Indeling Inleiding op PRM-planners & Medial Axis Retraction van configuraties op de Medial Axis Verbetering van retraction Verbetering van sampling Expliciete benadering van de Medial Axis Conclusie

Gebruikte symbolen Inleiding CConfiguration space FFree space MA(F)Medial Axis van F BObstakels δBGrens tussen B en F

Probabilistic RoadMap planners Genereer random configuraties in work- of configuration space Verbindt configuraties die dicht bij elkaar liggen m.b.v. Local planning method Dit levert een graaf van configuraties op Pathplanning: doorzoeken van deze graaf Inleiding

Eigenschappen Voordelen Eenvoudig principe Makkelijk te implementeren Algoritme loopt relatief snel Nadelen Gaan met name slecht om met smalle doorgangen Aantal samples in een gebied is evenredig met de grootte van de free space in dat gebied Inleiding

Samplingdichtheid ~ F Inleiding

Alternatieve aanpak Gebruik alleen maar samples op de Medial Axis Genereer wel random configuraties, maar gebruik retraction om deze op de medial axis te krijgen Kan sampling-dichtheid verhogen in nauwe doorgangen. Inleiding

Medial Axis (1) Inleiding Variant op Generalized Voronoi Graph Loopt daar, waar het dichtstbijzijnde obstakel niet is gedefiniëerd Ligt zo ver mogelijk van alle obstakels af Is een zgn. Strong Deformation Retract Bevat alle topologische informatie van een polygon, alleen in 1 dimensie minder Maar: duur om expliciet te berekenen

Medial Axis (2) Inleiding

Retraction van F naar MA(F) Stappenplan 1. Genereer een configuratie p in C 2. Bepaal q, het dichtstbijzijnde punt voor p op δB 3. Neem de retraction richting v als qp 4. Beweeg het punt s langs v net zolang totdat q niet langer het enige dichtstbijzijnde punt op δB is  Gebruik bijv. bisection Retraction naar MA(F)

Retraction van B naar MA(F) Alleen retraction van F naar MA(F) helpt niet …want alleen samples die in de eerste plaats in F liggen, komen in aanmerking Maar: retraction van B naar MA(F) kan ook! Eigenlijk van B \ MA(B) naar MA(F) Als sample p in B ligt, neem dan v als pq ipv qp Retraction naar MA(F)

Winst in samplingdichtheid Samplingdichtheid is nu afhankelijk van de dikte van de obstakels Retraction naar MA(F)

Verbetering van retraction (1) Probleem: mapping van p op MA(F) is niet het dichtstbijzijnde punt op MA(F) Verbetering van retraction

Verbetering van retraction (2) Nieuw stappenplan: 1. Retract p naar s op MA(F) 2. Bepaal normaal n van MA(F) op s 3. Beweeg van p in de richting langs n naar MA(F) om s’ te vinden. s’ ligt dichterbij p dan s Maar: werkt niet altijd Verbetering van retraction

Verbetering van sampling Probleem: Smalle doorgangen worden nog steeds minder dicht gesampeld. Met name bij dunne obstakels Oplossing: probeer afhankelijkheid van F en B weg te krijgen Idee: verken MA(F) op een structurele manier Waar een doorgang is, loopt ook MA(F) Verbetering van sampling

Verkennen van MA(F) Houd queue Q bij van samples op uiteinden van MA(F), en een graaf G van al verkende samples Neem eerste elt. van Q als x en genereer verzameling samples P rondom x Voeg edge toe in G voor elke sample in G of Q die dicht bij x ligt. Voor elke sample in P waarvoor retraction naar MA(F) lukt: voeg (geretracte) sample toe aan Q Laatste stap: voor alle cykels in G van lengte 3: dit is een triangle in de polygonale benadering van MA(F) Verbetering van sampling

Expliciete benadering van MA(F) In dit geval: MA(F) hoeft niet precies te kloppen Belangrijkste functie: aangeven van topologie Benader δB door een verzameling punten P Gebruik crust-algoritme op P om MA(F) te verkrijgen Benadering MA(F)

Samplen van δB Precieze vorm van δB is niet nodig Per edge van δB: neem n samples Beweeg vervolgens met window van grootte m over deze samples, en neem gemiddelde van deze samples als nieuwe sample Veel detail in δB -> veel edges -> veel samples Window averaging rond scherpe hoeken af Vereist dat δB bekend is Dus geen hoogdimensionale ruimte! Benadering MA(F)

Expliciete benadering van MA(F) Globaal idee: Maak Voronoi-diagram V van P Genereer Delaunay-triangulatie D van P + V Genereer Delaunay-triangulatie D 1 van V Verschil D – D 1 bepaalt welke edges in V tot de medial axis behoren Dure operaties! …dus algoritme bij voorkeur gebruiken als MA(F) wordt hergebruikt Benadering MA(F)

Expliciete benadering van MA(F)

Conclusies Medial Axis is goed om topologie van MA(F) vast te leggen Verschillende manieren van benaderen Samples in F retracten op MA(F) …of zelfs naar ‘dichtstbijzijnde’ punt op MA(F) Of dmv Delaunay-triangulaties & Voronoi-diagram MA(F) kan ook gestructureerd verkend worden Gebruik van MA(F) bevordert sampling in nauwe doorgangen Retraction naar MA(F)