Rekenen en Redeneren met Oneindig Jeroen Spandaw NWD, 5 februari 2016
Hercules & de Hydra
De veelkoppige draak gemodelleerd als boom (bepaald type graaf) Bladeren van de boom = koppen van de hydra Regels die het aangroeien van nieuwe koppen van de hydra beschrijven wanneer Hercules er een afslaat (Kirby & Paris). Aantal koppen groeit i.h.a verschrikkelijk snel. Bestaat er een winnende strategie voor H?
De Koningin der Wetenschappen Wiskunde is heel precies. In wiskunde weet je exact waar het over gaat in tegenstelling tot vage - en -vakken. Een bewezen wiskundige bewering is waar.
Bertrand Russell (1872 – 1970) Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.
Voorbeeld: Lijnen bij Euclides & Hilbert Paar axioma’s over punten & lijnen, zoals: Door 2 verschillende punten gaat precies één lijn. Maar wat is een lijn? Formalisme van David Hilbert: Irrelevant: onze voorstelling van ‘lijnen’ Relevant: voldoen ‘lijnen’ aan de axioma’s? We weten niet waar wiskunde over gaat.
Waarheid en Wiskunde = 1 + (1 + 1)volgens de definitie van 2 = (1 + 1) + 1volgens rekenregel = 2 + 1volgens de definitie van 2 = 3volgens de definitie van 3 Moraal: We moeten starten met axioma’s. Axioma’s zijn simpele beweringen waarvan we de waarheid aannemen.
Axioma’s van Peano voor rekenkunde 0 N, dus 0 is een natuurlijk getal. n N n + 1 N. m + 1 = n + 1 m = n. n + 1 0. Inductieprincipe
Axioma’s van Peano (vervolg) a + 0 = a & a + (b + 1) = (a + b) + 1 a 0 = 0 & a (b + 1) = a b + a a 0 = 1 & a b + 1 = a b a a b a + c b + c & a c b c
De 2 onvolledigheidsstellingen van Gödel (1931) 1)In de standaard-rekenkunde (Peano) bestaan onbeslisbare beweringen, d.w.z. noch bewijsbaar juist, noch bewijsbaar onjuist zijn. 2)De consistentie van de standaard-rekenkunde is niet bewijsbaar met de middelen van die rekenkunde.
Onvolledigheid Verzameling beweringenA: = 2 B:1 + 1 = 5 A’: 2 B’: 5 spiegelsymmetrie tussen waar/onwaar: P niet-P = P’ = -P
Onvolledigheid
Gödel: In de gewone rekenkunde (Peano) bestaan ‘vraagtekens’, d.w.z. onbeslisbare beweringen: noch bewijsbaar juist, noch bewijsbaar onjuist
Onvolledigheid Voorbeeld van zo’n onbeslisbaar vraagteken: Stelling van Goodstein over Goodstein-rijtjes
Contrast: Propositielogica is WEL volledig Stelling. Iedere bewering uit propositielogica is beslisbaar, dus bewijsbaar juist of bewijsbaar onjuist. Propositielogica is daarom aantoonbaar consistent. Bewijsidee: Juistheid van bewering kan worden geverifieerd d.m.v. waarheidstabel. Voorbeelden: P - P is waar, P -P is onwaar,
Waarheidstabel voor P -P
Waarheidstabel voor P -P PP -P
Waarheidstabel voor P Q PQP Q
(P Q) (Q P) Maak Waarheidstabel voor (P Q) (Q P) Is dit een tautologie?
(P Q) (Q P) PQ(P Q) (Q P)
(P Q) (Q P) PQ(P Q) (Q P)
Appendices Lengte Goodsteinrijtje bij startgetal g 2 = 3 en bij startgetal g 2 = 4. Nog een groot getal: grootste bekende priemgetal Drakendoden voor beginners
Goodstein bij startgetal g 2 = 3 g 2 = 3 = g 3 = – 1 = 3 g 4 = 4 – 1 = 3 g 5 = 3 – 1 = 2 g 6 = 2 – 1 = 1 g 7 = 1 – 1 = 0
Goodstein bij startgetal g 2 = 4 = 2 2 g 3 = 3 3 – 1 = 2 g 4 = 2 g 5 = 2 5 g 6 = 2 6 – 1 = 2 g 23 = 2 23 2 g 24 = 2 24 2 – 1 = g n = 0 voor welke n? n = 3 – 2 7
Hoe groot is 7 ? Stel je start met g 2 = 4. Je produceert 1 nieuwe g n per seconde. Hoeveel jaar ben je bezig? 1 jaar = 32 miljoen sec Voldoende tijd sinds Oerknal (14 miljard jaar)? Zo nee: Is 10 × Leeftijd Universum genoeg? Of 100 × LU? Of miljard LU?
Grootste bekende priemgetal p = – 1 Hoeveel cijfers heeft p? Ongeveer: / 3 25 miljoen Precies: log (2) = ,48… Dus cijfers.
Hercules & de Hydra Kan Hercules winnen? Zo ja, strategie?
Hercules & de Hydra Hercules wint, ongeacht zijn strategie!
To infinity and beyond! 1, 2, 3, … , + 1, + 2, + 3, … 2 , 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, … 2, 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3, … 2 2, …, 3 2, …, 3, …, 4, …, 5, …, , + 1, …, 2 , …, +1, …, 2 , …, ^( ^ ), …