Het algoritme van Euclides Presentatie gemaakt door: Johannes Kruisselbrink & Peter Rutgers Euclides aan het werk op een school in Athene.
Probleem stelling Los op: a * x = 1 (mod y) Hoe bepaal ik a (de inverse) zonder te gokken (x,y bekend)
Voorwaarden voor: a * x = 1 (mod y) a is een getal tussen de 0 en de y De gekozen x en y moeten relatief priem zijn. Relatief priem houdt in dat de ggd 1 moet zijn.
Voorbeeldsom a * 7 = 1 (mod 32) Stap 1: Bepaal de ggd m.b.v Euclides Stap 2: Anders schrijven Stap 3: Terugrekenen Stap 4: Uitkomst a Stap 5: Controle
Stap 1: Bepaal ggd Dus de ggd is 1 a * 7 = 1 (mod 32) Oude methode 32 / 7 = 4 rest 4 7 / 4 = 1 rest 3 4 / 3 = 1 rest 1 Nieuwe methode 32 = 4 * 7 + 4 7 = 1 * 4 + 3 4 = 1 * 3 + 1 Dus de ggd is 1
Stap 2: Anders schrijven Nieuwe methode 32 = 4 * 7 + 4 7 = 1 * 4 + 3 4 = 1 * 3 + 1 Anders geschreven 4 = 32 - (4 * 7) 3 = 7 - (1 * 4) 1 = 4 - (1 * 3)
Stap 3: Terugrekenen Uitwerking stap 2 Terugrekennen m.b.v. stap 2 4 = 32 - (4 * 7) 3 = 7 - (1 * 4) 1 = 4 - (1 * 3) Terugrekennen m.b.v. stap 2 1 = 4 - (1 * 3) 3 invullen 1 = 4 - (7 - (1 * 4)) Haakjes wegwerken 1 = 4 - 7 + 4 Laat de 4 staan 1 = (2 * 4) -7 4 invullen 1 = 2 (32 - (4 * 7)) - 7 Haakjes wegwerken 1 = 2 * 32 - 8 * 7 - 7 In 7’s en 32’s schrijven 1 = 2 * 32 - 9 * 7 Leidt het antwoord af
Stap 4: Uitkomst a Antwoord: a (inverse) is 23 1 = 2 * 32 - 9 * 7 -9 * 7 = 1 (mod 32) Aangezien de a tussen de 0 en 32 moet liggen tellen wij 32 bij -9 op. Antwoord: a (inverse) is 23
Stap 5: Controle De inverse van 7 (mod 32) = 23 23 * 7 = 161 161 / 32 = 5 rest 1 Is gelijk aan 23 * 7 = 1 (mod 32) De inverse van 7 (mod 32) = 23