),i,1,1000),?>0) Hoe vaak in deze 1000 herhalingen is er 1 of meer keren 6 ? Is een dummy variabele De syntax samengevat

randint(1,6,24)+randint(1,6,24) countif(randint(1,6,24)+randint(1,6,24),12) seq(countif(randint(1,6,24)+randint(1,6,24),12),i,1,1000) countif(seq(countif(randint(1,6,24)+randint(1,6,24),12),i,1,1000),?>0) Hoe vaak in deze 1000 herhalingen is er sprake van minstens 1 keer dubbelzes (totaal=12) Simulatie met de Nspire spel 2

Kaarten

Trekken van de eerste aas Neem een normaal kaartspel, 52 kaarten met vier azen. Schud het spel en pak net zo lang een kaart totdat je de eerste aas trekt. Tel het aantal kaarten dat je getrokken hebt. Het kan dus in de eerste trekking gebeuren, maar ook pas in de 49e.

Trekken 1 e aas Hoe vaak is dit gemiddeld? Simulatie met een trucje. seq(i,i,1,52) randsamp(seq(i,i,1,52),4,1) Een steekproef van 4 zonder teruglegging (1) geeft de vier posities van de azen min(randsamp(seq(i,i,1,52),4,1)) De positie van de eerste aas

Simulatie

Berekening P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=.. P(X=k)=

Spreadsheet van de TI-Nspire Kolom 1 met trekkingsnummers De formule in cel b1 invoeren met verwijzen naar cel a1 Dan met Ctrl-C en Ctrl-V (copy & paste) de tweede kolom vullen Of Menu – Gegevens – Opvullen en de cellen t/m B49 aangeven

Verjaardagprobleem

Het probleem Je krijgt aan het begin van het schooljaar een nieuwe klas met 25 leerlingen. Er zitten geen meerlingen in deze klas. Hoe waarschijnlijk is het dat er (minstens) één dag is waarop meerdere leerlingen jarig zijn.

Berekening

Overlopende flessen

Getal en Ruimte vwo wisA H13 opg 32

Overlopende flessen

Flessen:=randNorm(1015,4,1000) Vulling:=randNorm(1005,8,1000)

Overlopende flessen

Mens Erger Je Niet

De eerste 6 De kans is op de eerste 6 in de n e worp is

De som der kansen Het verschil dus S=1

De verwachtingswaarde Het verschil = 1 zodat E = 6

De verwachtingswaarde Het duurt gemiddeld dus 6 worpen om de eerste 6 te gooien. Hoe lang duurt het gemiddeld om de eerste 4 te gooien? Het algemene geval met p i.p.v. 1/6 geeft met P&P wiskunde E=1/p

Cereal Een voor mij verrassende toepassing vond ik in het Cereal probleem. Een simulatie op het web Google: cereal simulation

Cereal

Hoe veel pakken moet je gemiddeld aanschaffen voordat je alle zes de speeltjes hebt? Tel een aantal verwachtingswaarden op:

Newton en Pepy’s In 1693 hebben Samuel Pepys en Isaac Newton gecorrespondeerd over een probleem waar Pepys bij het aangaan van een weddenschap tegen aan gelopen was. Het probleem: Welke van de volgende drie gebeurtenissen heeft de grootste kans op succes? A. Zes eerlijke dobbelstenen worden gegooid en er komt minstens één keer een “6”. B. Twaalf eerlijke dobbelstenen worden gegooid en er komt minstens twee keer een “6”. C. Achttien eerlijke dobbelstenen worden gegooid en er komt minstens drie keer een “6”.

Newton en Pepy’s Oplossing De kansen op de gebeurtenissen A, B en C zijn Als n toeneemt, neemt P(N) asymptotisch af naar de limitwaarde van 1/2.

Een slider

Om even over na te denken De kans op minstens 2 keer munt bij 3 keer werpen van een geldstuk is kleiner dan / gelijk aan / groter dan de kans op minstens 200 keer munt bij 300 keer werpen van een geldstuk Fischbein en Schnarch (1997)

Om over na te denken De kans op minstens 2 keer munt bij 3 keer werpen van een geldstuk is veel groter dan de kans op minstens 200 keer munt bij 300 keer werpen van een geldstuk Fischbein en Schnarch (1997)

P(minstens twee keer munt bij 3 worpen)= binomCdf(3,0.5,2,3) = 0,5 P(minstens 200 keer munt bij 300 worpen)= binomCdf(300,0.5,200,300) =