Volumeberekening van omwentelingslichamen

Presentatie over: "Volumeberekening van omwentelingslichamen"— Transcript van de presentatie:

1 Volumeberekening van omwentelingslichamen

2 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte.

3 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H.

4 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H.

5 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H.

6 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H.

7 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H.

8 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H. Volume: …

9 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H. Volume:

10 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H. Volume: Opmerking: De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan ...

11 1. Volume van een (omwentelings)cilinder
Beschouw de (omwentelings)cilinder met R als straal van grond- en bovenvlak en H als hoogte. Deze ruimtefiguur ontstaat door omwenteling van een rechthoek met afmetingen R en H om een zijde met lengte H. Volume: Opmerking: De inhoud van de cilinder die ontstaat door omwenteling van de rechthoek om een zijde met lengte R is gelijk aan

12 2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen. Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte:

13 2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen. Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte: BOL

14 2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen. Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte: BOL → halve schijf

15 2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen. Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte: BOL → halve schijf KEGEL

16 2. Volume van omwentelingslichamen
Uit de ruimtemeetkunde kennen we nog een aantal andere omwentelingslichamen. Ook deze figuren ontstaan door de rotatie van een vlakdeel rond een rechte: BOL → halve schijf KEGEL → rechthoekige driehoek

17 We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de x-as, met f een continue functie in [a,b].

18 We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de x-as, met f een continue functie in [a,b].

19 We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de x-as, met f een continue functie in [a,b].

20 We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de x-as, met f een continue functie in [a,b].

21 We onderzoeken nu de inhoud van alle omwentelingslichamen die ont-
staan door de rotatie van een vlakdeel gelegen in het xy-vlak, begrensd door de krommen met vergelijking y = f(x), y = 0, x = a en x = b, om de x-as, met f een continue functie in [a,b].

22 We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte en breedte wentelen om de x-as.

23 We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte en breedte wentelen om de x-as.

24 We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte en breedte wentelen om de x-as. We krijgen een omwentelingscilinder met volume

25 We verdelen [a,b] in n deelintervallen. In elk deelinterval
kiezen we een willekeurig punt en we laten de rechthoek met lengte en breedte wentelen om de x-as. We krijgen een omwentelingscilinder met volume

26 Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders

27 Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders

28 Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van dit lichaam benaderd door:

29 Indien we het beschouwde omwentelingslichaam opvullen met n gelijk-
aardige omwentelingscilinders, wordt het maatgetal van het volume van dit lichaam benaderd door:

30 De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

31 De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

32 De nauwkeurigheid van de benadering kunnen we verbeteren door de
verdeling van [a,b] te verfijnen. Indien we [a,b] onbeperkt verfijnen, geldt:

33 Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b]. De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings- lichaam zijn dus gelijk aan:

34 Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π
Vermits f continu is in [a,b], is ook de functie π.f 2 continu in [a,b]. De vorige som en dus het volume van het beschouwde omwentelings- lichaam zijn dus gelijk aan:

35 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as.

36 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as. Oplossing:

37 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as. Oplossing:

38 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as. Oplossing:

39 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as. Oplossing:

40 Voorbeeld: Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het vlakdeel begrensd door de kromme y = sin(x), de x-as en de verticale rechten x = 0 en x = 2π te wentelen rond de x-as. Oplossing: