Michiel Doorman Freudenthal Instituut

Inhoud 1. Verschillen tussen wiskunde en natuurkunde 2. Overeenkomst: kinematica & differentiaalrekening 3. Een geïntegreerde aanpak 4. Discussie

Verschillen - notatie WDN 2010  Thieme (1997): Pascal & Newton p. 197

Verschillen - didactiek WDN 2010  Verschil in methoden  Wi: Schematiseren van informeel naar formeel (didactische modellen en contexten)  Na: Aandacht voor “misconcepties”  Wi: streng over de redenering  Verschil in gebruik van toepassingen (wi: elke brug is een parabool)

Twee voorbeelden van modellen en contexten bij wiskunde  Lineaire formules  Exponentiele groei WDN 2010

Voorbeeld 1  Een touw van 30 meter wordt verdeeld in 5 korte stukken en 3 lange stukken. Een kort en een lang stuk zijn samen 9 meter. Wat is de lengte van een kort stuk?

Voorbeeld 1  Een meetkundig (didactisch) model voor algebra

Voorbeeld 2 Exponentiële groei Een context voor intuïtieve wiskundige redeneringen

 G(2) betekent de groei na 2 dagen: 4 keer meer  D(8) betekent het aantal dagen om 8 keer meer te krijgen: 3 dagen G(4) = D(64) = D(3) = Voorbeeld 2

 D(4) + 1 = D(8) leg uit  D(32) = D(16) + D(2),,  D(24) – D(3) = D(8),,  D(24) – 3 = D(24/8) = D(3),,  G(2) betekent de groei na 2 dagen: 4 keer meer  D(8) betekent het aantal dagen om 8 keer meer te krijgen: 3 dagen Voorbeeld 2

Verschillen - cultuur WDN 2010  St. Bonifatius college Utrecht

Overeenkomst - didactiek WDN 2010  Hoe kan ik leerlingen helpen bij het ontwikkelen van nieuwe kennis? Uitgaande van wat ze al kennen en kunnen en zodat nieuwe kennis een consistent uitbreiding vormt.

2. Een gemeenschappelijk onderwerp: Kinematica en differentiaalrekening WDN 2010

Kinematica en differentiaalrekening  Perspectief van leerlingen  Grafieken en conventies  Geschiedenis  De uitdaging WDN 2010

Een centrale rol voor grafieken Wat betekent het grijze vierkantje? Wat betekent het snijpunt?

Een protocol 1  Wat is de afgelegde weg in deel A?  Leerling (gedecideerd): Nou 6.  Docent: 6?  Andere leerling: Ik snap niet hoe je ernaar kijkt. Als je de formule gebruikt komt er 4 uit.  Docent: Als je welke formule gebruikt komt er 4 uit?  Leerling: Voor v-gemiddeld.  Docent: Hoe reken je de gemiddelde snelheid uit in dit geval? Wanneer komt er 4 uit?  Leerling: 12/3.  Docent: Als je 12/3 doet krijg je 4, maar wat heb je dan uitgerekend? Dan heb je niet de gemiddelde snelheid uitgerekend. Dan heb je a uitgerekend! Dat is iets totaal anders dan de gemiddelde snelheid. Dit (12/3 = 4) zegt alleen dat er elke seconde 4 m/s bij de snelheid bij komt. Na 1 seconde gaat ie 4, na 2 seconde 8 en na 3 seconden gaat ie 12 m/s.  Docent: De gemiddelde snelheid is 6 natuurlijk, hij begint bij 0 en eindigt bij 12 en hij is gemiddeld 6 m/s gegaan. Je hebt twee proefwerken gemaakt en voor de ene kreeg je een nul en voor de ander kreeg je een 12, nou dan krijg je er 6 punten voor, als ze allebei even zwaar meetellen tenminste. Dus de afstand is 18 meter volgens de formule (s = v gemiddeld ⋅ t ).

Een protocol 2  Hoe zien de v-t- en de a-t-grafiek van deze beweging er uit?  Michelle gebaart een lineaire v-t en een constante a-t-grafiek.  De docent tekent ze op het bord.  Bob: ‘Ik had het zo.’ Hij gebaart een parabolische v-t-grafiek.  Docent: ‘Er zijn verschillen tussen Michelle en Bob. Michelle heeft ook getallen. Zij heeft uitgerekend welke snelheid op welk moment wordt bereikt. Hoe komen we aan die getallen?’  Bob: ‘Die heb ik gewoon uit het s-t-diagram gehaald. Ik heb de afstand s door de tijd gedeeld. Bij 20 seconden is de afstand 10 meter dus 10/20 = 0.5 m/s......’  Als de docent vraagt wie het met die berekening eens is, blijkt alleen Ernst het niet met Bob eens te zijn. Michelle houdt zich gedeisd. Ernst legt uit dat Bob de gemiddelde snelheid berekent en niet de snelheid na 20 seconden.  Dan vraagt Ernst: ‘Maar waarom kan ik bij de raaklijn wel Δs/Δt doen? Dan bereken ik toch een gemiddelde snelheid? Is het verschil dat je niet alle tijd neemt, maar vanaf dat punt?’ (waar de raaklijn de tijd-as snijdt)

Grafieken zijn niet vanzelfsprekend  Grafieken (v-t en s-t) zijn het resultaat van langdurig onderzoek  Conventies (zoals de horizontale tijd-as) dienen een specifiek doel  Bijvoorbeeld: gemiddelde snelheid als ‘externe’ verhouding  Die conventies maken het mogelijk om betekenis te geven aan helling en oppervlakte

Grafieken zijn niet vanzelfsprekend  Het gebruik van grafieken voor het modelleren van beweging heeft een lange geschiedenis

Aristoteles en de valbeweging

Oresme Greep krijgen op verandering met grafieken

Simon Stevin Experimenteren met beweging

Galileo en de valbeweging Twee veronderstellingen: valsnelheid ~ valtijd, of valsnelheid ~ valweg? s ~ t 2

Galileo  If two particles are carried at a uniform rate, the ratio of their speeds will be the product of the ratio of the distances traversed by the inverse ratio of the time-intervals occupied.  Let A and B be the two particles which move at a uniform rate; and let the respective distances traversed by them have the ratio of V to T, but let the time-intervals be as S to R.  Then the speed of A will bear to the speed of B a ratio which is the product of the ratio of the distance V to the distance T and the time-interval R to the time-interval S. Let C be the speed at which A traverses the distance V during the time-interval S; and let the speed C bear the same ratio to another speed E as V bears to T; then E will be the speed at which B traverses the distance T during the time-interval S. If now the speed E is to another speed G as the time-interval R is to the time-interval S, then G will be the speed at which the particle B traverses the distance T during the time-interval R. Thus we have the speed C at which the particle A covers the distance V during the time S and also the speed G at which the particle B traverses the distance T during the time R. The ratio of C to G is the product of the ratio C to E and E to G; the ratio of C to E is by definition the same as the ratio of the distance V to distance T; and the ratio of E to G is the same as the ratio of R to S. Hence follows the proposition. Er staatv1 : v2 = (s1 : s2) x (t2 : t1) Of in onze notatiev1 : v2 = (s1 : t1) : (s2 : t2)

Begin vorige eeuw  Muybridge & Marey  Duchamps

Historie  C. 350 voor Chr. Aristoteles: valsnelheid ~ zwaarte  14 e eeuw Oresme: tijdgrafiek van veranderende snelheid (van hypothetische bewegingen)  16 e eeuw Stevin: experiment met loden ballen  17 e eeuw Galileo: valsnelheid ~ valtijd  Newton & Leibniz: formele methoden “The genius of Leibniz’s contribution is that one can mechanically ‘ride’ the syntax of the notation without needing to think through the semantics.” Intuïtieve redeneringen gaan vooraf aan formele definities en methoden. “Het is een situatie, die zich in de geschiedenis van de wiskunde herhaaldelijk heeft voorgedaan: mathematische begrippen worden vaak - men kan bijna wel zeggen: in den regel - reeds lang intuïtief gehanteerd, voordat men ze met volkomen scherpte kan omschrijven, en fundamentele stellingen worden vaak intuïtief ingezien voordat men ze strikt kan bewijzen.” (Dijksterhuis)

WDN 2010

 Welke didactische modellen en welke contexten?  Om leerlingen te richten op samenhang tussen snelheid en afgelegde weg  En om leerlingen te ondersteunen bij het redeneren over die samenhang (bijvoorbeeld over gemiddelde snelheid in grafieken) WDN 2010

3. Een alternatieve aanpak van kinematica en differentiaalrekening WDN 2010

Weersvoorspellingen

Op de skates?

Verandering vastleggen

Stroboscopische plaatjes

Discrete grafieken

Van discrete naar continue grafieken De snelheidsovertreding van Heer Bommel

De opbouw  Leerlingen werken aan relevante problemen binnen een herkenbare context  Didactische modellen ondersteunen de schematisering van informeel naar formeel

Bekijk het lesmateriaal  Wat valt op?  Komt samenhang tussen wiskunde en natuurkunde tot haar recht?  Suggesties? WDN 2010

Grafieken van leerlingen

Leerlingen over cheetah en zebra O: Ja. En welke van de twee grafieken is dat? Beide: Dat is de afgelegde weg. O: Waarom heb je die van de afgelegde weg gekozen? J: Ja, omdat het de weg is die ze afleggen en dan kan je… A: Dan kan je zien of ze elkaar inhalen. O: En bij die andere kun je dat niet zien dan? Daar kan je toch ook zien dat de rode de blauwe inhaalt? J: Ja maar… A: Ja maar dat is dan op 1 moment. Dat betekent alleen dat hij op dat moment harder gaat, maar niet dat ie ook de zebra inhaalt.

Bungee jumper presentaties

Discrete grafieken en gemiddelde snelheid

Redeneringen met continue grafieken

4. Meer samenhang tussen wiskunde en natuurkunde? WDN 2010

Vervolg  Wiskunde is de taal van natuurwetenschappen  taal en representaties kennen vele conventies  leerlingen zitten ergens op de weg van informeel naar formeel  Neem kennis van elkaars didactische uitgangspunten Voor kinematica en differentiaalrekening:  Gemiddelde (intern & extern)  Discrete grafieken  Samenhang in lesmateriaal is nog beter (Salvo)  Een vak: NLT ...

Een taal voor de afgeleide? WDN 2010 (Uit: Daemen & Roorda: Handboek vakdidactiek wiskunde)

Vooral meer inzicht met een samenhangende benadering! Dank u voor uw aandacht Michiel Doorman WDN 2010