Patrick De Causmaecker Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk Reizen door de tijd Patrick De Causmaecker Katholieke Universiteit Leuven Campus Kortrijk

Mezelf Licentiaat Wiskunde (Gent) Doctor in de Fysica (Leuven) Professor Informatica (Leuven-Kortrijk) WINA

The Time Machine (H. G. Wells, 1895) … 'Can a cube that does not last for any time at all, have a real existence?' Filby became pensive. 'Clearly,' the Time Traveller proceeded, 'any real body must have extension in four directions: it must have Length, Breadth, Thickness, and - Duration. … The Time Machine (H. G. Wells, 1895)

Een tijdmachine H. G. Wells een schrijver één van de eerste tijdmachines in de literatuur (1895). 'any real body must have extension in four directions: it must have Length, Breadth, Thickness, and – Duration’ Dit suggereert tijd in de categorie van lengte, breedte, dikte een extra dimensie naast de drie ruimtedimensies Laten we kijken wat fysici daarover te zeggen hebben

Galileo’s gedachte-experiment (~1620 !)

Galileo’s relativiteit Snelheid paard v struiken = 20 m/s Snelheid ruiter v paard = 0 m/s S’ Wat gebeurt er als de ruiter de bal vooruit gooit met een snelheid van vb = 2 m/s? S Snelheid struiken v paard = -20 m/s Snelheid waarnemer v struiken = 0 m/s vb(S) = vb(S’) + v S’ (S)

Galileo’s invarianten De afstanden gemeten door de ruiter zijn dezelfde als deze gemeten door de waarnemer in de struiken Hoe zit het met de kracht die de ruiter nodig heeft om de bal een versnelling te geven van 1 m/s2? Versnelling, massa, tijd… zijn invariant en de wetten van de natuurkunde zijn dezelfde in alle stelsels.

Even controleren: wet van Newton F = m x a Snelheid bal t=0 s : 0 m/s Snelheid bal t=1 s : 1 m/s Snelheid paard v struiken = 20 m/s We onderstellen dat de klokken van de ruiter en de m/v in de struiken gelijk lopen Snelheid bal t=0 s : 20 m/s Snelheid bal t=1 s : 21 m/s Zowel t.o.v. het paard als t.o.v. de struiken krijgt de bal versnelling 1 m/s2

Welke transformaties? De ruiter hoeft niet altijd in dezelfde richting te kijken om een snelheid te meten… Afstanden, lengtematen zijn invariant onder rotaties en translaties van het assenstelsel P1 P2 Galileo transformaties zijn deze die de lengte onveranderd laten: (X1-X2)2 + (Y2-Y1)2 + (Z2-Z1)2 En de klokken? Galileo had geen reden (intuïtie) om zich daarover vragen te stellen. Hij beschreef reizen door de ruimte.

Nog een gedachte-experiment van Galileo Newton: F = m a F = G m M / R2 => a = G M / R2 onafhankelijk van m! Traagheidsmassa = gravitatiemassa!

Werkingsprincipes voor een fysicus Waarneming Paradoxen Eenvoud Unificatie (Gedachte-)experimenten Invarianten Wiskunde … Astronomie De bewegende aarde Paard - ruimte Paard, Toren van Pisa (X2-X1)2 + (Y2-Y1)2 + (Z2-Z1)2 vb(S) = vb(S’) + v S’ (S)

Is er nog meer? Nu ik gesproken heb over de stralen van de zon, het brandpunt van alle warmte en licht waarvan we genieten, zult u zonder twijfel vragen : “Wat zijn die stralen?”. Dit is, met zekerheid, één van de belangrijkste vragen in de fysica. Leonard Euler (1707-1783) Het lijkt waarschijnlijk dat de meeste van de grote onderliggende principes goed begrepen zijn en dat verdere vooruitgang enkel in het rigoureus toepassen van die principes dient gezocht te worden Albert Michelson (1894)

Michelson vindt dit een detail Wat was er gebeurd? Maxwell’s theorie van het elektromagnetisme (1861) Verband tussen elektriciteit, magnetisme en licht! Maar: De vergelijkingen van Maxwell zijn niet invariant onder Galileo transformaties Ether (referentiestelsel in rust) Michelson vindt dit een detail

Nochtans… Het Michelson - Morley experiment van 1897 toonde aan dat er geen ether bestond: DE SNELHEID VAN HET LICHT HANGT NIET AF VAN HET REFERENTIESTELSEL

Problematisch … voor onze intuïtie Galileo-achtige ruimtemannetjes t = lichten aan t = lichten gedetecteerd Afstand dA in referentiestelsel A C = dA/T < dB/T A C = dB/T > dA/T B Afstand dB in referentiestelsel B

Einstein: Waarneming … De snelheid van het licht is dezelfde in alle referentiestelsels (dit wisten Galileo en Newton niet) De lichtsnelheid is een natuurconstante Toevoegen aan de andere natuurwetten Op zoek naar transformaties die deze allemaal respecteren (Hopelijk vinden we ergens Galileo en Newton terug)

In termen van de ruiter (merk op dat we nu de tijd verticaal uitzetten) S T Struiken, bewegen niet in S Ruiter, beweegt in S Tijdlijn ruiter Wat gebeurt er als de ruiter de bal vooruit gooit met een snelheid van 2 m/s? Tijdlijn struiken X

Een nieuwe invariant: het ruimte-tijd interval (Minkowski) Voor twee gebeurtenissen E1 en E2 heeft in alle referentiestelsels (X2-X1)2 – c2(T2-T1)2 dezelfde waarde. E2 T2 T1 E1 Als X2 = X1 + c(T2-T1) (lichtsnelheid) dan (X2-X1)2 – c2(T2-T1)2 = 0 . X X1 X2

Welke transformaties? T = γ(t+(v/c2)x) X = γ(vt+x) γ = 1/sqrt(1-v2/c2) > 1 T t Het punt (t=0,x=0) valt samen (T=0,X=0) Het punt (t,x = 0) beweegt volgens (T,X = vT) Het punt (t,x = 0) beweegt volgens (T,X = vT) De ruimte is vervormd : (0,x) -> (…,X = γ x > x) De tijd is vervormd : (t,0) -> (T= γ t > t,…) x X

Eerste mogelijkheid om door de tijd te reizen Spreek af met je tweelingzus op (T=0,X=0), nieuwjaarsdag Stap in het assenstelsel (x=0,t=0) dat met snelheid v beweegt t.o.v. (T,X) Blijf daar tot jou kalender het volgende Nieuwjaar aanwijst Stap over in het assenstelsel (x’,t’) dat met snelheid –v beweegt t.o.v. (T,X) Bij je volgende Nieuwjaar ben je terug bij je zus, die 2γ jaar ouder is dan toen je haar verliet. Je bent dus in haar toekomst gereisd. v/c 2*γ 0,5 2,31 0,9 4,59 0,99 14,18 0,999 44,73 0,9999 141,42 0,99999 447,21 0,999999 1414,21

Dit is echt zo. Muonen worden gecreëerd in de ionosfeer door invallende protonen, die via via o.a. vervallen in muonen. Elke minuut gaat er één door elk van je vingernagels. Muonen hebben een halfwaardetijd van ~ 2 microseconde, in die tijd legt het licht 600 m af De ionosfeer begint op 50 km hoogte De muonen zouden dus minstens met een factor 280 moeten gereduceerd zijn Ze komen toch aan op aarde vanwege een snelheid van ~ 0,995 c en γ ~ 20.

Natuurlijke eenheden : c = 1 De lichtkegel : een invariant BereikbareToekomst MogelijkVerleden X T X2 – T2 < 0 X2 – T2 > 0 X = T X = -T

Natuurlijke eenheden : c = 1 Gelijktijdigheid X = T X = -T T = γ(t+vx) X = γ(vt+x) γ = 1/sqrt(1-v2) > 1 x T2 G2 T1 t1 G1 X De volgorde van de gebeurtenissen is omgewisseld: T1 < T2 t2 < t1 t2 De volgorde van de gebeurtenissen buiten de lichtkegel is onbepaald. Gebeurtenissen waartussen een lichtsignaal kan uitgewisseld worden hebben een vaste volgorde.

Terug in de tijd : Stel we kunnen sneller dan c X2 T X = T X = -T x t G2 G1 T2 T1 t2 t1 X1 Vertrek op (T1,X1) Haast je naar (T2,X2) Haast je naar (0,X1) De dikke pijlen zijn verplaatsingen sneller dan het licht en worden verondersteld niet te mogelijk te zijn We hebben ons van (T1,X1) naar (0,X1) verplaatst!

Om terug te reizen in de tijd moeten we het licht te snel af zijn Speciale relativiteit laat dit niet toe Beschrijft het verband tussen inertiaalstelsels (eenparig rechtlijnige beweging) Versnelling en gravitatie zijn niet aangeroerd (wel energie, denk aan E = mc2, maar daar hebben we hier de tijd niet voor) Deze laatste vergelijking lijkt wel aan te geven dat er een verband bestaat tussen massa en energie massa speelt ook een rol bij gravitatie… moet Herr E. gedacht hebben.

Een gedachte-experiment van Einstein Newton: F = m a F = G m M / R2 => a = G M / R2 onafhankelijk van m! Einstein’s equivalentieprincipe: Er is geen fysisch verschil tussen de twee referentiestelsels in de figuur: één onder invloed van een gravitatieveld en één dat versneld wordt.

Anders gesteld De twee skidivers voelen het gravitatieveld van de aarde niet, ze voelen de weerstand opgewekt door de wrijving van de lucht

Nog anders De ruimtewandelaars ervaren geen gravitatieveld, maar eigenlijk zijn ze in vrije val in het gravitatieveld van de aarde

En dus De astronaut in deze capsule in vrije val voelt zich als in een inertiaalstelsel. Wat is het verband tusssen dergelijke stelsels? Hoe verloopt de tijd relatief? Wat gebeurt er met een lichtstraal die door één van de raampjes valt?

Nog een gedachte-experiment Het superballetje beweegt in een boog in het stabiele huis alsof het huis versneld wordt. Zodra het huis in vrije val gaat volgt het balletje een rechte lijn. Dit is met het licht niet anders!

Licht wordt dus afgebogen Newton had al gesuggereerd dat het licht door gravitatie zou afgebogen worden. Einstein voorspelde een afbuiging die tweemaal groter was. Deze werd gemeten tijdens een zonsverduistering in 1919.

Licht is het snelste… Principe van Fermat: het licht volgt steeds de kortst mogelijke weg In een gravitatieveld wordt het licht afgebogen Dit moet dus de kortste weg zijn, Einstein interpreteert dit als een kromming van de ruimte (kortste weg is de rechte)

Een gekromde ruimte Een massa veroorzaakte een kromming van de ruimte. Objecten in vrije val bevinden zich op elk ogenblik in een lokaal inertiaalstelsel.

De tijd loopt trager op het oppervlak van de aarde Denk aan de klok van de kerktoren. Deze bevindt zich eigenlijk in een versneld assenstelsel. Denk aan de tweelingenparadox: versnelling doet de tijd trager lopen De tijd tussen twee tikken van de klok is dus korter dan gezien vanuit een inertiaalstelsel in de ruimte. Gravitationele roodverschuiving

Dit is echt zo Atoomklokken in GPS satellieten worden ontworpen om 38 microseconden per dag trager te lopen dan de klokken op aarde. Dit moet twee effecten compenseren: Snelheid van de satelliet op 20.000 km hoogte Gravitationele vertraging t.o.v. de klokken op aarde

De algemene relativiteitstheorie Marcel Grossman en Albert Einstein Albert Einstein baseerde zich op deze principes om vergelijkingen op te stellen voor een ruimte met massa. Elke oplossing van deze vergelijkingen stelt een mogelijke geschiedenis van de kosmos voor. Sommige oplossingen hebben eigenaardige eigenschappen… Karl Schwarzschild Willem de Sitter en Albert Einstein Albert Einstein en Kurt Gödel

Schwarzschild metriek Het Schwarzschild vacuüm beschrijft de ruimte in de buurt van een niet roterende sferische massa. De Schwarzschild radius (Rs) is een horizon voor de gebeurtenissen. Een niet roterende massa die kleiner is dan de Rs is een zwart gat. Object Mass RS Sun 2.0 × 1030 kg 3.0 × 103 m 3 km Earth 6.0 × 1024 kg 8.7 × 10-3 m 8.7 mm Moon 7.3 × 1022 kg 1.1 × 10-4 m 0.11 mm Jupiter 1.9 × 1027 kg 2.2 m Neutron star 2.8 × 1030 kg 4.2 × 103 m 4.2 km

De Sitter metriek Beschrijft een universum zonder massa dat uitdeint Ons universum zal misschien naar een dergelijke ruimte evolueren Het is ook een eenvoudig model voor het vroege universum vlak na de big bang

Gödel metriek Kurt Gödel’s oplossing beschrijft een vacuüm gevuld met stof dat rond een as draait Niet intuïtief: de as heeft bijvoorbeeld wel een richting maar geen positie Niet realistisch: astronomen (Hubble tel.) nemen geen rotatie waar Bevat TIJDACHTIGE krommen Dit is de eerste theoretische tijdmachine X2 T X = T X = -T x t G2 G1 T2 T1 t2 t1 X1

Wormgaten Bepaalde oplossingen van de vergelijkingen zien eruit zoals hiernaast (maar dan in 4 dimensies). Men denkt dat dit soort objecten op kleine schaal (Planck lengte) veelvuldig voorkomt Dit behoort tot de slecht begrepen quantum versie van gravitatie Reizen door een dergelijk gat creëert een tijdachtige kromme.