Digitale regelsystemen

Presentatie over: "Digitale regelsystemen"— Transcript van de presentatie:

1 Digitale regelsystemen
overgang naar z-domein

2 De computer als regelaar
IN UIT Computer DAC G(s) ADC H(s) digitaal analoog Voordelen : digitale datatransmissie = ruisvrij aanpassen regelaar = software

3 Mixed analoog-digitaal systeem
Hoe modelleren (s-domein, z-domein) ? We doen dit in drie stappen : de transferfunctie van de ADC en DAC de totale analoge transferfunctie GA(s) de tijddiscrete transferfunctie G(z)

4 Transferfunctie van de ADC en DAC
x(t) x[n] y(t) ADC DAC x[n] y(t) x(t) t k t T T 3T 4T

5 Nulde-orde houdschakeling (ZOH)
+ x(t) y(t) _ y(t) x(t) de schakelaar wordt gedurende een infinitesimaal kort tijdstip gesloten → we bekomen hetzelfde uitgangssignaal ! t t

6 Transferfunctie van ZOH
g0(t) = impulsresponsie g0(t) = u(t) – u(t-T) ℒ 1 t T T = bemonsteringsinterval

7 De totale analoge transferfunktie
X(s) Y(s) ADC DAC G(s) H(s) G0(s) GA(s) = G0(s) G(s) H(s) De computer staat echter tussen de ADC en DAC : we moeten de zaak anders bekijken !

8 De tijddiscrete transferfunctie
x[n] y[n] DAC G(s) H(s) ADC x[n] y[n] G(z) G(z) = ?

9 Methode : via tabel splits GA(s) in partieelbreuken
vervang de termen in s door de overeen- komstige termen in z via de tabellen van Laplace- en z-transformatie deze methode noemt men de zero order hold (zoh) methode

10 x(t) X(s) X(z)

11 Voorbeeld partieelbreuksplitsen tabel

12 Invullen voor T = 1 sekonde
>> Gs=tf(1,[1 1 0]) >> T=1 >> Gz=c2d(Gs,T,'zoh') >> zero(Gz) >> pole(Gz)

13 Stapresponsie u[n] y[n] u[n] y(t) u(t) yH(t) >> Gs=tf(1,[1 1 1])
>> T=0.01;Gz=c2d(Gs,T,'zoh'); step(Gs,Gz,10) neem achtereenvolgens T= 0.01, 0.1 en 1 en bekijk de responsie ! u[n] y(t) u(t) DAC G(s) y[n] u[n] yH(t) G(z) DAC

14 y(t) yH(t)

15 Terugkoppeling IN UIT + D(z) G(z)
computer IN + UIT D(z) G(z) transferfunktie : D(z) is de z-getransformeerde van de differentievergelijking die in de computer is geïmplementeerd

16 Root locus in het z-vlak
j y het systeem wordt onstabiel als de polen buiten de eenheidscirkel komen te liggen ! eenheidscirkel -0,71 0,36 1 x

17 Rand van stabiliteit j y eenheidscirkel 75,9° x K = 2,3922 = 1

18 Bekenenen van K Polen ejf en e-jf op eenheidscirkel, dus
q(z) = (z – ejf) (z – e-jf) = z2 – 2 cosf z + 1 K = (1-0,3679)/0,2642 = 2,3922 f = bg cos ((1,3679-0,3679K)/2 ) = 75,9°

19 Simulaties >> K=0.5; Gs=tf(K,[1 1 0]); Ts=feedback(Gs,1);
>>T=0.01;Gz=c2d(Gs,T,'zoh');Tz=feedback(Gz,1);step(Ts,Tz,10) ‘speel’ met de waarden van K en T en interpreteer de responsie neem K =1 en T = 1 en simuleer de root locus >> rlocus(Gz); axis([ ]) neem K = 1 en T = 1 en simuleer de fazemarge van het tijddiskrete systeem >> margin(Gz) merk op : de plot eindigt bij de halve samplefrekwentie wN = p / T simuleer eveneens voor K = 2,3922 en T = 1 : wat verwacht je ?

20 De computer als regelaar
toevoegen van een pool en een nulpunt afleiden van de differentievergelijking : y[n] = K x[n]– K a x[n-1] + b y[n-1] ontwerpen van de regelaar : bepalen van de waarde voor K, a en b

21 Simulaties >> K=2; Gs=tf(K,[1 1 0]); Ts=feedback(Gs,1);
>> T=1;Gz=c2d(Gs,T,'zoh');Tz=feedback(Gz,1); >> a=0.3;b=-0.2;D=tf([1 -a],[1 -b],T) >> L=D*Gz;Tr=feedback(L,1);step(Ts,Tz,Tr,10) simuleer eveneens de root locus >> rlocus(L); axis([ ]) experimenteer met de waarden voor K, a en b