In een 6e klas Jcu: vooral ‘exact’ gemotiveerde leerlingen. Typisch wiskunde D. Wat vooraf ging aan de Analytische Meetkunde Anderhalf uur proeven aan AM. De Algebra, nogmaals. Mooie dromen tot slot

Wat vooraf ging ….

Analytisch word je soms vanzelf [D] Vooraf ging Voronoi-diagrammen Iso-afstandlijnen Basis Euclidische meetkunde Start probleem: Divide the North Sea …..

Verdeel de zee (voor olie) Formuleer een kriterium (voor toekenning van punt aan een land. kriterium vs. constructie

Twee voorstellen Wouter (cs): Voronoi-diagram op hoofdsteden en + isoafstandsl. 50 km uit kust Julia (cs): Net van isoafstandslijnen. Snijdt overeenkomenden. Trek vloeiende lijn

Verfijning in nagesprek Politiek of meetkundig Vaktaal: voetpunt, stootcirkel Voronoi-diagram op duizenden kustpunten

Vooruitlopend, informeel ….. [G] Richting van de conflictlijn in X is Middeloodlijn van voetpunten Ve en Vn (... Maar pas op)

Diepteonderzoek begint met een strak geval

Stukje cirkel of niet? Bewijs? [B] Trappetje toont x en y-stapje! Referentielijn, boven en midden 1e: Die kan die niet zijn.. 2e: Als het een cirkeltje is, dan..

Punt/lijn conflict op het bord Julia’s methode

Algemeen plan Parabool Onderzoeken met cabri….

De Schimmen van de AM verschijnen vanzelf [B,D] Rooster, Pythagoras Meer punten ??????? Per 2; 1, 3, 5, 7 >>>>> ALGEBRA

Daarna: Ellips, hyperbool Raaklijneigenschappen, Redeneren …

Haalt ie dat? leerlingen onderzoek levert op: Helling wordt groter dan van de lijn [G] Als x groter wordt wordt a relatief kleiner. Die heft t op. Kwadraten groeien sterker!! [G] (Is de conflict-parabool ook de y = x2 parabool?) [D]

anderhalf uur Analytische Meetkunde

1 Wat is Analytische Meetkunde [A]

Voorbeeld! Vind vierkant PQ SR op de diagonalen met AS = SR = RB Synthetisch (Euclides), Analytisch (Pappos), Analytisch/Algebraisch (Descartes),

Synthetische aanpak Oplossing wordt geconstrueerd Deellijn BAC Evenwijdig AB Voltooien constructie Deellijn, Z-hoeken ASR gelijkbenig AS= SR, etc. Oplossing wordt geconstrueerd Gevolg door bewijs: waarom is het goed?

Analytisch (Pappos) Eerst oplossing zoeken.. * SAR=SRA=RAB Dus deellijn. ASR gelijkbenig Werk achteruit verder Doe alsof probleem opgelost (maak een schets..) Gegevens! Aangeven in de figuur. Werk vanuit de oplossing achteruit DAARNA: constructie en bewijs.

Descartes 1596-1650 Cogito, ergo sum. Alleen van het denken zijn we zeker.

Analytisch-algebraisch (Descartes) [4, 1] Gezocht lijnstuk x (of y) Stel vergelijkingen op; y + x + y = a y2 + y2 = x2 (pyth) Los op: x = a/ (1 + 2 ) (Construeer oplossing vanuit de formule). y Doe alsof opgelost (schets) Benoem Lijnstukken: a,x,y Zet er zoveel mogelijk bij! Werk vanuit de oplossing achteruit Vertaal naar vergelijkingen Los die op (DAARNA: constructie en bewijs).

Descartes’ La Géométrie uit 1637 elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem; [4,1] elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem; elk algebraïsch probleem kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden. [4,2]

Speciale methode: Afstanden x en y tot Twee vaste lijnen, coordinaten [B, 5] Cabri: descartesvoorb(Mod)

Probleem is verplaatst van Een bewijsstap vinden en expliciet redeneren naar uitvoeren van de algebra en dat is een heel lastig punt ……………………………………………………………………………………………… Voorbeelden … ………………………………………………………………………………………………

2. Cirkelvergelijking opstellen Verschillende vormen, verschillende doelen. [D, 15]

Vergelijking Cirkelvergelijking ???? “Waar denk jij aan?” Oplossen! En jij? “Een vergelijking zegt Ja of Nee.”

Mail met Anne-Lotte in Princeton: Een vraag n.a.v. de cirkelvergelijking: Overigens: ik heb nog nooit vierkantsvergelijkingen gehad, misschien is dat ook een deel van het probleem. [4]

3. Loodrechte stand en Thales gebruiken om vergelijking te bouwen [C 10,11] Remco heeft al: R: …. “Wat moet ik nu??” Ai, ai, ai ?? Nee: kansje! [4] Eindelijk een vráág naar de algebra ….

4. Parametrisering en uitdelen [E 20,21,22] [4] Enige parate kennis zou prettig zijn

Kansen voor beoefenen van Algebra [4] Algebra (be)oefenen binnen een relevant en motiverend kader. Analytisch meetkunde is daar heel geschikt voor Algebra met een PLAN in je achterhoofd Driemaal algebra …….

Algebra: Transformaties [4-7] (x, y) Verschoven over (16, 5). Dus (x-16, y-5) in origineel. Origineel: F(x, y ) = 0 Beeld: F(x-16, y-5 ) = 0

Algebra: ellipsvergelijking

Algebra: ellipsvergelijking [D 15] Algebra doen samen met je klas en maken van een plan….

Hier kun je niet omheen

Ruimtelijke Analytische Meetkunde [E 27-29] Hewet: lessen in Ruimtemeetkunde Dit blijft bescheiden Enkele belangrijke figuren en krommen verkennen

G: Verkenning software bij Analytische meetkunde [H] Cabri

Een paar mooie dromen tot slot?

Algebra: veelterm en factor z = x2 – y2 z = (x – y )(x + y) Twee lijn-vezelingen van het zadelvlak.

Modelling facial expression

Mijn favoriete tekenprogramma 1: Polygon 2: Smooth 3: Reshape

Splines, Bezier-curves t van 0 naar 1 t P + (1-t) Q t3 P + 3t2(1-t) Q + 3t(1-t)2 R + (1-t)3 S

Meetkunde!

Bewijs Bundels!

Vragen ………………….. Materialen op de website Behoeften? Aanvullingen?

Einde