Module ribBMC Beginnen met construeren Week 07 Studiejaar 2007 - 2008 Studiepunten 3 ECTS Bouwkunde / Civiele techniek

Toets q = 2 kN/m A B 5 m Gegeven: Gelamineerde ligger fm = 17 N/mm2 Fv = 1,8 N/mm2 (schuifspanning) E = 11000 N/mm2 h=1/20 * L, b=1/60*L Gevraagd: Profielkeuze (berekening op sterkte, afschuiving)

Oplossing# Reaktiekrachten, D- en M-lijn q = 10kN Q = q * l = 2 * 5 = 10 kN FAv = FBv = ½ ql = 5 kN A B M= 1/8ql2 = 1/8*2*52= 6,25 kNm FAv= 5kN FBv= 5kN 5kN D-lijn Vmax = 5kN Mmax = 6,25kNm 5kN M-lijn M= 6,25kNm

Berekening op sterkte en stijfheid Hoogte: 1/20 x 5000 = 250 mm Breedte: 1/60 x 5000 = 85 mm Wy = 1/6 x b x h2 → 1/6 x 83 x 2502 → 864,6 x 103 mm3 σy = Mmax/Wy → 6,25 x 106 / 864,6 x 103 ↔ 7,2 N/mm2 U.C = 7,2 / 17 ≤ 1 , Berekening op sterkte akkoord

Berekening op schuifspanning Berekening schuifspanning τgemid = F / A ↔ 5000 / (271 x 71) → 0,26 N/mm2 τmax = 1,5 x τgemid ↔ 0,4 N/mm2 U.C = 0,4 / 1,8 ≤ 1 Berekening op schuifspanning voldoet.

Lineair traagheidsmoment Bij het berekenen van de doorbuiging van liggers en het knikgevaar bij kolommen hebben we het traagheidsmoment nodig. Het traagheidsmoment is even als het weerstandsmoment een rekengrootheid. Het verband tussen het weerstandsmoment en het traagheidsmoment is: I = W * e I = traagheidsmoment (mm4) W = weerstandsmoment (mm3) e = de uiterste vezelafstand.

Lineair traagheidsmoment Wy = 1/6 * b * h2 Iy = W * e Iy = 1/6 * b * h2 * 1/2h Iy = 1/12 * b * h3 Neutrale lijn in het midden h Hoe groter het traagheidsmoment van de doorsnede, des te groter is de weerstand van de doorsnede van de balk tegen doorbuigen. Hoe hoger de balk, des te groter het traagheidsmoment en hoe minder de doorbuiging.

Lineair traagheidsmoment Bij een rechthoekige ligger zijn de buigspanningen in de uiterste vezels het grootst. In de omgeving van de neutrale lijn wordt het materiaal dus niet volledig benut. Bij kokerliggers is het materiaal gebracht naar de plaats waar de spanningen het hoogst zijn, namelijk naar de randen dicht bij de uiterste vezels.

Lineair traagheidsmoment FIG. 1 A = 71 * 146 = 10.4 * 103 mm2 Iy = 1/12 * b * h3 Iy = 1/12 * 71 * 1463 Iy = 18.4 * 106 mm3 Fig. 02 Het traagheidsmoment van een kokerligger kan bij benadering worden berekend met: Iy = 2a2 * A FIG. 1 FIG. 2 400 146 73 71 71

Lineair traagheidsmoment Fig. 02 Iy = 2a2 * A A = oppervlaktedoorsnede van 1 regel. a = e = afstand uiterste vezel tot neutrale lijn. Iy = 2 * (400/2)2 * (71 * 73) Iy = 2 * 2002 * 5.2. * 103 Iy = 416 * 106 mm4 FIG. 1 FIG. 2 400 146 73 71 71

Lineair traagheidsmoment Bij hetzelfde materiaalgebruik is de kokerligger ongeveer 22x zo sterk als de rechthoekige ligger. Het traagheidsmoment is dus een maat voor de sterkte en stijfheid van de liggerdoorsnede.

Lineair traagheidsmoment Een lineair traagheidsmoment van een doorsnede t.o.v. van de neutrale laag wordt het eigen traagheidsmoment van die doorsnede genoemd z-as Eigen traagheidsmoment van een rechthoekige doorsnede. Iy = 1/12 * b * h3 Iz = 1/12 * h * b3 h Y-as b

Lineair traagheidsmoment Het traagheidsmoment I is niet altijd in alle richtingen even groot. Over het algemeen geldt dat het traagheidsmoment van de verschillende buigingsrichtingen verschillend zijn.

Lineair traagheidsmoment Traagheidsmoment samengestelde houten liggers Welke van de 2 doorsneden heeft het grootste traagheidsmoment ?

Lineair traagheidsmoment Welke van de 2 doorsneden heeft het grootste traagheidsmoment ? Figuur 01 Iy = 2 * a2 * A (traagheidsmoment kokerligger bij benadering) Iy = 2 * (0,625h)2 * b * x = 0,78 h2 bx In figuur 2 Iy = 2 (0,5h)2 * bx = 0,5 h2 bx Het eerste figuur heeft dus het grootste traagheidsmoment. Hier zal de doorbuiging van figuur 1, dus de hoge balk, kleiner zijn dan de doorbuiging van de lage balk. Immers hoe groter het traagheidsmoment van een doorsnede, hoe groter ook de weerstand van de doorsnede tegen doorbuigen is.

Benaderingsformule doorbuiging Dit blijkt eveneens uit de benaderingsformule voor de doorbuiging van een balk op twee steunpunten: umax = 0,1 Mmax * L2 / E * I, Is I groot dan is umax klein.

Controle op stijfheid (uit toets) Berekening op vervorming (doorbuiging) Iy = 1/12 * b * h3 ↔ 1/12 * 83 * 2503 ↔ 10807 x 104 mm4 μmax = 0,1 * Mb * l2 / I x E μmax = 0,1 x 6,25 x 106 x 50002 / 10807 x 104 x 11000 μmax = 13 mm U.C = 13 / (0,004*5000) ≤ 1, Berekening op stijfheid akkoord Daar gekozen profiel niet courant is kies uit tabellenboek: 271 mm x 71 mm, Wy = 869 x 103 mm3, Iy = 11700 x 104 mm4

Zwaartepunten Het massazwaartepunt van een lichaam is het punt waarin we de totale massa van dat lichaam geconcentreerd kunnen denken, zodat het lichaam in evenwicht is. De resultante van alle zwaartekrachten op een lichaam gaat door het zwaartepunt. Het zwaartepunt van een symmetrisch lichaam ligt in het symmetrievlak. Zijn er twee of meer symmetrievlakken dan ligt het zwaartepunt op de snijlijnen van deze vlakken. De momentstelling geldt niet alleen voor momenten van krachten maar ook voor momenten van homogene oppervlakken, de zogenaamde statische momenten. Het statisch moment (S) van een oppervlak t.o.v. een lijn is gelijk aan het produkt van dit oppervlak en de afstand van het zwaartepunt van dat oppervlak tot die lijn.

Zwaartepunten y2 y1 y3 Y-as A1 z1 z2 A2 A3 z3 Gevraagd: Bepaal het zwaartepunt De samengestelde figuur wordt in een aantal basisgevallen opgedeeld. Met behulp van de momentstelling t.o.v de z-as en de y-as wordt het zwaartepunt van de totale figuur gevonden Z-as

Zwaartepunt t.o.v. de y-as Sy = z1A1 + z2A2 + z3A3 = zzAtot Zz = Sy / Atot = z1A1 + z2A2 + z3A3 / A1 + A2 + A3 Z-as

Zwaartepunt t.o.v. de z-as y2 y1 y3 Y-as A1 z1 z2 A2 A3 z3 t.o.v. de z-as Sz = y1A1 + y2A2 + y3A3 = yzAtot Yz = Sz / Atot = y1A1 + y2A2 + y3A3 / A1 + A2 + A3 Z-as

Zwaartepunt samengesteld figuur yz Y-as zy Z-as

Opgave Gevraagd: Het zwaartepunt van de doorsnede Z - as 2 Gevraagd: Het zwaartepunt van de doorsnede 8 A2 Verdeel het figuur in zijn samenstellende onderdelen 8 A1 Y - as 2 4 8

Oplossing Oppervlakte totale figuur A1 = 14 * 18 = 252 mm2 Oppervlakte gat A2 = 4 * 8 = 32 mm2 Oppervlakte samengestelde figuur Atot = A1 – A2 = 252 – 32 = 220 mm2

Oplossing Statisch moment t.o.v. z-as Sz = (A1 * y1) – (A2 * y2) = yz * Atot Sz = (252 * 7) – (32 * 4) = yz * 220 yz = 1636 / 220 yz = 7,44 Statisch moment t.o.v. y-as zz = (A1 * z1) – (A2 * z2) = zz * Atot zz = (252 * 9) – (32 * 12) = zz * 220 zz = 1184 / 220 zz = 8,56

Zwaartepunt samengesteld figuur Z - as 8,56 7,44

Lineaire traagheidsmoment Iy = Iy,eigen + a2 * A Regel van Steiner Iz = Iz,eigen + a2 * A

Rechthoek

Driehoek

Circel

Circelring

Voorbeeld hoedligger z-as Mmax = 9,42 kNm Vmax = 7,86 kN Y-as

Voorbeeld hoedligger Bepalen traagheidsmoment t.o.v. y-as Oppervlakte: Atotaal = 2340

Voorbeeld hoedligger Sy’ = (A1z1) + (A2z2) + (A3z3) z = Sy’/Atot  146020 / 2340 = 62,4

Voorbeeld hoedligger Z-as Y-as

Voorbeeld hoedligger a1 = 151 – 62,4 = 88,6 a2 = 78 – 62,4 = 15,6 I1, eigen = 1/12 * b * h3 = 1/12 * 58 * 103 = 4833,33 I2, eigen = = 1/12 * 5 * 1363 = 1048106,66 I3, eigen = = 1/12 * 108 * 103 = 9000

Voorbeeld hoedligger Iy = (I1,eigen + a12 *A1 ) + (1048106,66 + 15,62 * 680 ) + (9000 +-57,42 *1080 ) Iy = 4557810,13 + 1213591,46 + 3567340,8 Iy = 9338742,39 mm4 = 934 * 104 mm4

Voorbeeld hoedligger

Voorbeeld hoedligger Hoedligger is symmetrisch. De z-as is dan de hartlijn. Iz = 1213770.00 mm4 Uiterste vezelafstanden e1 en e2 e1 = 156 – 62,4 = 93,6 e2 = 156 – 93,6 = 62,4

Naar excel

Samengesteld profiel - Excel z I z’’ a Iy 580,00 151,00 4833,33   88,60 680,00 78,00 1048106,67 15,60 1080,00 5,00 9000,00 -57,40 2340,00 62,40 9338742,39

Samengesteld profiel - autocad Command: Command: _massprop Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area: 2340.00 Perimeter: 634.00 Bounding box: X: -835.34 -- -727.34 Y: 82.26 -- 238.26 Centroid: X: -781.34 Y: 144.66 Moments of inertia: X: 58306195.76 Y: 1429747520.36 Product of inertia: XY: -264483760.94 Radii of gyration: X: 157.85 Y: 781.67 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 9338742.39 along [1.00 0.00] J: 1213770.00 along [0.00 1.00]

Voorbeeld hoedligger Berekening op sterkte Wy = I/e Wy1 = 9338742,39 / 93,6 = 99772,9 mm3 Wy2 = 9338742,39 / 62,4 = 149659,3 mm3 σ = M/Wy Drukspanning = 9420000 / 99772,9 = 94,4 N/mm2 Trekspanning = 9420000 / 149659,3 = 62,9 N/mm2 Drukspanning = Bepalend voor de sterkte

Voorbeeld hoedligger Drukkracht maatgevend = 94,4 N/mm2

Voorbeeld hoedligger fm = 235 N/mm2 U.C. = 94,4 / 235 ≤ 1 Sterkte = akkoord

Voorbeeld hoedligger

Voorbeeld hoedligger Berekening op vervorming Overspanning = 7,0 m Iy = 934 * 104 mm4 E = 210.000 N/mm2 q = 2 kN/m1 ueind = 0,004 * L = 0,004*7000 = 28 mm u = 5 / 384 * ((q*l4) / EI)) Vergeet_mij_nietje

Voorbeeld hoedligger u = 5/384 ((2 * 74) / (210 * 106) * (934*10-8)) Ueind = 32 mm U.C = 32/28 > 1  Niet akkoord

Voorbeeld hoedligger Vz;u;d = 0.58 * (151 – 2 *10) * 5 * 235 Vz;u;d = 89 kN U.C = 7,86 / 89 < 1  Sterkte op afschuiving akkoord

Samengesteld profiel

Samengesteld profiel Het bovenstaan IFB-profiel bestaat uit een halve HE 360 A profiel (HE 360 AT) en een stalen plaat van 500 x 10 De gegevens uit het staaltabellenboek: Iy = 1269 * 104 mm4, A = 7138 mm2, zs = 28,7 mm, h = 175 mm Gevraagd: Het traagheidsmoment van de ligger.

Samengesteld profiel Plaat: z(plaat) = 10/2 + 175 = 180 mm Atotaal = A (HE360AT) + A (Plaat) Atotaal = 7138 + (500 * 10) = 12138 mm3 Som van de momenten t.o.v. B – B is 0 Ahea * arm + Aplaat * arm = Atotaal * Zz 7138 * 28,7 + 5000 * 180 = 12138 * Zz Zz = 91 mm a (hea) = 91 – 28,7 = 62,3 mm a (plaat) = 91 – 180 = - 89 mm

Samengesteld profiel Iy (plaat) = 1/12 * b * h3 = 1/12 * 500 * 103 Iy= 41666,7 mm4 Iy (hea) = 1269 * 104 mm4 Iy getransleerd Iy = (Iy, eigen + a2Ahea) + ( Iy, eigen + a2Aplaat) Iy = (1269*104 + (62,3)2 * 7138) + (41666,7 + (-89)2 * 5000) Iy = 8004,2 * 10^4 mm4 Het samengesteld profiel is dus 8004/1296 is 6x stijver als het HE360AT profiel

Samengesteld profiel Ditzelfde voor Iz (1/12 * 10 * 5003 + (0)2 * 5000) Iz = 14361 * 104 mm4

EINDE Docent: M.J.Roos