Rekenen, denken, modelleren Bert Zwaneveld Studiedag NVORWO

Overzicht Deze toespraak gaat over: Inleiding en iets over mezelf Rekenen en de maatschappij Goed kunnen rekenen Wie moet wat waarom kennen en kunnen? Spanning tussen het rekenen in de klas en rekenen op termijn Rekenkundig modelleren Afsluiting Studiedag NVORWO

Inleiding: wie ben ik? 1967 – 1986 wiskundeleraar, auteur wiskundeleerboeken voor de bovenbouw van havo en vwo, conrector 1986 auteur voor wiskundecursussen en daarna cursusteamleider van een aantal van die cursussen bij de faculteit technische wetenschappen (tw), inmiddels faculteit informatica van de Open Universiteit 1994 start promotieonderzoek naar structurering wiskundige kennis 1999 promotie op ‘Kennisgrafen in het wiskundeonderwijs’ 2004 hoogleraar bij het Ruud de Moor Centrum (OU) in de professionalisering van leraren, in het bijzonder in het wiskundeonderwijs en het informaticaonderwijs Studiedag NVORWO

Inleiding: vandaag De maatschappij verwacht meer en meer dat leerlingen vlot allerlei berekeningen kunnen uitvoeren, aan het eind van de basisschool, in het voortgezet onderwijs en het middelbaar beroeps onderwijs. Vanaf 2013/2014 worden de rekentoetsen die dit nagaan verplicht. In de discussies hierover worden vaak het door de maatschappij verwachte automatiseren van de rekenvaardigheden gesteld tegenover het gebruiken en toepassen van rekenen in allerlei situaties (gecijferdheid). In dit laatste geval moeten de leerlingen meer kennen en kunnen dan de geautomatiseerde rekenregels. Je verstand gebruiken is daarbij cruciaal. In deze toespraak wordt een aanpak besproken waarbij geprobeerd wordt beide, rekenen én denken, met elkaar in balans te brengen. Rekenkundig modelleren is daarbij het kernthema. Studiedag NVORWO

Rekenen en de maatschappij Rekenen als burger Rekenen voor beroep Rekenen voor het vervolg: school, opleiding Studiedag NVORWO

Goed kunnen rekenen Structuur van rekenkundige/wiskundige kennis Begrippen: niet zozeer de definitie als wel de betekenis Bewerkingen op die begrippen, maar bewerkingen zijn zelf natuurlijk ook weer begrippen Eigenschappen van begrippen en bewerkingen indringende voorbeelden: voorbeelden waarmee iets geïntroduceerd wordt, en waarop teruggevallen kan worden als het begrip of de bewerking even weggezakt is Studiedag NVORWO

Structuur van rekenkundige/wiskundige kennis begrip bewerking eigenschap indringend voorbeeld Studiedag NVORWO

Goed kunnen rekenen, een voorbeeld: twee soorten delingen Verdelingsdeling: 12 knikkers over 3 kinderen verdelen: 12 : 3 = ? Verhoudingsdeling: 20 kinderen over karretjes van de achtbaan met 4 zitplaatsen verdelen: 20 : ? = 4 Wiskundig gezien: a / b = x en a / x = b zijn beide equivalent met a = b ∙ x (of a = x ∙ b, maar dat is het zelfde) In deze zin is er maar een soort deling. Studiedag NVORWO

Twee soorten delingen: verdelingsdeling 12 knikkers voor 3 kinderen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Je haalt steeds 3 knikkers weg en geeft daarvan elk kind er 1. Er wordt herhaald 3 afgetrokken. 11 12   Kind 1 Kind 2 Kind 3 Ronde 1 1 2 3 Ronde 2 4 5 6 Ronde 3 7 8 9 Ronde 4 10 11 12 Studiedag NVORWO

Twee soorten delingen: verhoudingsdeling 20 kinderen verdelen over karretjes met 4 zitplaatsen voor 3 kinderen Je haalt steeds 4 kinderen weg (die in een karretje kunnen plaatsnemen). Er wordt herhaald 4 afgetrokken. Kinderen genummerd van 1 tot en met 20. Ronde 1 1 2 3 4 Ronde 2 5 6 7 8 Ronde 3 9 10 11 12 Ronde 4 13 14 15 16 Ronde 5 17 18 19 20 Studiedag NVORWO

Belangrijke eigenschap van delen In het eerste voorbeeld is 3 bij wijze van spreken de nieuwe ‘eenheid’ en 12 bestaat uit 4 van die eenheden. In het tweede voorbeeld is 4 de nieuwe eenheid en 20 bestaat uit 5 van die eenheden. De gelijkwaardigheid van de delingen a : b = x en a : x = b betekent dat we uiteindelijk kunnen volstaan met a : b en dat dit betekent dat we bepalen uit hoeveel eenheden met omvang b het getal a bestaat. En dit geldt voor alle getallen, ook voor breuken. Studiedag NVORWO

8/3 : ¾ = 3 5/9; controle: 8/3 x 4/3 = 32/9 = 3 5/9 Breuken delen 2 2/3 : 3/4 = 8/3 : ¾ nieuwe eenheid van 9 vierkantjes Er gaan 3 nieuwe eenheden in deze 32 vierkantjes, blijver er 5 over. Wat overblijft is 5/9 van deze nieuwe eenheid: 8/3 : ¾ = 3 5/9; controle: 8/3 x 4/3 = 32/9 = 3 5/9 Studiedag NVORWO

Goed kunnen rekenen de betekenis de belangrijkste eigenschappen, zeker ook met het oog op het vervolg de meest indringende voorbeelden het oefenen daarvan in combinatie met het gebruiken van de bijbehorende elektronische hulpmiddelen Studiedag NVORWO

Wie moet wat waarom kennen en kunnen Wat: betekenis, eigenschappen, indringende voorbeelden Waarom: als burger (na de school en opleiding): dan moeten een beperkt aantal zaken automatisch gaan; vaak gebruik je elektronische hulpmiddelen waaronder het internet; voor het vervolg (voortgezet onderwijs/wiskunde ) moet je veel paraat hebben; en sommige leerlingen daarna ook in opleiding en/of beroep Wie: daar ligt het probleem voor de leerkrachten, want je weet nog lang niet wie precies wat gaat doen. Hoog inzetten dus! Studiedag NVORWO

Doorlopende leerlijn 1: 12 jaar 2: ongeveer 16 jaar Studiedag NVORWO

Spanning tussen rekenen in de klas en rekenen op termijn Onderzoek Inspectie Wetenschappelijk onderzoek Bestuurlijke beschouwing Studiedag NVORWO

Onderzoek Inspectie 2007 In het najaar van 2007 een toets onder 9795 leerlingen van brugklassen van 146 scholen voor voortgezet. De deelnemende leerlingen waren als volgt over de verschillende sectoren van ons voortgezet onderwijs verdeeld: Van deze volgden 1.269 leerwegondersteunend onderwijs. De toets bestond uit dertig gesloten vragen. Het vbmo, inclusief vbmo-t: 59%; inmiddels niet meer heel goed in overeenstemming met de huidigeverdeling: bij de lopende eindexamens: 51% eindexamen vmbo en 49% eindexamen havo/vwo. Studiedag NVORWO

Onderzoek Inspectie 2007 Studiedag NVORWO

Wetenschappelijk onderzoek In de volgende figuur is links van een rechthoek rood gekleurd, rechts is daarvan blauw gekleurd. Dan wordt gevraagd: hoeveel is x ? En dan: Je ziet dus x = . Dan volgen nog twee of drie voorbeelden van het vermenigvuldigen van breuken en dan staat er: Je ziet dus: Studiedag NVORWO

Bestuurlijke beschouwing: model van Tops instrumentele logica culturele logica situationele logica institutionele logica leraar Studiedag NVORWO

kortetermijn-doelstellingen Mogelijke aanpak kortetermijn-doelstellingen langetermijn-doelstellingen achterwaarts: wat voorwaarts: hoe Studiedag NVORWO

Rekenkundig modelleren probleem model oplossing vertalen oplossen interpreteren Studiedag NVORWO

Modelleren bij rekenen Vader strooit kunstmest op het gazon. Op het pak staat: 6 kg, voldoende voor 250 m2. Het gazon is 375 m2. Hoeveel kilo kunstmest heeft vader nodig? A 3 kg C 9 kg B 8 kg D 10 kg Studiedag NVORWO

Rekenkundig modelleren Breedte- en dieptedoelstelling komen bij elkaar Concrete problemen en rekenen Rekenkundige kennis en verstand gebruiken komen bij elkaar Verstand bij vaststellen wat er echt toe doet Rekenkundige kennis en verstand bij vaststellen wat de samenhang is Rekenkundige kennis bij het uitrekenen Verstand bij nagaan of het klopt Studiedag NVORWO

Rekenkundig modelleren: een voorbeeld In een plaats moet er 1,5 km gasleiding worden aangelegd. Per dag wordt 30 m gedaan. Hoeveel dagen duurt de aanleg? Voorkomende elementen: gasleiding met een lengte van 1,5 km stuk per dag: 30 m Samenhang tussen lengte leiding en stuk per dag: het aantal van die stukken van 30 m dat past in die 1,5 km maar zeker ook de opmerking dat in de praktijk die 30 m per dag natuurlijk nooit op de meter nauwkeurig gerealiseerd wordt, dat zal een soort gemiddelde zijn Studiedag NVORWO

Rekenkundig modelleren: een voorbeeld 2 Rekenkundige kennis gebruiken: (bij de eerste stap van de samenhang) het aantal van die stukken van 30 m dat past in die 1,5 km; dus: 1,5 km : 30 m (eigenlijk is dit het rekenkundige model) eenheden gelijk maken: 1500 m : 30 m (eventueel) vereenvoudigen: 150 : 3 = 50, dus 50 dagen Klopt het? Verstand én rekenkundige kennis gebruiken Het lijkt me erg lang, 50 dagen, dat is 10 weken; in een week wordt er 5 x 30 m = 150 m gedaan, dus voor die 1,5 km = 1500 m inderdaad 10 weken Studiedag NVORWO

Voordelen van rekenkundig modelleren Werken aan het ontwikkelen en onderhouden van rekenkundige kennis Werken aan verdergaande gecijferdheid: verdergaand dan alleen maar een beetje globaal kijken maar nadenken over wat relevant is hoe de samenhang is wat daar rekenkundig – met pen en papier, maar ook met allerlei elektronische hulpmiddelen - mee gedaan kan worden kortom: er wordt systematisch aan probleemoplossen gewerkt. En dat is waar de maatschappij echt om vraagt. Studiedag NVORWO

Beperkingen van rekenkundig modelleren Rekenkundig modelleren kan pas tegen het eind van de basisschool Het kost tijd en omdat er geen leerstof wordt weggelaten zal dat ten koste van iets anders moeten gaan (en dat, terwijl het oefenen gelukkig weer een beetje terug is) Het vereist veel van de leerkrachten: ze moeten zich die modelleerslag ook zelf eigen maken Modelleren is moeilijk! Studiedag NVORWO

Afsluiting Bij rekenen gaat het (bijna) altijd om denken én rekenen, om je verstand gebruiken én om je rekenkundige kennis toepassen Die rekenkundige kennis bestaat uit begrippen/bewerkingen, eigenschappen daarvan, indringende voorbeeld en geoefend zijn, dit in relatie tot de aanwezigheid van de elektronische hulpmiddelen die sneller en nauwkeuriger kunnen rekenen dan vrijwel iedereen Als burger gaat het vooral om de breedtedoelstelling, gecijferd kunnen opereren; als leerling gaat het om de dieptedoelstelling, want dat heb je nodig in de vervolgschool bij wiskunde, en misschien daarna ook nog wel in de vervolgopleiding of in je beroep Natuurlijk hoeft niet elke leerlingen alles te kennen en te kunnen, maar omdat we van te voren niet weten wie uiteindelijk wat moeten kennen en kunnen, moet er in de basisschool voor alle leerlingen zo hoog mogelijk worden ingezet Mijn voorstel is om kennis en verstand als een ‘rode draad’ door het onderwijs te laten lopen door steeds aandacht aan het modelleren te geven: rekenkundig in het basisonderwijs, wiskundig in het voortgezet onderwijs Studiedag NVORWO