Algemene relativiteitstheorie … en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Programma 1 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Beweging in plat vlak met centraal punt 1.1 Demo de versnelling in (of tegen) de richting van de plaatsvector de versnelling loodrecht op de richting van de plaatsvector Later gebruiken om t te elimineren De perkenwet geldt dan en slechts dan als de versnelling in de richting van de plaatsvector is (of er juist tegen in)

Even ophalen: Ellips en de cosinus regel Som van de afstanden tot de brandpunten is constant 1.2 Cosinus regel

is een Ellips met de zon in Eerste wet van Kepler Als 2-de wet geldt, dan versnelling in of tegen de richting van . 1-ste wet: De baan van een planeet is een Ellips met de zon in één van de brandpunten. Als de 1-ste we ook geldt vermoeden we dat ae < 0. Johannes Kepler 1571 – 1630 Sterker nog: we kunnen ae precies berekenen! B4 1.3

Terug van Newton naar Kepler We hadden: 2de wet Kepler (perkenwet) 1ste wet Kepler (Ellips) Versnelling in richting centrale punt En dan: (2de wet Newton (F=ma) Nu omgekeerd: Ellips (B=0: Cirkel ) Parabool Nieuwe oplossingen Algemene oplossing Hyperbool (“Kegelsneden”) Hyperbool geval volgende slide

Afbuiging licht (semi-) klassiek Johann Georg von Soldner 1776 – 1833 Soldner in 1801 Einstein in 1915 Schijnbare positie ster Einstein in 1911! Echte positie ster ff onthouden:

Programma 2 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Differentiaal vergelijking; Poisson en Laplace Laplace → Newton R oriëntatie + bolsymmetrie: is massadichtheid is (zwaartekracht-) potentiaal 1.4 Siméon Poisson 1781 – 1840 Poisson: Newton Laplace boven Laplace: Ook! Ook? Lege ruimte:

Energie balans; ontsnappingssnelheid R = straal hemellichaam v = ontsnappingssnelheid Aarde: 11 km/sec lichtsnelheid En die kennen we! Pierre-Simon Laplace 1749 – 1827 Schwarzschild Straal Weg terug kan ook. Energie is integratieconstante. John Michell 1724 – 1793 Licht kan niet ontsnappen? Zwart gat!? M=Gewicht Aarde: RS=8,87 milimeter Eerst gepubliceerd later er weer uitgehaald M=Gewicht Zon: RS=3 kilometer

Programma 3 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Noodzaak nieuwe gravitatie theorie Probleem met “onmiddelijke actie op afstand”: Gebeurtenis 1: Zon ontploft Gebeurtenis 2: Aarde vliegt uit baan 2 is duidelijk het gevolg van 1. In Newtons theorie gebeurt dit “instantaan” op het zelfde moment. Maar in een stelsel dat van links naar rechts raast, gebeurt 2 eerder dan 1 volgens de SRT! Bovendien: in het elekromagnetisme was dit al OK. Het EM veld plant zich voort met de lichtsnelheid. Dus tijd voor een nieuwe theorie. Newton moet hieruit wel kunnen worden afgeleid (als eerste benadering).

Basisgedachte: het equivalentie principe Aarde Aarde A. C. B. D. Equivalent Equivalent “De gelukkigste gedachte van mijn leven” De “zwevers” De “staanders”

Toch te voelen: getijdekrachten Zwaartekracht bestaat niet!! Kan immers “weggetransformeerd” worden. Vergelijkbaar met het “lokaal” wegtransformeren van de kromming van het aardoppervlak, bijvoorbeeld bij de rijksdriehoekmeting. Maar als er een “echt” zwaartekrachtsveld is zijn er toch (minieme) effecten: getijdekrachten.

Coördinaten en (lokale) afstand: lijnelement x-as y-as “bewijzen” via een transformatie: B1 Zouden er andere coördinaten u en v mogelijk zijn zodat ??? Antwoord nee! Maar dat is nog niet zo eenvoudig te bewijzen! Nee, niet “plat” Nee, ook niet “plat” Ja, wel “plat”!!

Het programma kwadrant Vlakke meetkunde 2-dimensionaal Speciale relativiteitstheorie 4-dimensionaal 4-Plaats vector 4-Raak vector Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek Tensoren (eerste kennismaking met -) Rechte lijn 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) 4-dimensionaal Meetkunde gekromde vlakken Algemene relativiteitstheorie Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek potentiaal Geodeet

Het programma 4-dimensionaal Meetkunde gekromde vlakken 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Algemene relativiteitstheorie Geodeten (Christoffel symbolen) g00 ≈ potentiaal 2 Zwarte gaten Klokvertraging: roodverschuiving 3 en 4 Covariant differentiëren Krommingstensor Veldvergelijkingen lege ruimte 5 en 6 Schwarzschild oplossing Afbuiging licht door zon Perhelium Mercurius Nogmaals: Zwarte gaten Zwaartekrachts golven Bianchi identiteiten 7 en 8 De Veldvergelijkingen Kosmologie

Programma 4 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Rechte lijnen; analytisch Welke van de volgende lijnen is recht, en welke niet? Recht?? Ja Nee Verander namen “what ‘s in the name” Recht?? Ja, toch wel Nee, toch niet Conclusie: om aan de analytische vorm te kunnen herkennen of een lijn recht is heb je de metriek (het lijnelement) nodig

Kortste verbinding tussen twee punten P1 (t=t1) P2 (t=t2) Lijn element: Bol (voorbeeld: ) Hoe berekenen we de lengte van een kromme? ds Neem de “som” van oneindig veel stukjes ds (dus de integraal) Wanneer hebben we de kortste verbinding te pakken? Maw. Wanneer is S minimaal? Hiervoor hebben we variatierekening nodig.

Programma 5 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Variatie rekening P2 (t=t2) Een kromme in een n-dimensionale ruimte: Stel L is een functie van 2n variabelen. P1 (t=t1) Deze voorwaarde gaan we uitwerken.

Conditie voor extreem P2 (t=t2) Ook: P1 (t=t1) Partieel integreren Meenemen Volgende slide

Euler Lagrange vergelijking Vorige slide: P2 (t=t2) (1) (2) (3) (1) En (2): B5 Merk op: en zijn uitdrukkingen die los staan van de kromme. (3): P1 (t=t1) Dit kan alleen maar 0 zijn voor alle als voor alle i en t als: Dus: Ook:

Voorbeelden Normale coördinaten: Poolcoordinaten: (wortel mogen we weglaten zie slide 28) Christoffel Symbolen (komt nog) Perken wet! Inderdaad rechte lijn Parameter voorstelling: Zie slide 3.

Something completely different … Formulering klassieke mechanika in termen van de z.g. Lagrangiaan: Lagrange Euler Newton T = Kinetische energie V=Potentiele energie Met andere woorden: de wet van Newton kan gezien worden als een gevolg van variatie rekening … So what ?? 1. Sommige situaties in de klassieke mechanika kunnen efficient geformuleerd en opgelost worden; 2. Ook andere zaken (b.v. stelling van Noether) kunnen mooi worden geformuleerd; 3. Absoluut onmisbaar voor overgang naar Quantum mechanika; 4. Zie Leonard Susskind: The Theoretical Minimum

Programma 6 Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Kunnen we de wortel kwijt? met Een voorbeeld: = Alleen metriek = Specifiek dit voorbeeld Maar de parametrizering van was misschien Ook wel wat onhandig, beter lijkt: (zoals verwacht) (zoals ook verwacht) Bovendien W en L beide constant langs

Hoe zit dit precies? Geodeten Stelling: Bewijs: met , dan ? We hebben: Volgt uit (1), (4) en (5) QED. ♥ Beide kanten maal : Licht!! Gevolg: we mogen (en willen) ons beperken tot voor L. Parametrisering volgens booglengte is immers geen wezenlijke beperking. Voordelen: Dus ♥=0! Dus L constant Eenvoudiger rekenen L kan ook =0 of <0 zijn We noemen zo’n pad een geodeet.

Geodeet vergelijking; Christoffel symbolen 1.5 Elwin Bruno Christoffel 1829 – 1900 1ste soort: Einstein 1915 2ste soort: (in feite al bij Riemann) Einstein 1915 Vergelijking geodeet Einstein 1915 B2

Voorbeelden: rechte lijnen in platte ruimte Poolcoördinaten: “Most complicated way to describe a straight line” Geodeet: Voorbeeld checken: 2e klopt 1g klopt (constant) (algemeen: Als L niet van xμ afhangt dan hebben we een behoudswet en is EL makkelijker) B3 Opgave

Programma Klaar Kepler → Newton Poisson & Laplace Equivalentie principe & pad Cursus Rechte lijnen Variatie principe & Euler-Lagrange Geodeten Klassieke gravitatie

Opgave: Poincaré halfvlak Q Kortste verbinding tussen P en Q? (qualitatief)

Bijlage 1: Parabool coördinaten x=0 (y-as) Hoe het correcte lijnelement vinden? x=5 x=-3 Stel u en v “goede” coördinaten O P ?

Bijlage 2: Transformatie Christoffel Coördinaten trafo: 1ste soort: 2de soort: (lijkt op tensor trafo) Dus geen tensor Conclusie:

Bijlage 2: Check met pool coördinaten Hulpjes: Conclusie: Op deze manier kunnen we de Γ dus (opnieuw) uitrekenen Komt overeen met eerdere resultaten

Bijlage 3: Grote cirkels op bol z-as Lijnelement: klopt! (constant) 2e Dus 2e klopt en K=C y-as x-as Vermoeden: grote cirkel is geodeet. Gaan draaien: 1e en L=1 nog checken, volgende slide

Bijlage 3: Rest Check

Bijlage 4: Newton ontdekken Uitgangspunten: (Ellips) (Perkenwet) Te bepalen/onderzoeken/berekenen:

Bijlage 5: “Slordige” afleiding EL

Bijlage 6: Take away les 1 en 2 Baanvergelijking Poisson: Christoffel symbolen: 1ste soort: Laplace: 2ste soort: Vergelijking geodeet Schwarzschild straal: