Kansbomen Veel kansexperimenten bestaan uit 2 of meer experimenten, denk maar aan: - het gooien met 3 dobbelstenen - het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk - uit 2 vazen elk één knikker pakken De experimenten in deze voorbeelden zijn onafhankelijk van elkaar, omdat ze elkaars uitkomsten op geen enkele wijze beïnvloeden. Om bij dit soort samengestelde kansexperimenten kansen te berekenen, kun je gebruik maken van een boomdiagram.

Kansberekening en combinatoriek Een deel van de statistiek is het berekenen van de kans dat iets kan gebeuren. Dit wordt de rekenkundige statistiek genoemd. De andere vorm is de beschrijvende statistiek. Deze beschrijft hoe een populatie eruit ziet. bv. Gemiddelde, modus e.d. Een populatie is een verzameling van te onderzoeken elementen b.v. personen of dingen

Systematiek Systematisch opschrijven is belangrijk bij het bepalen van kansen. Voor het bepalen van een kans is het belangrijk te weten hoeveel mogelijke antwoorden er in totaal zijn. En hoeveel van alle mogelijke antwoorden er de juiste zijn. Vb. Stel je hebt twee loten gekocht van in totaal 80 loten en er is maar 1 prijs. Jij hebt dan 2 goede mogelijkheden op de in totaal 80 mogelijkheden we zeggen nu: 2 op de 80 dat je wint.

Absolute kans De kans op iets is als volgt gedefinieerd: aantal gunstige mogelijkheden Kans = totaal aantal mogelijkheden De kans op het trekken van een harten kaart uit een volledig pak kaarten (52) is : 13 1 Pharten = = 52 4 De P staat voor het franse woord probabilité

Relatieve kans(1) Soms weet je alleen hoeveel procent van een groep aan de eisen van een experiment voldoet. Deze kan bepaald worden door een relatieve frequentie verdeling van een steekproef te bepalen. (te berekenen uit een frequentie verdeling die je kent uit de beschrijvende statistiek) De zo gevonden kans heet dan de relatieve kans. P.S. Een kans ligt altijd tussen 0 en 1 of tussen de 0 en 100%

Relatieve kans(2) Vb. Uit een steekproef is gebleken dat 6 openingsstrippen van 120 rollen beschuit niet goed werken. De kans dat het openen van een door jou gekochte rol beschuit fout gaat is 1/20 = 5% , is een kans van 0,05 We nemen steekproeven omdat het niet mogelijk is om alle elementen van een groep te onderzoeken. Dit is te tijdrovend en meestal erg kostbaar.

Onafhankelijke gebeurtenis Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin. Beide draaien los van elkaar. We zeggen dan dat de kansen onafhankelijk zijn van elkaar De kans dat de pijl blijft staan op licht blauw en paars is : 1/4 * 1/2 = 1/8 De kans dat de pijl blijft staan op geel en rood : 1/4 * 1/4 = 1/16

Afhankelijke gebeurtenis Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin. Beide zijn vast gemaakt aan elkaar. We zeggen dan dat de kansen afhankelijk zijn. De kans dat de pijl blijft staan op licht blauw en paars is : 1/4 De kans dat de pijl blijft staan op geel en rood is : 0 = nul

Kans bij een boomdiagram Je staat 8 plaatsen verwijdert van het einde van ganzenbord. Hoe groot is te kans dat je bij de volgende worp hebt gewonnen? Het experiment is hier: het gooien met twee dobbelstenen. 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Er zijn 5 juiste uitkomsten van in totaal 36 mogelijke uitkomsten, dus de kans dat je in één beurt wint is : 5/36

Zonder terugleggen Hoe groot is de kans op het trekken van een harten kaart uit een volledig pak kaarten? 13/52 Hoe groot is de kans op het trekken van nog een harten kaart uit hetzelfde pak kaarten? 12/51 Hoe groot is de kans op het trekken van nog een harten kaart uit hetzelfde pak kaarten? 11/50 Hoe groot is de kans op het trekken van een zwarte kaart uit hetzelfde pak kaarten? 26/49

Kansboom In een vaas zitten 3 rode en 1 witte bal. In een andere vaas zitten 2 rode en 1 zwarte bal. P(rr)= P(rz)= P(wr)= P(wz)= P(minstens 1 rode) = 1-P(geen rode) =

Draaiende schijven Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom. 6.1

Onafhankelijke kansexperimenten We gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijn. Dat betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden, alleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigen. Als de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen. Afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor. 6.1

Voorbeeld a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4 = 2/24 ≈ 0,083 b P(ke,ke,ke) = 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 0,25 c P(ci,ci,ba) = ¼ × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0 = 0

De product-, de som- en de complementregel De productregel Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt: P(G1 en G2) = P(G1) . P(G2) De somregel Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) De complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement–gebeurtenis) 6.1

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 6.1

Voorbeeld Op weg naar huis komt Marieke 3 voetgangersstoplichten tegen. De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2. Bereken de kans dat Marieke: a 3 keer kan door lopen b 1 keer moet wachten, maar niet voor de derde. a P(3 keer doorlopen) = P(g,g,g) = (1 - 0,4) × (1 - 0,7) × (1 - 0,2) = 0,144 b P(één keer wachten, niet voor de derde) = P(r,g,g) + P(g,r,g) = (0,4 × 0,3 × 0,8) + (0,6 × 0,7 × 0,8) = 0,432

Een experiment 2 of meer keer uitvoeren Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer keren uitvoert. 6.2

Voorbeeld Ellen gooit 5 keer met een viervlaksdobbelsteen. a P(geen enkele keer 2) = ≈ 0,237 b P(drie keer 2) = · · ≈ 0,088 c P(drie keer 2 en twee keer 1) = · · ≈ 0,010 d P(minstens twee keer 1) = 1 – P(geen 1) – P(één keer 1) = 1 - - · · ≈ 0,367 5 3 4 3 2 5 3 1 4 3 4 3 2 5 3 1 4 1 4 5 1 4 3 4 5 1 1 4 3 4

Voorbeeld 2 Anne gooit met 6 dobbelstenen a P(drie keer 4) = · · ≈ 0,054 b P(minstens één 6) = 1 - P(geen 6) = 1 - ≈ 0,665 c P(zes verschillende) = =6! · · · · · · ≈ 0,015 d P(twee zessen en geen vijf) = · · ≈ 0,082 3 3 6 3 1 6 5 6 6 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 2 4 6 2 1 6 5 6

Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor per keer.

Voorbeeld Lotte en Gijs spelen een tenniswedstrijd, best of three Voorbeeld Lotte en Gijs spelen een tenniswedstrijd, best of three. De kans dat Lotte een set wint is 0,6. a P(Lotte wint in 2 sets) = P(LL) = 0,6 × 0,6 = 0,36 b P(Gijs wint de 1e en Lotte de volgende twee sets) = P(GLL) = 0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,144 c P(de partij duurt 3 sets) = P(LGL) + P(LGG) + P(GLL) + P(GLG) = 0,6 × 0,4 × 0,6 + 0,6 × 0,4 × 0,4 + 0,4 × 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,6 × 0,4 = 0,48

Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7. Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als Spreek uit : 7 boven 4. Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 7 4

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r,2w,1b) = ? volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken, dat kan op manieren Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r,1w,2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren 8 2 4 2 3 1 2+2+1=5 8+4+3=15 . . 15 5

Het vaasmodel Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel. 6.3

voorbeeld ≈ 0,632 probleem gloeilampen in dozen van 20 stuks willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd in een doos zitten precies 2 defecte lampen vaasmodel vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen antwoord P(goedkeuring) = P(4 goed) = 2 18 4 ≈ 0,632 20 4

Trekken met en zonder terugleggen

Kleine steekproef uit grote populatie Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

Toevalsvariabelen Bij het kansexperiment wordt aselect (= willekeurig) een leerling uit de klas gekozen. Je kunt daarbij geïnteresseerd zijn in de leeftijd van de leerling. De leerling geven we aan met de letter X Dus X = de leeftijd van de leerling. Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. Er is nog een toevalsvariabele gedefinieerd, Y = het aantal keer sporten per week complementregel  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)

Voorbeeld In een grabbelton zitten 20 doosjes. In 8 van deze doosjes zit een briefje van 10 euro, de overige 12 doosjes zijn leeg. Arjan pakt 2 doosjes uit de grabbelton X = het totale bedrag in de 2 doosjes P(X = 20) = P(2 doosjes met 10 euro) = ≈ 0,147 P(X > 0) = 1 – P(X = 0) = 1 – P(2 lege doosjes) = 1- ≈ 0,653 8 2 20 2 12 2 20 2

Kansverdelingen De kansverdeling van X ( het positieve verschil van het aantal ogen van twee dobbelstenen) is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld. kanshistogram De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. Uniform verdeelde toevalsvariabele  kansverdeling waarin alle kansen gelijk zijn.

In een vaas zitten 8 rode, 4 blauwe en 6 witte knikkers voorbeeld In een vaas zitten 8 rode, 4 blauwe en 6 witte knikkers Jantine pakt met terugleggen 3 knikkers uit de vaas X = het aantal rode knikkers dat Jantine pakt Y = het aantal verschillende kleuren dat Jantine pakt P(X = 2) = P(2r) = · P(rrr) = · · ≈ 0,329 P(Y = 3) = P(rbw) + P(rwb) + P(brw) + P(bwr) + P(wrb) + P(wbr) = 6 · P(rbw) = 6 · · · ≈ 0,198 2 3 2 3 2 8 18 10 18 8 18 4 18 6 18

Onafhankelijke toevalsvariabelen De gebeurtenissen G1 en G2 zijn onafhankelijk als P(G1 onder de voorwaarde G2) = P(G1). P(X = 1 onder de voorwaarde Y = 0) = P(X = 1) dus de gebeurtenissen X = 1 en Y = 0 zijn onafhankelijk. P(X = 0 onder de voorwaarde Y = 0) ≠ P(X = 0) We zeggen dat de toevalsvariabelen X en Y afhankelijk zijn. De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt : P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x). 64

Voorbeeld X = de leeftijd van de leerling Y = het aantal keer dat de leerling in Griekenland op vakantie was. a P(X = 15 onder de voorwaarde Y = 0) = = 0,5 b P(X = 17 onder de voorwaarde Y = 0) = = 0 c P(X = 15 onder de voorwaarde Y = 1) = = 0 d P(X = 17) = ≈ 0,188 P(X = 17 onder de voorwaarde Y = 0) = 0 25 50 50 25 15 80 Niet gelijk, dus X en Y zijn niet onafhankelijk.

Vertaal de opgave eerst naar een ‘Kans op’ notatie, dus opgave D 1 Eline gooit met vier zuivere dobbelstenen Bereken de kans dat zij: Met elke dobbelsteen meer dan 4 ogen gooit. Geen enkele zes gooit. Met minstens 1 dobbelsteen meer dan twee ogen gooit. Vertaal de opgave eerst naar een ‘Kans op’ notatie, dus P( ………… ) a P(5of 6 , 5of 6, 5 of 6, 5of 6) b P( geen 6,geen 6,geen 6,geen 6) c 1 - P(0 keer 2 ogen of 1 maal 2 ogen)

opgave D 5 Een vaas bevat zeven groene en vijf blauwe knikkers. Lisette pakt 1 voor 1 knikkers uit de vaas. Ze gaat daarmee door totdat zij een groene knikker pakt. Bereken de kans dat zij: Twee knikkers moet pakken. Vijf knikkers moet pakken. a P( b g) b P( b b b b g)

Bij 20 keer gooien P ( 2 keer som 4) = b P( minstens 17) = opgave D 6 Jeroen gooit een aantal keer met drie dobbelstenen. Bereken de kans dat hij bij 20 keer gooien precies 2 keer ‘som 4’ krijgt. Bereken de kans dat hij bij 10 keer gooien precies 1 keer minstens 17 ogen gooit. Jeroen wil zo vaak met de drie dobbelstenen gooien, dat de kan op minstens 1 keer som is 17 groter is dan 0,4. Bereken hoe vaak Jeroen minstens moet gooien. a P( som = 4) = Bij 20 keer gooien P ( 2 keer som 4) = b P( minstens 17) = P (17) of P(18) = Bij 10 keer gooien P( 1 keer minstens 17) = c P (som = 17 ) = P( minstens 1 keer ) = 1 – P( geen keer)

a P( ccjc) + P( cjcc) + P(jccc) + P(jjcj) + P(jcjj) + P(cjjj) = opgave D 7 Cees en Jan poolen al jaren tegen elkaar. Uit ervaring is bekend dat de kan dat Cees wint 0,7 is. Dus de kans dat Jan wint is 0,3. Cees en jan spelen een wedstrijd over maximaal vijf partijen. Degene die als eerste drie partijen wint is de winnaar. Bereken de kans dat: De wedstrijd na 4 partijen is afgelopen. Cees de wedstrijd wint. a P( ccjc) + P( cjcc) + P(jccc) + P(jjcj) + P(jcjj) + P(cjjj) = b P( ccc) + 3 x P( ccjc) + 6 P( jjccc) =

a P( 3v 2m) = zonder teruglegging b P( 3v 2m) = met teruglegging opgave D 8 De sectie wiskunde bestaat uit negen mannen en zeven vrouwen. Voor een bijscholingscursus worden willekeurig 5 sectie leden gekozen. Bereken de kans dat er precies 3 vrouwen bij zijn. Elk jaar wordt door loting de sectie voorzitter aangewezen. Bereken de kans dat in vijf opeenvolgende jaren 3 keer een vrouw sectievoorzitter uit de bus komt. a P( 3v 2m) = zonder teruglegging b P( 3v 2m) = met teruglegging

Robert laat de schijf uit figuur 6.27 twee keer draaien. Hierbij is: opgave D 10 Robert laat de schijf uit figuur 6.27 twee keer draaien. Hierbij is: X = de som van de aangewezen getallen. Y =het niet negatieve van de aangewezen getallen. Bereken exact P( X = 10), P(x <= 8 ) en P( Y> 0 ). Zijn X en Y onafhankelijke variabelen? Licht toe. a P( 3v 2m) = zonder teruglegging b P( 3v 2m) = met teruglegging