Regeltechniek Modellen Specifikaties Voordelen van terugkoppeling Stabiliteit in s-domein: root locus Stabiliteit in w-domein: fazemarge

Gelijkstroommotor http://www.walter-fendt.de/ph14nl/electricmotor_nl.htm http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkstroommotor

Model van een gelijkstroommotor La: wikkelingen van de rotor (het anker) Ra La vb + _ va ia if w = hoeksnelheid vf Rf q = hoek b = rotationele wrijving w Lf q b J Lf : wikkelingen van de stator, die zorgt voor een magnetisch veld J = traagheidsmoment vb = tegen emk

Mathematisch model Op zoek naar wiskundige vergelijkingen Deze vergelijkingen volgen uit de wetten van de fysika In dit geval: elektromagnetisme Magnetische flux f(s) = Kf If (s) Motorkoppel Tm(s) = K1 f(s) Ia(s) Dus Tm(s) = K1 Kf If(s) Ia(s) (1)

Vergelijkingen Uit de fysika volgt: TL(t) = J a(t) + b w(t) in Laplace: TL(s) = J s w(s) + b w(s) (2) TL is het lastkoppel eveneens: w(s) = s q(s) (3) de hoeksnelheid is de afgeleide van de hoek Tm(s) = TL(s) (4)

Veldgestuurd Ia konstant: Tm(s) = Km If (s) met Km = K1 Kf Ia (1) Uit de elektriciteitsleer volgt Vf(s) = ( Rf + Lf s) If (s) (5) We stellen deze vergelijkingen voor in een blokschema

Blokschema Vf (s) If (s) Tm (s) w (s) q (s) Km

Cijfervoorbeeld Stel: Vf = 50V en Td = 0. Bereken w. Km = 20 Nm / A Newton meter per Ampère J = 100 Nm / rad/s2 b = 10 Nm / rad/s zodat tL = 10 s Lf = 1 H Rf = 10 W zodat tf = 0,1 s Stel: Vf = 50V en Td = 0. Bereken w.  w = 0,2 x 50V = 10 rad/s

Blokschema J = 100 Nm / rad/s2 b = 10 Nm / rad/s zodat tL = 10 s Km = 20 Nm / A Newton meter per Ampère J = 100 Nm / rad/s2 b = 10 Nm / rad/s zodat tL = 10 s Lf = 1 H Rf = 10 W zodat tf = 0,1 s 50V 5A 100Nm 10rad/s ∞ Km

Ankergestuurd If konstant: Tm(s) = Km Ia (s) met Km = K1 Kf If (1) Uit de elektriciteitsleer volgt Va(s) = ( Ra + La s) Ia (s) + Vb(s) (5) Vb(s) = Kb w (6)

Blokschema Kb= 20V / rad/s Stel: Va = 50V en Td = 0. Bereken w. Va (s) Ia (s) Tm (s) w (s) q (s) + Km _ Vb (s) Kb Kb= 20V / rad/s Stel: Va = 50V en Td = 0. Bereken w.

Waarom Kb = Km ? ia Het elektrisch vermogen is vb x ia + Het mechanisch vermogen is Tm x w vb Het elektrisch vermogen wordt volledig omgezet in mechanisch vermogen: N Z Tm w _ vb x ia = Tm x w Uit vb = Kb w en Tm = Km ia volgt dan: Kb x w x ia = Km x ia x w of Kb = Km

Oplossen van het blokschema Ia = ? 50V Tm = ? w = ? + q = ∞ 20 _ Vb = ? 20 Oplossen van volgend stelsel van 4 vergelijkingen:

Oplossen van het blokschema 20Nm ∞ 50V 1A 2rad/s + 20 _ 40V 20

Transferfunktie Tm (s) Va (s) Ia (s) w (s) q (s) + Km _ Vb (s) Kb

Transferfunktie of met Ia (s) Tm (s) Va (s) w (s) q (s) + Km _ Vb (s) Kb of met

Hoe transferfunktie berekenen? X 4 _ Y(s) X(s) + X 1 X 2 + X 3 G1 G2 G3 G4 _ + + H1 H3

Rekenregels G1 G2 G1G2 de kombinatie van blokken in kaskade : de totale transferfunktie is het produkt van de twee transferfunkties

Verschuiven van een sommatiepunt x1 + G (x1 ± x2 ) x1 + G (x1 ± x2 ) G G ± ± G x2 x2 G x1 ± x2 x1 + x1 + G x1 ± x2 G G ± ± 1/G x2 x2

Verschuiven van een aftakpunt G x1 x1 x1 G G x1 1/G x1 x1 G G G x1 G x1 G

Elimineren van een terugkoppellus y x + y x G ± H y = G (x ± H y) zodat y (1 GH) = G x

H2 _ Y(s) X(s) + + G1 G2 G3 G4 _ + + H1 H3 H2 / G4 _ + Y(s) X(s) + G1 G2 G3 G4 _ + + H1 H3

H2 / G4 _ + Y(s) X(s) + G1 G2 G3 G4 _ + + H1 H3 H2 / G4 _ X(s) + Y(s) G1 G2 _ + H3

H2 / G4 _ X(s) + Y(s) G1 G2 _ + H3 X(s) + Y(s) G1 _ H3

+ X(s) Y(s) G1 _ H3 X(s) Y(s) Kan het eenvoudiger? Ja, met de regel van Mason

Signaalstroomschema H2 X 4 _ Y(s) X(s) + X 1 X 2 + X 3 G1 G2 G3 G4 _ +

Signaalstroomschema -H2 X 1 X(s) Y(s) 1 G1 G2 X 3 G3 X 4 G4 X 2 H1 -H3 Knooppunten ↔ signalen Takken ↔ transferfunkties = transmissie van een tak De sommatie gebeurt automatisch in elk knooppunt.

Enkele begrippen X a b Y X a b Y e e c c f f d d T1 = ab T2 = acdf X a Voorwaarts pad a b Y X a b Y e e c c f f d d Voorwaartse padtransmissie T1 = ab T2 = acdf X a b Y Lus e c f d Lustransmissie L1 = cde

Formule van Mason Dk = cofactor D = grafdeterminant

Transferfunktie T1 = G1G2G3G4 L2 = -G2G3H2 -H2 X 1 X(s) 1 G1 G2 X 3 G3 Y(s) X 4 G4 X 2 H1 -H3 L3 = -G1G2G3G4H3 L1 = G3G4H1 D = 1 - G3G4H1 + G2G3H2 + G1G2G3G4H3 D1 = 1

Oplossen v.e. stelsel via Mason 2 x2 x3 x1 1 100 4 7 -3 L3 5 L2 L1

Oplossen v.e. stelsel via Mason 2 x2 x3 x1 1 100 4 7 -3 L3 5 L2 L1 L1 = 4 x 2 = 8 L2 = 5 x (-3) = -15 L3 = 7 x (-3) x 2 = -42 D = 1 – (L1 + L2 + L3) = 50

x3 2 x2 x3 x1 1 100 4 7 -3 L3 5 L2 L1 T1 = 20 D1 = 1 T2 = 7 D2 = 1 x3 = T 100 = 54

x2 2 x2 x3 x1 1 100 4 7 -3 L3 5 L2 L1 T1 = 4 D1 = 1 T2 = -21 D2 = 1 x2 = T 100 = -34

x1 2 x2 x3 x1 1 100 4 7 -3 L3 5 L2 L1 T1 = 1 D1 = 1 – L2 = 1 – (-15) = 16 x1 = T 100 = 32

Controle Besluit: de regel van Mason is een totaal nieuwe manier om een stelsel op te lossen

Oplossen van netwerken Millman (met G = 1/R): R1 R3 vA vB vIN R2 R4 vIN vA vB

Toepassen formule van Mason