HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Hoe nauwkeurig is een meting?

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Je zet een experiment op om een bepaald verschijnsel te onderzoeken …en je laat het experiment een bepaalde tijd lopen.… Maar je meet niets: Je telt NUL tikken. Wat betekent dat? Stel dat je in een meting van een uur één treffer (=gebeurtenis) waarneemt Kun je dan concluderen dat dit verschijnsel een tempo heeft van een 1/uur? Inleiding

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Eerst even afspreken: Random gebeurtenissen: zijn onafhankelijk van elkaar worden niet beïnvloed door voorgaande gebeurtenissen zijn niet te voorspellen 0 sectijd  Als het aantal treffers op 1 uitkomt kan dit het resultaat zijn van het toevallig vastleggen van een zeldzaam optredend verschijnsel dat beter weer- gegeven kan worden door een veel lager tempo (~0?). Of de looptijd van de meting kan de gebeurtenis net gemist hebben(net te laat gestart of te vroeg beëindigd).

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Een meting van 1 zou in werkelijkheid een gemiddelde kunnen zijn van 0 of misschien zelfs 2? 1 ± 1 Een meting van 2 2 ± 1? ± 2? Een meting van ± minstens een paar? Een meting van ± ?

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Dit histogram laat, minuut na minuut, 2-voudige coincidenties zien tussen 2 gestapelde detectoren voor kosmische straling 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De meeste metingen liggen dichtbij het gemiddelde van tikken/minuut Merk op dat de 0 “onderdrukt” is! (de vertikale as begint bij 500, niet bij 0) 500 In werkelijkheid zijn dit lichte fluctuaties rondom een gemiddelde van ruim 600. Laagste waarde Hoogste waarde voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Geen plotselinge pieken van 800; geen terugval tot 400. Zijn dit goede data? Hoe kunnen we vaststellen of dit goede metingen zijn of dat de verschillen te groot zijn? 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde. Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg 0 zijn. Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie )

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde. Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg 0 zijn. 0 Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie )

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De nieuwe lijnen geven de afstand aan van een en twee keer de standaarddeviatie onder en boven het gemiddelde Voor deze gegevens gaf Excel een SD van 20. Dus staan de lijnen op: ± 20.0 = and ± 40.0 = voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Een gering aantal (hier 5) ligt op meer dan 2 SD van het gemiddelde. De meeste meetwaarden blijken binnen ±1 SD van het gemiddelde te liggen. Een paar meetwaarden vallen binnen 1 à 2 SD. de SD beschrijft hoe dicht op elkaar gepakt de meetwaarden rond het gemiddelde zijn, en geeft een grens aan over hoe ver ze mogen spreiden. Hier zijn er geen meetpunten op meer dan 3 SD. 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Met andere woorden: 68% van de metingen valt binnen ±1 SD van het gemiddelde. 95% van de metingen binnen ±2 SD 99.7% van de metingen binnen ±3 SD Karakteristiek voor deze vorm: het stuk tussen µ  en µ+  bevat 68% Van het totale oppervlak onder de curve.

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Kansrekening bij detectie van kosmische stralen Poissonverdeling

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De kans dat er een enkele KOSMISCHE STRAAL passeert door een klein oppervlak van een detector binnen een klein tijdsinterval  t kan heel erg klein zijn: p << 1 Kosmische stralen arriveren in een tamelijk constant en regelmatig tempo als we middelen over een langere tijd Het tempo is niet iedere nanoseconde constant En zelfs niet iedere seconde Dit gemiddelde, echter, geeft de kans per tijdseenheid van het passeren van een kosmische straal

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen zou betekenen dat we kunnen verwachten dat we in 5 minuten een telling krijgen van ongeveer: A treffers B treffers C treffers D treffers E treffers F treffers 1200 Hz = 1200 treffers/sec bijvoorbeeld: een gemeten tempo van

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen zou betekenen dat we kunnen verwachten dat we in 3 ms een telling krijgen van ongeveer: A.0 treffers B. 1 á 2 treffers C. 3 á 4 treffers D. rond 10 treffers E. 100den treffers F. 1000den treffers 1200 Hz = 1200 treffers/sec bijvoorbeeld: een gemeten tempo van 1 milliseconde = 10  3 seconde

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen zou betekenen dat we kunnen verwachten dat we in 100 ns een telling krijgen van ongeveer: A.0 treffers B. 1 á 2 treffers C. 3 á 4 treffers D. rond 10 treffers E. 100den treffers F. 1000den treffers 1200 Hz = 1200 treffers/sec bijvoorbeeld: een gemeten tempo van 1 nanosec. = 10  9 seconde

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De kans dat er een enkele KOSMISCHE STRAAL passeert door een klein oppervlak van een detector binnen een klein tijdsinterval  t kan heel erg klein zijn: p << 1 bijvoorbeeld 72000/min=1200/sec =1200/1000 millisec =1.2/millisec = /  sec = /nsec

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De kans dat er een enkele KOSMISCHE STRAAL passeert door een klein oppervlak van een detector binnen een klein tijdsinterval  t kan heel erg klein zijn: p << 1 De kans dat er GEEN kosmische straal passeert door dat oppervlak gedurende de tijd  t is A. p B. p 2 C. 2p D.( p  1) E. (  p)

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De kans dat er een enkele KOSMISCHE STRAAL passeert door een klein oppervlak van een detector binnen een klein tijdsinterval  t kan heel erg klein zijn: p << 1 Als de kans dat er een kosmische straal passeert gedurende een bepaalde nanoseconde gegeven wordt door: P(1) = p << 1, Wat is dan de kans dat er 2 passeren binnen dezelfde nanoseconde: A. p B. p 2 C. 2p D.( p  1) E. (  p)

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De kans dat er een enkele KOSMISCHE STRAAL passeert door een klein oppervlak van een detector binnen een klein tijdsinterval  t kan heel erg klein zijn: p << 1 De kans dat er geen enkele passeert in die periode is dan: ( 1  p )  1 Als we N opeenvolgende intervallen meten (met een totale tijd t = N  t ) wat is dan de kans dat we precies n gebeurtenissen meten? × ( 1  p ) ??? ??? “misses” p n n “treffers” × ( 1  p ) N-n N-n“missers”

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Als we N opeenvolgende intervallen meten (met een totale tijd t = N  t ) wat is dan de kans dat we precies n gebeurtenissen meten? P(n) = n C N p n ( 1  p ) N-n P(n) = e -Np

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen P(n) = e -Np Hé! Wat stelt Np voor? Verdieping

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen  = Np P(n) = e  Poisson verdeling Kans om precies n gebeurtenissen te vinden binnen een tijd t, als de verdeling random gebeurt, maar met een gemiddeld tempo van   (gebeurtenissen per N intervallen)

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen  =1  =4  =8

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Een andere afkorting (notatie): Vaak werken we met een gemiddelde van metingen x (de gemiddelde waarde van x). Dan moeten we  dus vervangen door deze x. In onze termen:

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen De standaarddeviatie  zou ons een schatting moeten leveren voor de fout in zulke tellingen Met andere woorden:  2 =   =  Wat rekenwerk levert: Verdieping: Dia 71Dia 71

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Als we aannemen dat een meting (n) meestal een resultaat geeft dat erg dicht ligt bij de waarde   dan is de beste aanname voor de fout in deze meting n We geven deze statistische fout in onze metingen aan als n ± n

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Frequentie van de Kosmische straling (Hz) Tijdstip van de dag

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Hoeveel tekstpagina’s bevat het boek: Harry Potter en de Half-Blood Prince? 562 Wat is the fout in dat aantal? A. 0 B.  1 C.  2 D.  /562  23.7 E.  562/2 =  281

HISPARCWOUDSCHOTEN 2006NAHSA Tellen van Random gebeurtenissen Een voetbal heeft een vluchttijd van 4.6 seconde. Wat is de fout in dit getal? Een scintillator is gepolijst tot een einddikte van 2.50 cm. Wat is de fout in dit getal?