Kan het ook makkelijker? de vergelijkingen bij een spirograafprobleem door Maarten Smit
Meetkundige benadering Analytische benadering
Parametervoorstelling Eenheidscirkel
Naar de spirograaf Middelpunt kleine cirkel (M) (R=2, r=1) Nu: punt op rand van kleine cirkel (P)
Wat is de parametervoorstelling van de baan van P? Eerst: baan van P ten opzichte van M
We weten: verhouding tussen draaiingshoeken is gelijk aan verhouding tussen de stralen. (P loopt met de klok mee) Maar de kleine cirkel draait met snelheid t tegen de klok in. Dus 2t-t=t:
Baan van M: Baan van P ten opzichte van M: Baan van P?
=
Wat is een ellips? Uitgerekte cirkel ‘Vermenigvuldigen t.o.v. x- of y-as’ Dus ellips is iets in de vorm: Want nu
Naar de ellips Willekeurig punt P op de middellijn van (0,0) naar (2,0) Noem d(P,M)=d Dan baan P t.o.v. M?
Op dezelfde manier hoek t aftrekken: Baan van M is nog steeds Dus baan van P is nu: =
Is dat een ellips? is inderdaad een ellips, omdat
Einde Vragen?