De wiskundige knoop LIO-project Gesubsidieerd door NWO

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
Doe jij ook mee? de samenleving dat ben jij,
Advertisements

Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden
Sudoku puzzels: hoe los je ze op en hoe maak je ze?
WORKSHOP. EEN CPU MAKEN VAN UW COMPUTER. Dinsdag 05 / 04 / Door; Tom Roef, bestuurslid. Sodipa Computerclub.
Averechtse selectie & marktfalen “Een Experiment”
H1 Basis Rekenvaardigheden
Het Web als een graaf Mathematical Institute LAPP-Top C-I We kunnen het (Surface) Web zien als een gerichte graaf: •Iedere webpagina is een knoop… •Er.
Naam: Mijn info : Klik op “Naam”. Vul je naam in. Doe hetzelfde met “sport” Hier kun je een foto / tekening Invoegen.
Kwalitatief en kwantitatief verband
Delen van kennis Interactie Social Media TED Print 2.0 De trend 2.0 Print Het Concept Duurzame verandering.
Marcel Vonk Museum Boerhaave, 10 mei 2010
Welkom bij de cursus Handig met Internet! Handig met Internet -Wat doet u al met internet? -Wat wilt u nog meer met internet doen? -Hoe kunt u beter.
Maak zonder weerstand je proefwerk natuurkunde!
Hoofdstuk 9 havo KWADRATEN EN LETTERS
Kenmerken Veel aanbieders Vrije toe- en uitreding Homogene goederen
PowerPoint.
Wat verandert in perspectief ? Wat verandert NIET ?
Driedimensionale ruimten doorzien Roland van der Veen University of California, Berkeley (NWO rubicon)
Inleiding Adaptieve Systemen
en zijn magisch vierkant
vwo C Samenvatting Hoofdstuk 14
Steven Verstockt 16 februari 2005
BOEK Website (zie Pag xxix in boek)
Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny
Is cosmology a solved problem?. Bepaling van Ω DM met behulp van gravitatie lenzen gevormd door clusters Is cosmology a solved problem?
3.5 Kloppen de alcoholpercentages op de verpakkingen?
Wet inburgering Heleen Veringa
Numerieke Natuurkunde
1 Datastructuren Heapsort (2e deel) College 5. 2 Vandaag  Heaps en Heapsort  (eind)  Nog sneller sorteren:  Ondergrenzen  Linair sorteren.
Presentatie over Gras Parkieten
The art of game design Hoofdstuk 20 en 21.
Δ x vgem = Δ t Eenparige beweging
Hogere wiskunde Limieten college week 4
De balans methode Een goede methode om vergelijkingen mee op te lossen
Natuurkunde Samenvatting Paragraaf 1 + 2
Natuurkunde Paragraaf 3.4 & 3.5
Hoofdstuk 5 De stelling van Pythagoras
Inleiding CIW 2008 Analysecollege 1. Analysevraag 1 Bekijk de reclame van Bol.com waarbij mensen vragen naar een bepaalde film, maar vervolgens een product.
Uitwerkingen - GO Natuurkunde - Vwo5 SysNat V4B- Hfd.8 - Elektriciteit
De beste hypotheek tegen de laagste kosten! Door de kredietcrisis, eurocrisis, etc wordt het steeds lastiger om exact te berekenen hoeveel hypotheek u.
Toepassing 30% regeling TU/e Bert Voets 12 juni 2007.
De stelling van Pythagoras
Tellen van Stemmen … FEB, Studiedag Leraren Wiskunde, 6 mei 2010 Luc Lauwers.
Verbanden JTC’07.
Patiëntveiligheid Wij doen er alles aan om uw behandeling zo veilig mogelijk te doen verlopen. Zelf kunt u hieraan ook bijdragen. Hier volgen 6 tips wat.
Welkom bij Immersive space, de flashles Tijdens deze lessen, leren wij je werken met het programma adobe flash.
ABC formule Algemeen Voorbeeld: Herleid naar: Nu volgorde veranderen:
MINECRAFT PLAATJES TUTORIAL #2 CRAFT YOUR BACKGROUND.
MINECRAFT PLAATJES TUTORIAL #1 ZWAMBIE ZWAMBIE ZWAMBIO!
Bachelor/Master-stelsel Een faculteit op weg naar morgen.
Gecijferdheid les 1.4 Grootst gemene deler Kleinst gemene veelvoud
Java Objectgeoriënteerd Programmeren in Java met BlueJ Hoofdstuk 8: Gebruikersinterface © 2014, Gertjan Laan, versie 2.
verhoudingen – breuken – procenten - kommagetallen
Keuzemodule Groen Ondernemen Coen van Wetering
Teachers Teaching with Technology™ Bouwen van dynamische modellen voor de Nspire 1 Cathy Baars Jaco Scheer.
Klazine Verdonschot 7 november 2013 Masterclass 9: Blackboard optimaal inzetten.
Inhoud Breuken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen).
Grafieken in de natuurkunde Ga verder Dia’s worden stap voor stap automatisch ingevuld Ga verder Pas als rechtsonder verschijnt, klik dan voor de volgende.
Les 8 meten en meetkunde in huis
Kennismaking met programmeren
Programmeren met Reeksen
Beste ath 4..
Herhaling Hoofdstuk 4: Breking
Hoofdstuk 9 M&O + in groepjes Havo3 iPad.
Worksjop van de MakAIRsjop
Economisch bekeken Mavo 4
Hoofdstuk 17 Breuken basis. Hoofdstuk 17 Breuken basis.
Tellen met kaarten.
Schatten en afronden.
Vermenigvuldigen en delen. Toepassen.
Transcript van de presentatie:

De wiskundige knoop LIO-project Gesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der Roest Begeleider: Arjeh Cohen Plaats: Technische Universiteit Eindhoven

Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht

Gemaakt door Shinkichi Tajiri

Borromean ringen op Iso la Bella

Mastworp (voor de zeilers)

Achtknoop (voor de bergbeklimmers)

Decoratieve knoop

knopentruck

wiskundige knoop Een knoop is een gesloten kromme in de drie dimensionale ruimte die geen zelfdoor-snijdingen heeft

wiskundige knoop Andere benadering om knopen te bestuderen: α: S1 → S3 is een inbedding van een knoop bestudeer nu de topologie van de complementaire ruimte S3-α(S1)

wiskundige knoop of onderzoek hoe gekromd de gesloten kromme is stelling van Fary-Milnor: als de totale kromming ∫κ ≤ 4π dan is de knoop de triviale knoop als de totale kromming ∫κ > 4π dan is de knoop echt geknoopt

Van knoop naar diagram Projecteer de knoop op een plat vlak Geef duidelijk aan of je een boven- of onderkruising hebt

wiskundige knoop Eén van de hoofdvragen: welke knopen zijn er en wanneer zijn knopen echt verschillend knopentabel

wiskundige knoop 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 21 49 165 552 2176 9988 ?

wiskundige knoop Twee voorbeelden van knopen die er ingewikkeld uit zien, maar eenvoudige knopen blijken te zijn

Hoe onderscheiden we knopen die gelijk zijn? Kurt Reidemeister beschreef drie bewegingen op een knoopdiagram: R1

R2

R3

Reidemeister stelde: als knoop K en L isotoop zijn, bestaat er een eindige rij Reidemeisterbewegingen die het diagram van knoop K overzet in het diagram van knoop L. Opmerking: als dit niet lukt weet je nog niets; misschien ben je gewoon niet handig genoeg!

invarianten Een invariant is een eigenschap van een knoop die niet veranderd als we de knoop “vervormen”. Een invariant blijft dus behouden onder de Reidemeistebewegingen.

invarianten Aantal kruisingen: nee Verstrengelingsgetal: nee Schakelgetal: ja Aantal driekleurigen: ja Veeltermen: ja

verstrengelingsgetal Een kruising in een diagram krijgt de waarde +1 of -1 met de volgende systematiek Het verstrengelingsgetal is de som van die waardes van de kruisingen.

verstrengelingsgetal Verstrengelingsgetal w(T) = -3

verstrengelingsgetal Geen invariant: voeg een extra kruising toe met behulp van R1; de totale som zal veranderen.

driekleuringen Een diagram wordt gekleurd met drie kleuren volgens de regels: Bij een kruising komen precies drie kleuren Bij een kruising komt precies één kleur

driekleuring Invariant na te gaan met de Reidemeisterbewegingen

driekleuring

Kauffman-haakje Een veelterm die uitgerekend wordt voor een niet-georiënteerd diagram Het vlak wordt door een kruising in “vieren” gedeeld en volgens de onderstaande systematiek benoemd:

Kauffman-haakje Vervolgens splitsen we de kruising:

Kauffman-haakje We doen dit voor elke kruising en zo kunnen we voor een diagram met n kruisingen 2n nieuwe diagrammen maken, die toestanden noemen.

Kauffman-haakje Definitie: Zij K een knoop en S een toestand van het knoopdiagram; c(S) is het aantal componenten; a(S) het aantal A-splistsingen en b(S) het aantal B-splitsingen Kauffman-haakje wordt berekend met de formule:

Kauffman-haakje

Kauffman-haakje Berekening van Kauffman-haakje voor de klaverbladknoop: zie werklblad

Kauffman-haakje <T> = A3d2 + 3A2Bd + 3AB2 + B3d Op grond van de invariantie onder de Reidemeisterbewegingen moet er voor A, B en d de volgende relaties gelden: B = A-1 d = -(A2+A-2) gevolg: <T> = A7 − A3 − A-5

Kauffmanveelterm Kauffmanveelterm voor een georiënteerd knoopdiagram: w(K) is het verstrengelings-getal van knoop K en <K> is de Kauffman-haakje dan is de Kauffamanveelterm: fK(A)=(−A)-3w(K)<K>

Kauffmanveelterm In ons voorbeeld: w(T) = -3 = -A16 + A12 + A4 fK(T) = (-A)9(A7 − A3 − A-5) = -A16 + A12 + A4 Merk op dat wanneer je elke bovenkruising verandert in een onderkruising de veelterm verandert in fL = -A-16 + A-12 + A-4 en op grond daarvan kunnen we zien dat K en L verschillend zijn.

Jonesveelterm Weefrelatie

Jonesveelterm De Jonesveelterm VK is gedefinieerd voor een georiënteerd diagram en maakt gebruik van de weefrelatie: voor een diagram dat op één kruising verandert geldt de volgende bewering:

Jonesveelterm Gevolg van deze definitie is: bevat een knoop K niet geschakelde componenten dan is de Jonesveelterm:

Jonesveelterm

Jonesveelterm Voorbeeld:

Jonesveelterm

vlechten

vlechten

vlechten

vlechten Elke vlecht is een knoop Elke knoop is een vlecht Algoritme van Yamada-Vogel knoop

literatuur boeken: The Knot Book Colin C. Adams Knots and Physics Louis H. Kauffman Knots Alexei Sossinsky

internet Homepage van Dror Bar-Natan, met onder andere de knopenatlas http://www.math.toronto.edu/~drorbn/ Een webpage gemaakt door Stuart Rankin; hiermee kun je mooie plaatjes maken van elke knoop die je maar wilt hebben. http://srankin.math.uwo.ca/index.php Een webpage gemaakt door Robert Scharein. Deze page bevat veel links; je kunt er ook het programma KnotPlot downloaden. http://knotplot.com/ Een page gemaakt door Bryson R. Payne. Veel informatie over de knopentheorie. http://www.freelearning.com/knots/index.htm