De complexe Fourierreeks

Presentatie over: "De complexe Fourierreeks"— Transcript van de presentatie:

1 De complexe Fourierreeks
De overgang van Fourierreeks naar Fouriertransformatie

2 t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein
bemonstering t n tijddomein F.R. reconstruktie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→∞ N→∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z 2

3 Exponentiële vorm van de Fourierreeks
met en kan x(t) ook geschreven worden als :

4 Complexe Fouriercoëfficiënten
We stellen : Dan is :

5 Complexe Fouriercoëfficiënten
algemeen: Dan is: som van sinoren

6 Dubbelzijdig frequentiespectrum
amplitude |Cm| |C-3| |C3| |C0| |C-1| |C1| |C-4| |C4| |C-2| |C2| mw1 -4w w1 -2w w w w w w1 door sinoren te gebruiken hebben we negatieve frequenties ingevoerd het spectrum van de negatieve frequenties bevat geen nieuwe informatie immers :

7 Dubbelzijdig frequentiespectrum
jm fase j3 j1 j4 j2 -4w w1 -2w w1 mw1 w w w w1 j-2 j-4 j-1 j-3 hetzelfde geldt voor de faze :

8 Berekening van Cm als m > 0 : k = m

9 Berekening van Cm als m < 0 : k = -m zelfde formule !

10 Berekening van C0 als m = 0 : zelfde formule !

11 Besluit: 2 belangrijke formules

12 Voorbeeld: een puls x(t) x(t) = x(-t) even signaal 1 t -T -T/2 -t t
t -T -T/2 -t t T/2 T 2 2 x(t) = x(-t) even signaal In dit geval zijn alle Bk = 0 → Cm = Ak / 2 en reëel !

13 Berekenen van Cm → → uiteindelijk:

14 Formule voor Cm met wordt dit Opmerkingen : 1) C0 = D vermits
2) de eerste nuldoorgang gebeurt bij

15 De coëfficiënten Cm voor D = 0,2
(in dit speciale geval zijn alle Cm reeel) Cm 0,2 5w1 mw1 10w1 w1 = 2p/T In het algemeen geval bekomt men een amplitudespectrum en een fasespectrum |Cm| 0,2 mw1 -10w1 -5w1 5w1 10w1 jm 180° mw1 -10w1 -5w1 5w1 10w1

16 Vb : D = 0,2 x(t) t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm mw1 vb. T = 1 ms
T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,2 1 1 1 f1 = = 1 kHz f0 = m f1 = = = 5 kHz T DT t mw1 5w1 2p w1 = T

17 Wat gebeurt er als we t halveren ? → D = 0,1
x(t) 1 t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 100 µs Eerste nuldoorgang bij 10 kHz. 1 1 0,1 f0 = m f1 = = = 10 kHz DT t mw1 10w1 2p w1 = T

18 Verschoven puls x(t) x(t) 1 t -T -T/2 -t t T/2 T 1 t0 t -T -T/2 T -t t
t -T -T/2 -t t T/2 T 2 2 x(t) 1 t0 t -T -T/2 T -t t +t0 +t0 2 2 18

19 Berekenen van Cm → → zodat: 19

20 Gevolg van een tijdverschuiving
Een factor e-jmw1t0 wordt toegevoegd Hieruit volgt: de modulus van Cm blijft hetzelfde (zelfde amplitudespectrum) van de fase wordt mw1t0 radialen afgetrokken of 20

21 We doen enkele berekeningen voor D = 0,2 We beschouwen 4 gevallen:
x(t) 1 DT -T T t aT -1 We doen enkele berekeningen voor D = 0,2 We beschouwen 4 gevallen: a = -0, → t0 = → Djm = 0 a = -0, → t0 = 0,05 T → Djm = -m 18° a = → t0 = 0,1 T → Djm = -m 36° a = 0, → t0 = 0,2 T → Djm = -m 72° 21

22 x(t) -T T t a = -0, → t0 = → Djm = 0 22

23 x(t) -T T t t0 a = -0, → t0 = 0,05 T → Djm = -m 18° 23

24 x(t) -T T t t0 a = → t0 = 0,1 T → Djm = -m 36° 24

25 x(t) -T T t t0 a = 0, → t0 = 0,2 T → Djm = -m 72° 25

26 Wat gebeurt er als we de pulsbreedte t konstant houden, maar de periode T laten toenemen ?

27 D = 0,2 x(t) t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm mw1 vb. T = 1 ms
T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,2 mw1 5w1 2p w1 = T

28 D = 0,1 x(t) t -2T -T T 2T Cm mw1 vb. T = 2 ms
T 2T Cm vb. T = 2 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,1 mw1 10w1 2p w1 = T

29 D = 0,05 x(t) t -T T Cm mw1 vb. T = 4 ms Eerste nuldoorgang bij 5 kHz.
T Cm vb. T = 4 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,05 mw1 20w1 2p w1 = T

30 Hieruit volgt dat als de periode T toeneemt dan
worden de coëfficiënten Cm kleiner liggen de harmonischen dichter bij elkaar (w1 wordt kleiner) de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f0 = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

31 Dus als de periode T toeneemt tot oneindig
worden de coëfficiënten Cm gelijk aan nul liggen de harmonischen oneindig dicht bij elkaar (het spectrum wordt continu) de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

32 Echter als we Cm vermenigvuldigen met T
worden de produkten Cm T eindig als T gelijk is aan oneindig (0 x ∞ = eindig) het spectrum blijft continu de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

33 Fouriertransformatie
De fouriertransformatie is het continu spectrum X(w) dat we bekomen bij de limietovergang voor T gaande naar oneindig, of

34 Uit volgt dan Merk op: mw1 gaat over in de continue variabele w

35 Inverse fouriertransformatie
met wordt dit Als T→∞, gaat w1 naar dw: de sommatie gaat over in een integraal:

36 Besluit Door de periode T naar oneindig te laten gaan, kunnen vanuit de formules van de complexe fourierreeks de formules voor de fouriertransformatie worden afgeleid