Dag van de wiskunde, Kortrijk, 22/11/14

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
De gemiddelde leerling
Advertisements

1 Op Stap naar het SO. 2 • Waar gaat het om ? • Eerst even kijken naar het keuzewerkboek • Wat moest er zo dringend veranderen ? • Studiekeuzetaken !
Het secundair onderwijs
Maak een scan van uw organisatie met de Toolkit Duurzame Inzetbaarheid
BRIDGE Vervolgcursus Vervolg op starterscursus Bridgeclub Schiedam ‘59 info: Maandagavond: 19: – of
Gecijferdheid Negatieve getallen.
Sudoku puzzels: hoe los je ze op en hoe maak je ze?
De elektronische verzamelaanvraag Ruben Fontaine Markt- en Inkomensbeheer – dienst Aangiftes.
Edushock leerfestival
‘SMS’ Studeren met Succes deel 1
Paulus' eerste brief aan Korinthe (20) 23 januari 2013 Bodegraven.
Differentie vergelijkingen differentie vergelijkingen
Vrije centra voor leerlingenbegeleiding Op Stap naar… de tweede graad. een kennismaking met de methodiek en de materialen.
Werkwoorden d t dt.
NEDERLANDS WOORD BEELD IN & IN Klik met de muis
BRIDGE Vervolgcursus Vervolg op starterscursus Bridgeclub Schiedam ‘59 info: Maandagavond: 19: – of
vergelijkingen oplossen
1 Resultaten marktonderzoek RPM Zeist, 16 januari 2002 Door: Olga van Veenendaal, medew. Rothkrans Projectmanagement.
November 2013 Opinieonderzoek Vlaanderen – oktober 2013 Opiniepeiling Vlaanderen uitgevoerd op het iVOXpanel.
Uitgaven aan zorg per financieringsbron / /Hoofdstuk 2 Zorg in perspectief /pagina 1.
Leren modelleren Johan Deprez Dag van de Wiskunde, Kortrijk, 2013
Global e-Society Complex België - Regio Vlaanderen e-Regio Provincie Limburg Stad Hasselt Percelen.
 Deel 1: Introductie / presentatie  DVD  Presentatie enquête  Ervaringen gemeente  Pauze  Deel 2 Discussie in kleinere groepen  Discussies in lokalen.
22 en 24 mei 2013 Monica Wijers, Vincent Jonker Freudenthal Instituut
STAPPENPLAN GRAMMATICUS.
Ronde (Sport & Spel) Quiz Night !
Vrije centra voor leerlingenbegeleiding Op Stap naar… de tweede graad. een kennismaking.
22 en 24 mei 2013 Frank Haacke Vincent Jonkers Monica Wijers
Kb.1 Ik leer op een goede manier optellen en aftrekken
Datastructuren Analyse van Algoritmen en O
Structuur secundair onderwijs
Leiden University. The university to discover. ICLON, Interfacultair Centrum voor Lerarenopleiding, Onderwijsontwikkeling en Nascholing Denkgereedschap.
Loopbaangesprekken 11 december 2012.
Nooit meer onnodig groen? Luuk Misdom, IT&T
BZ voor de Klas 3 juni 2010.
FOD VOLKSGEZONDHEID, VEILIGHEID VAN DE VOEDSELKETEN EN LEEFMILIEU 1 Kwaliteit en Patiëntveiligheid in de Belgische ziekenhuizen anno 2008 Rapportage over.
Algebra en tellen Subdomein B1: Rekenen en algebra
Presentatie vergelijkingen oplossen Deel 2
Wat levert de tweede pensioenpijler op voor het personeelslid? 1 Enkele simulaties op basis van de weddeschaal B1-B3.
Wie het kleine niet eert ... (quarks, leptonen,….)
13 maart 2014 Bodegraven 1. 1Korinthe Want gelijk het lichaam één is en vele leden heeft, en al de leden van het lichaam, hoe vele ook, een lichaam.
Van de eerste graad in één onbekende
Werken aan Intergenerationele Samenwerking en Expertise.
Afrika: Topo nakijken en leren.
Gerard Koolstra, St. Michael College Zaandam
2009 Tevredenheidsenquête Resultaten Opleidingsinstellingen.
ribwis1 Toegepaste wiskunde Lesweek 01 – Deel B
ribwis1 Toegepaste wiskunde, ribPWI Lesweek 01
ribwis1 Toegepaste wiskunde – Differentieren Lesweek 7
ribWBK11t Toegepaste wiskunde Lesweek 02
Vergelijkingen oplossen.
Op Stap naar het SO versie met oefeningen
ECHT ONGELOOFLIJK. Lees alle getallen. langzaam en rij voor rij
17/08/2014 | pag. 1 Fractale en Wavelet Beeldcompressie Les 5.
17/08/2014 | pag. 1 Fractale en Wavelet Beeldcompressie Les 3.
Fractale en Wavelet Beeldcompressie
De financiële functie: Integrale bedrijfsanalyse©
Samen-bouwen … over paneelbouw en de rest!
1 Zie ook identiteit.pdf willen denkenvoelen 5 Zie ook identiteit.pdf.
12 sept 2013 Bodegraven 1. 2  vooraf lezen: 1Kor.7:12 t/m 24  indeling 1Korinthe 7  1 t/m 9: over het huwelijk  10 t/m 16: over echtscheiding  16.
ZijActief Koningslust
Algebra oefenen met inzicht
23 mei 2013 Bodegraven vanaf hoofdstuk 6: hoofdst.1: de wijsheid van de wereld hoofdst.2: de wijsheid van God hoofdst.3: Gods akker en Gods bouwwerk.
1 Wiskundige uitdagingen aanpakken met een grafische rekenmachine Johan Deprez T3-symposium, Oostende, > Documenten en op.
Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Dag van de wiskunde, Kortrijk, 28/11/15 slides op mijn website: zie KU Leuven – wie is wie.
Peilingstoetsen wiskunde Johan Deprez Leuven, 5/12/15 slides: mijn KU Leuven website (via wie-is-wie)
Transcript van de presentatie:

Dag van de wiskunde, Kortrijk, 22/11/14 Oefenen met inzicht Johan Deprez Dag van de wiskunde, Kortrijk, 22/11/14 http://perswww.kuleuven.be/johan_deprez

Kennismaking

Wie zijn jullie? gra(a)d(en) waarin je lesgeeft? basisdiploma? derde // tweede // (eerste) basisdiploma? bachelor onderwijs: wiskunde // andere master/licentiaat: wiskunde // andere ervaring als wiskundeleraar? < 5 jaar //  5 jaar, < 10 jaar //  10 jaar

Wie ben ik? verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde KU Leuven (en een verleden als docent wiskunde in het economisch onderwijs aan de hogeschool/universiteit verantwoordelijke voor de Specifieke Lerarenopleiding wiskunde aan de Universiteit Antwerpen)

gebaseerd op artikel in Uitwiskeling 29/1 (winter 2013) = syllabus mede-auteur: Regi Op de Beeck (lerares) + grondig besproken met de hele redactie van Uitwiskeling artikel schatplichtig aan vele bronnen, maar o.a. aan Paul Drijvers en Martin Kindt (medewerkers Freudenthal Instituut) artikel in de eerste plaats voor eerste en tweede graad, slides en werkteksten deels ook voor derde graad

Werkmoment 1 Los werktekst 1 op

Aanleiding voor deze nascholing

Peiling wiskunde 2de graad aso (2011) resultaten voor algebra niet goed genoeg

Twee voorbeeldvragen

Peiling eerste graad A-stroom

Resultaten voor algebra niet goed genoeg enkele nuanceringen grote verschillen tussen studierichtingen op het einde van het vierde jaar zonder vooraf studeren oorzaken? te moeilijke vragen? eerder niet leraren vinden algebra niet belangrijk? leraren geven in de peiling aan dat ze algebra belangrijk vinden weinig lestijd besteed aan algebra? leraren besteden veel tijd aan algebra

Oplossingen? problemen zijn niet nieuw niet typisch voor Vlaanderen zoals oudere collega’s wel weten is ook gedocumenteerd in wetenschappelijk onderzoek niet typisch voor Vlaanderen in internationaal perspectief doen we het zelfs vrij goed geen wonderoplossingen bekend vandaag inzoomen op verdere verbetering didactiek (lang) niet enige element in de oplossing bv. grote problemen bij Humane Wetenschappen zijn niet zomaar op te lossen met betere didactiek betere oriëntering? eindtermen differentiëren …

Werkmoment 2

Zoek 𝑥 5 𝑥 2 −3𝑥=0 𝑥−2 𝑥−3 =5 2−𝑥 3𝑥+ 𝑎 =−2𝑥+1−3𝑎 12 2+ 24 8+ 28 2+ 9 𝑥 =3

5. Wat verkies je? Los op: 𝑥− 𝑥 ⋅ 𝑥 2 +𝑥 =0. OF Los op: 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 −𝑥 𝑥 =0. Bereken: 𝑥− 𝑥 ⋅ 𝑥 2 +𝑥 d𝑥. Bereken: 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑥 + 𝑥 2 −𝑥 𝑥 d𝑥.

Wat werkt niet?

Wat werkt niet? [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching

Vaardigheden + inzicht! basisvaardigheden alleen: werkt niet doel moet hoger liggen: basisvaardigheden + algebraïsch inzicht flexibel met verschillende methodes (WM2 oef. 1 en 2) inzicht in de structuur van een uitdrukking (WM2 oef. 4 en 5) deeluitdrukkingen als een geheel zien (WM2 oef. 3 en 4) welke vorm is best: product of som? (WM2 oef. 5) je niet laten verleiden door aandachtstrekkers (WM2 oef. 3) …

Vaardigheden + inzicht! techniek, begrip, … inzichtelijk aanbrengen gedurende een korte tijd directe oefeningen maken oefenen combineren met versterken van inzicht VANDAAG!

Wat kunnen we je bieden? een menu met veel kleine gerechtjes!

Wat we je al geboden hebben gevarieerd oefenen oef. 1 en 2: rechthoeksmodel voor vermenigvuldigen oef. 3: band tussen getallen en algebra oef. 4 en 5: inzicht in structuur van een uitdrukking oef. 5: omkeeroefeningen

Werkmoment 3 Omkeervragen Slimme rijtjes Verrassende resultaten

Formules, regels, …

Rekenregels die nuttig zijn Bij welke van de onderstaande berekeningen… … mag je de haakjes wegwerken? … vind je het nuttig om de haakjes weg te werken? −4 2𝑥+3𝑦 5−11 ⋅ 2 8⋅(55−49) 8⋅(90−1)

Rekenregels die nuttig zijn Haakjes wegwerken is soms nuttig, maar soms ook niet. moet een optie zijn mag geen automatisme worden breng dit aan met voorbeelden waaruit de nuttigheidswaarde blijkt oefen dit in in situaties waarin het nuttig is

Rekenregels die nuttig zijn Ken je andere voorbeelden van rekenregels die soms wel, soms niet nuttig zijn? Geldt ook voor: associatieve eigenschap 88+25=88+ 12+13 = 88+12 +13=… ontbinden in factoren …

Optellen van breuken? 3 4 + 5 6 =? Gebruikte je de formule 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑏𝑑 ? niet de formule maar een algoritme Is deze formule nuttig?

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules Ken je nog voorbeelden? nulpunt van 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑞 is – 𝑞 𝑚 𝑦-coö van de top van een parabool is ?? versus werkwijze: bereken 𝑥-coö en functiewaarde beter werkwijze aanleren i.p.v. formule, want werkwijze steunt louter op inzicht formule wordt na verloop van tijd vergeten formule voor 𝑥-coö van de top wel nuttig

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules Ken je nog voorbeelden? tabellen met tekenverloop van een algemene tweedegraadsfunctie laat leerlingen de 6 types grafieken onthouden… … en het tekenverloop (en nog veel meer) daaruit afleiden…

Nuttig? Spaarzaam zijn met formules 𝑎+𝑏 4 =… in mijn vroegere job in het hoger onderwijs: veel studenten wisten dat ze een formule geleerd hadden voor 𝑎+𝑏 3 stelden vast dat ze ze vergeten waren en voelden zich machteloos… Wat is belangrijker? formule kennen voor 𝑎+𝑏 3 ? weten wat een 3-de macht is?

Van abstract terug kunnen gaan naar concreet inzichtelijk aanbrengen: van concreet naar abstract bij oefenen: verband abstract - concreet levendig houden (zie werktekst 1) bij twijfel: van abstract terug kunnen gaan naar concreet verschillende vormen zien sprekende voorbeelden narekenen …

Formules zien bij het aanbrengen bij het oefenen bij twijfel op een poster in de klas? op het formularium? 𝑎+𝑏+𝑐 2 =… 𝑎+𝑏 3 =…

Formules zien

Formules zien 1 3 + 1 2 1 5 ≠

Sprekende voorbeelden 𝑎 𝑚 𝑛 = ? een prototypisch voorbeeld 𝑎 3 2 = 𝑎 3 ∙ 𝑎 3 2 factoren = 𝑎∙𝑎∙𝑎 3 factoren ∙ 𝑎∙𝑎∙𝑎 3 factoren 2 factoren =… bij het aanbrengen ernaar teruggrijpen bij twijfel opnemen in formularium?

Formules narekenen steunen op de betekenis met leerlingen die formules vergeten zijn: 𝑎+𝑏 2 = 𝑎+𝑏 ⋅ 𝑎+𝑏 =… getallenvoorbeelden invullen 𝑎+𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 ? 3+4 2 ≠ 3 2 + 4 2 getallenvoorbeeld is vaak voldoende om de incorrectheid van een vermeende formule aan te tonen … maar getallenvoorbeeld is niet voldoende om de correctheid van een formule aan te tonen

Proces versus object wiskundige uitdrukkingen hebben (in het begin) een proceskarakter d.w.z. ze roepen op tot actie 13+14=… als 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +3𝑥+5, is 𝑓 7 =… (later meer en meer) een objectkarakter bovenstaande functie 𝑓 is een tweedegraadsfunctie resultaat van een berekening met letters kan 𝑎 2 − 𝑏 2 zijn leerlingen hebben het vaak moeilijk met dat objectkarakter en blijven de drang voelen om verder uit te werken (‘lack of closure’), bv. in 𝑎+𝑏 2 −2𝑎𝑏 = 𝑎 2 + 𝑏 2

Werkmoment 4 Oplossingen van een vergelijking zien Tweedegraadsvergelijkingen oplossen …

Vergelijkingen

Los komen van standaardoplossingen (plan B) Hoe los je de volgende eerstegraadsongelijkheden op? 3+𝑥>5−2𝑥 5−2𝑥<3+𝑥 ALTIJD termen met 𝑥 naar het linkerlid brengen en de constanten naar het rechterlid OF flexibel gebruik maken van verschillende methoden? vaste methode kan zekerheid bieden vaste methode kan inefficiënt zijn of leiden tot meer rekenfouten afweging maken! Hoe los je de volgende tweedegraadsvergelijkingen op? 𝑥−3 2𝑥−1 =0 7 𝑥 2 −5𝑥=0 7 𝑥 2 −5=0 4 𝑥−1 2 +11=9 7 (𝑥−1) 2 −5(𝑥−1)=0

Niet te snel en niet teveel verkorten beter … dan overbrengingsregels die de betekenis verdoezelen van wat je doet van beide leden … aftrekken beide leden van een vergelijking delen door … van beide leden de … macht nemen van beide leden de logaritme nemen op beide leden de exponentiële functie toepassen beter rijherleiden van stelsels dan spilmethode

Globaal kijken naar uitdrukkingen

Voorbeeld 1 Bepaal het domein van 𝑓:𝑦= 2−𝑥 . Ken je courante fouten? inzicht nodig in de manier waarop deze uitdrukking opgebouwd is eerst 𝑥 aftrekken van 2 (dat geeft een tussenresultaat) daarna wortel trekken het tussenresultaat moet positief zijn (want daaruit moet je de wortel kunnen trekken) pijlenschema: 𝑥→𝑢=2−𝑥→𝑦= 𝑢 = 2−𝑥 zie applet Algebra pijlen op www.wisweb.nl (let op: je moet zelf opgaven maken)

Voorbeeld 2 Hoe ontstaat de grafiek van grafiek van 𝑔:𝑦=2 𝑥 3 −1 uit die van 𝑓:𝑦= 𝑥 3 ? Hoe ontstaat de grafiek van ℎ:𝑦=2 (𝑥 3 −1) uit die van 𝑓:𝑦= 𝑥 3 ? Ook hier helpt het inzicht dat je opbouwt met de applet Algebra pijlen!

Voorbeeld 3 Waarom is 𝑒 2⋅ ln 𝑥 ≠2𝑥 ? Maak een pijlenketting! 𝑥 ln ln 𝑥 ⋅2 2⋅ ln 𝑥 exp 𝑒 2⋅ ln 𝑥 Exponentiële en logaritmische functie worden niet onmiddellijk na elkaar toegepast.

Voorbeeld 4 Herschrijf ln(100∙ 1.05 𝑡 ) argument van de logaritme is een product onderdruk nog even de aandachtstrekker ‘macht’ gebruik kadertjes om deze ideeën te ondersteunen pas nadat je de regel voor de logaritme van een product toegepast hebt, wordt de macht in de tweede factor belangrijk Laat leerlingen uitdrukkingen benoemen 3𝑥+2 2 − 2𝑥−3 2 is een verschil ontbinden in factoren: een som omzetten in een product … zie applet Algebra expressies op www.wisweb.nl

Algebra expressies op www.wisweb.nl

Slot we kunnen niet alle problemen zelf oplossen, wel ons steentje bijdragen door in te zetten op het combineren van basisvaardigheden met het werken aan algebraïsch inzicht. Een menu met veel kleine gerechtjes Variatie in de vraagstelling, Omkeervragen, Slimme rijtjes, Kunnen weerstaan aan aandachtstrekkers, Uitdrukkingen als een object kunnen zien, Rekenregels moeten functioneel zijn, Spaarzaam zijn met formules, Van abstract terug naar concreet, Globaal kijken naar uitdrukkingen, Algebra inzetten om patronen te beschrijven, Vergelijkingen interpreteren met grafieken, Loskomen van standaard- oplossingsmethoden, Niet te snel en niet teveel verkorten, En ook nog: Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig, Niet alleen successen maar ook mislukkingen, Geregeld oefenen, Ook bij andere onderwerpen algebra oefenen, …

Bedankt voor uw aandacht!